清單06橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問(wèn)題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，【清單02】點(diǎn)差法：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：【清單03】弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）【清單04】三角形面積問(wèn)題直線方程：【清單05】焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)【清單06】平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).【清單07】探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問(wèn)題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。?？碱}型：①與面積有關(guān)的定值問(wèn)題；②與角度有關(guān)的定值問(wèn)題；③與比值有關(guān)的定值問(wèn)題；④與參數(shù)有關(guān)的定值問(wèn)題；⑤與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題【考點(diǎn)題型一】根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：聯(lián)立+判別法【例1】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知橢圓C的兩焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若已知直線，當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓C有公共點(diǎn)？【變式1-1】（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距均為.(1)求的方程；(2)若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【變式1-2】（24-25高二上·上?！て谥校┮阎p曲線過(guò)點(diǎn)且它的兩條漸近線方程為與.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，求k的取值范圍．【變式1-3】（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，以和的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形．(1)求的方程；(2)討論過(guò)點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【考點(diǎn)題型二】中點(diǎn)弦問(wèn)題核心方法：點(diǎn)差法+韋達(dá)定理法【例2-1】（24-25高二上·陜西·期中）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足直線與的斜率之積為2.記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若，是曲線上兩點(diǎn)，試判斷點(diǎn)能否成為線段的中點(diǎn)，如果可以，求出直線的方程；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例2-2】（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且使得是線段的中點(diǎn)，若存在，求出它的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【變式2-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，求直線的斜率．【變式2-2】（23-24高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，已知.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程.【考點(diǎn)題型三】求弦長(zhǎng)（定值）核心方法：弦長(zhǎng)公式【例3】（24-25高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，求的面積.(3)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求PQ.【變式3-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求.【變式3-2】（陜西省漢中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為軌跡上不同的兩點(diǎn)，若線段的中垂線方程為，求線段的長(zhǎng).【考點(diǎn)題型四】求弦長(zhǎng)（最值或范圍）核心方法：【例4】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的取值范圍．【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓：的兩焦點(diǎn)，，且橢圓過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，求的取值范圍.【變式4-2】（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與的左?右支分別交于點(diǎn)，與圓：交于（異于）兩點(diǎn).(1)求直線斜率的取值范圍；(2)求的取值范圍.【考點(diǎn)題型五】根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)核心方法：【例5】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：的周長(zhǎng)為，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.(1)求W的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線l與曲線W交于兩點(diǎn)，如果，求直線l的方程.【變式5-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩條動(dòng)直線分別與E交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，當(dāng)時(shí)，．(1)求E的方程；(2)設(shè)線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．【變式5-2】（2024·浙江寧波·一模）已知是雙曲線：上一點(diǎn)，的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與的兩支分別交于，兩點(diǎn).若，求直線的斜率.【考點(diǎn)題型六】拋物線非焦點(diǎn)弦問(wèn)題核心方法：【例6】（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，.(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且與相切的直線與交于點(diǎn)，求.【變式6-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，過(guò)點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、．(1)求拋物線的方程．(2)求的最小值．【考點(diǎn)題型七】拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題核心方法：【例7】（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)若，求直線的方程.【變式7-1】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與交于點(diǎn)．(1)若直線的斜率為，求的面積；(2)若，求線段的中點(diǎn)到軸的距離．【考點(diǎn)題型八】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（定值問(wèn)題）核心方法：面積公式+弦長(zhǎng)公式+點(diǎn)到直線的距離【例8】（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓分別為左右焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)為橢圓在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若，直線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求的值.【變式8-1】（24-25高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為.若過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作直線與兩條漸近線相交，交點(diǎn)為，且分別在第一象限和第四象限(1)求雙曲線的方程；(2)若，求的面積.【變式8-2】（23-24高二下·重慶·期中）已知點(diǎn)，在拋物線上.(1)若，記線段的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離；(2)若點(diǎn)，在直線上，且滿足四邊形為正方形，求此正方形的面積.【考點(diǎn)題型九】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（最值或范圍問(wèn)題）核心方法：面積公式+弦長(zhǎng)公式+點(diǎn)到直線的距離+基本不等式+一元二次函數(shù)【例9】（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：．(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；(2)過(guò)作直線交曲線的y軸左側(cè)部分于A，B兩點(diǎn)，過(guò)作直線交曲線的y軸右側(cè)部分于C，D兩點(diǎn)，且，依次連接A，B，C，D四點(diǎn)得四邊形ABCD，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．【變式9-1】（24-25高二上·北京·期中）已知和為橢圓上的兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的取值范圍.【變式9-2】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)直線與E的交點(diǎn)為，直線與傾斜角互補(bǔ).（i）求的值；（ii）若，求面積的最大值.【考點(diǎn)題型十】圓錐曲線中的向量問(wèn)題【例10】（2024·陜西商洛·一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，君，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．【變式10-1】（24-25高二上·甘肅武威·期中）已知曲線的左右焦點(diǎn)為，P是曲線E上一動(dòng)點(diǎn)(1)求△的周長(zhǎng)；(2)過(guò)的直線與曲線E交于AB兩點(diǎn)，且，求直線AB的方程；【變式10-2】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎獟佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求直線的斜率的取值范圍；(3)若直線交軸于，直線交軸于，設(shè)為原點(diǎn)，，，求的值.【考點(diǎn)題型十一】圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【例11】（24-25高二上·浙江寧波·期中）設(shè)拋物線：，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，已知拋物線上一點(diǎn)，且(1)求該拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和K，N.設(shè)線段AB，KN的中點(diǎn)分別為P，Q，求證:直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【變式11-1】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)在直線上，分別為的左?右頂點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【變式11-2】（24-25高二上·遼寧·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，已知，為雙曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的長(zhǎng)為.(1)求的方程；(2)設(shè)，，記的面積為，的面積為，若，求的取值范圍；(3)已知點(diǎn)在軸上方，直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，若的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)題型十二】圓錐曲線中的定值問(wèn)題【例12】（24-25高二上·云南大理·期中）如圖，已知圓，圓心是點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作一條直線與曲線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式12-1】（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知，，平面上有動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式12-2】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，求直線的方程；(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·云南昆明·期中）設(shè)是橢圓上的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A． B． C． D．42．（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．4．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則C的方程為（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)(0,2)，則的面積為（

）A． B．C． D．56．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）定義：直線叫作雙曲線的準(zhǔn)線．已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是（

）．A． B．C． D．7．（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．且，這樣的直線有4條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于異于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題9．（24-25高二上·北京·期中）已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，連接并延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)，直線和的斜率分別為，，則下列選項(xiàng)正確的有．①．②．③．④．若，則三、解答題10．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線(1)求橢圓的方程；(2)求中點(diǎn)E的軌跡方程；(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.11