第六章立體幾何與空間向量第六節(jié)空間角·考試要求·1．理解異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角的向量表示．2．能用向量方法求異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角的大?。貍渲R落實“四基”

√

√B

解析：因為PA⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC.又∠BAC＝90?，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)AB＝2，則AC＝2，PA＝4，所以P(0，0，4)，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)．

××√

大于90°

√

核心考點提升“四能”

√

√

求解異面直線所成角的方法(1)建系；(2)求兩異面直線的方向向量的坐標(biāo)；(3)求兩向量的夾角的余弦值；(4)得結(jié)論．

√

(2)如圖，△ADC和△DBC所在的平面互相垂直，且AD