八年級數(shù)學(xué)上冊算術(shù)平方根人教新課標版學(xué)習(xí)目標了解平方根的概念理解平方根的定義和符號，掌握平方根的求法掌握平方根的性質(zhì)學(xué)習(xí)平方根的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)進行簡單的運算和判斷認識無理數(shù)了解無理數(shù)的概念和特點，并能區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)掌握開平方的基本方法學(xué)習(xí)用開平方的基本方法求平方根，并能進行簡單的計算什么是平方根平方根是一個數(shù)學(xué)概念，指一個數(shù)的平方根。一個數(shù)的平方根是指兩個相同的數(shù)相乘等于該數(shù)。例如，2的平方根是1.414，因為1.414乘以1.414等于2。平方根在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如在幾何、物理和工程學(xué)等領(lǐng)域。如何找出平方根理解平方根的定義平方根是指一個數(shù)的平方等于另一個數(shù)的根，比如4的平方根是2，因為2的平方等于4。尋找平方根可以使用計算器或手工計算來找到一個數(shù)的平方根?？梢允褂闷椒礁?√)來表示平方根。檢查結(jié)果找到的平方根應(yīng)該滿足平方等于原數(shù)，可以將找到的平方根平方，然后與原數(shù)比較，確保它們相等。平方根的性質(zhì)平方根和面積一個正方形的邊長是它的面積的平方根。符號平方根用符號"√"表示，讀作“根號”。正數(shù)的平方根一個正數(shù)有兩個平方根，一個是正數(shù)，另一個是負數(shù)。負數(shù)的平方根負數(shù)沒有平方根，因為任何數(shù)的平方都是正數(shù)。舉例1：求平方根1已知數(shù)為aa是平方根的平方2求平方根找到一個數(shù)，它的平方等于a3得到平方根這個數(shù)就是a的平方根例如，求4的平方根。4是2的平方，所以2是4的平方根。練習(xí)1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根:1.92.163.254.1005.0.046.1/4平方根的應(yīng)用計算距離例如，計算兩點之間的距離，或者計算一個正方形的邊長。解決幾何問題例如，計算三角形的邊長，或者計算圓形的半徑。工程應(yīng)用例如，建筑工程中需要計算材料的尺寸和數(shù)量。科學(xué)研究例如，物理學(xué)中需要計算物體運動的速度和加速度。舉例2：平方根的應(yīng)用1實際應(yīng)用在生活中，我們經(jīng)常會遇到需要求解平方根的問題，比如計算正方形面積或計算圓形面積。2例子例如，一個正方形的邊長為5厘米，那么它的面積是多少？可以利用平方根公式求解：面積=邊長平方=52=25平方厘米。3應(yīng)用平方根在很多實際問題中都有應(yīng)用，比如工程建設(shè)、建筑設(shè)計、物理學(xué)等領(lǐng)域。練習(xí)2下面是一些關(guān)于平方根的練習(xí)題，請同學(xué)們認真思考并解答。1.計算下列各數(shù)的平方根：a)25b)144c)0.092.已知一個正方形的面積為64平方厘米，求它的邊長。3.比較下列各組數(shù)的大?。篴)√2和2b)√3和√5c)√16和4認識無理數(shù)無理數(shù)是無法表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)。例如，圓周率π就是一個無理數(shù)。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中扮演著重要的角色，它們可以幫助我們理解許多數(shù)學(xué)現(xiàn)象。認識無理數(shù)的概念無理數(shù)的定義無理數(shù)是指不能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)，也就是不能寫成分數(shù)形式的數(shù)。無理數(shù)的例子例如，圓周率π和根號2都屬于無理數(shù)。無理數(shù)的特點1無限不循環(huán)無理數(shù)的小數(shù)部分永遠不會結(jié)束，也不會出現(xiàn)循環(huán)節(jié)。2無法用分數(shù)表示無理數(shù)不能表示成兩個整數(shù)的比值。3存在于實際問題中例如圓周率π和一些幾何圖形的邊長，都是無理數(shù)。開平方的基本方法1步驟1：確定最高位找到被開方數(shù)最高位的個位數(shù)，并確定平方根的最高位數(shù)字。2步驟2：試商從1開始逐個試商，直到找到小于等于被開方數(shù)的平方。3步驟3：減去平方將試商的平方減去被開方數(shù)，得到余數(shù)。4步驟4：移位將余數(shù)的左邊一位數(shù)字移到余數(shù)的右邊，形成新的被開方數(shù)。重復(fù)步驟2到步驟4，直到余數(shù)為0，此時所得的商就是被開方數(shù)的平方根。舉例3：開平方1開平方步驟首先，找到一個數(shù)，它的平方等于被開方數(shù)。如果找不到這樣的數(shù)，可以使用開方公式進行計算。2開方公式開平方公式可以幫助我們計算出被開方數(shù)的平方根。公式是√a=b，其中a是被開方數(shù)，b是平方根。3開平方結(jié)果開平方結(jié)果是一個數(shù)，它的平方等于被開方數(shù)。如果開方數(shù)是正數(shù)，則平方根是正數(shù)；如果開方數(shù)是負數(shù)，則平方根是負數(shù)。練習(xí)3計算下列各數(shù)的平方根：1.492.0.253.16/94.(2/3)^25.0.096.1.447.0.168.25/169.(3/4)^210.(-1/2)^211.1000012.0.0001同學(xué)們，通過這些練習(xí)，你能更好地理解平方根的概念和計算方法嗎？有理數(shù)與無理數(shù)的關(guān)系有理數(shù)有理數(shù)是可以用分數(shù)表示的數(shù)，包括整數(shù)和分數(shù)。例如，1、2、3、-1、-2、-3、1/2、3/4都是有理數(shù)。無理數(shù)無理數(shù)是不能用分數(shù)表示的數(shù)，例如圓周率π、根號2等。這些數(shù)的小數(shù)部分無限不循環(huán)。關(guān)系有理數(shù)與無理數(shù)是實數(shù)集的兩個子集，它們共同構(gòu)成實數(shù)集。實數(shù)集是所有數(shù)字的集合，包括有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)與無理數(shù)的比較有理數(shù)可以表示為分數(shù)形式的數(shù)，包括整數(shù)、分數(shù)和有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)。無理數(shù)不能表示為分數(shù)形式的數(shù)，包括無限不循環(huán)小數(shù)，例如圓周率(π)和根號2(√2)。比較有理數(shù)和無理數(shù)都是實數(shù)，兩者互補，共同構(gòu)成了實數(shù)域。幾何意義下的平方根平方根在幾何圖形中也有重要意義。正方形的邊長是其面積的算術(shù)平方根。例如，邊長為4cm的正方形面積為16cm^2，那么16cm^2的算術(shù)平方根就是4cm，也就是正方形的邊長。平方根的概念可以幫助我們理解面積與邊長的關(guān)系，解決一些實際問題，比如求一個正方形的邊長。舉例4：平方根的幾何意義平方根在幾何圖形中有著直觀的體現(xiàn)，可以幫助我們更好地理解其概念和應(yīng)用。1正方形邊長為a的正方形2面積面積為a23平方根邊長a為面積a2的平方根通過正方形的邊長和面積的關(guān)系，我們可以直觀地理解平方根的幾何意義。練習(xí)4一個正方形的面積為16平方厘米，求這個正方形的邊長。一個正方形的邊長為5厘米，求這個正方形的面積。平方根的近似值無理數(shù)的近似值無理數(shù)通常無法精確表示為分數(shù)?？梢杂眯?shù)來近似表示無理數(shù)。小數(shù)表示法小數(shù)表示法可以精確地表示有理數(shù)。但對于無理數(shù)，只能用近似值來表示。近似值精度根據(jù)需要，可以保留不同位數(shù)的小數(shù)。越精確的近似值，越能接近無理數(shù)的真實值。認識無理數(shù)的近似值無理數(shù)的無限不循環(huán)小數(shù)無理數(shù)的近似值可以使用小數(shù)表示，但由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此只能取其近似值，例如π的近似值是3.14159。近似值的精度無理數(shù)的近似值精度越高，越接近其真實值，但仍然無法完全精確地表達無理數(shù)。計算器上的近似值使用計算器可以得到無理數(shù)的近似值，但計算器顯示的近似值也存在誤差。小數(shù)表示法與無理數(shù)的關(guān)系1無限不循環(huán)無理數(shù)用小數(shù)表示時，小數(shù)部分是無限不循環(huán)的。2精確表示無理數(shù)無法用有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)精確表示，只能用符號表示。3近似值我們可以通過取無理數(shù)的小數(shù)部分的前幾位來得到它的近似值。4應(yīng)用廣泛無理數(shù)在科學(xué)、工程、日常生活等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。舉例5：無理數(shù)的近似值取近似值通過計算器可以求得無理數(shù)的近似值。例如，求√2的近似值，可以通過計算器計算得出√2≈1.414。保留小數(shù)位數(shù)根據(jù)實際需要，可以保留小數(shù)點后幾位，比如保留兩位小數(shù)，則√2≈1.41。近似值范圍無理數(shù)的近似值可以表示其在數(shù)軸上的位置，并能幫助我們進行更直觀的比較和應(yīng)用。練習(xí)5請計算下列無理數(shù)的近似值，并用小數(shù)表示：1.√22.√33.√5在計算無理數(shù)的近似值時，我們可以使用計算器或查閱數(shù)學(xué)手冊。也可以根據(jù)需要，保留小數(shù)點后幾位數(shù)。例如，√2的近似值可以保留小數(shù)點后兩位，寫成1.41。通過練習(xí)，可以加深對無理數(shù)的理解，并掌握無理數(shù)的計算方法。本章綜合練習(xí)1鞏固基礎(chǔ)通過練習(xí)，加深對算術(shù)平方根、無理數(shù)、開平方運算等知識點的理解。2拓展思維運用所學(xué)知識解決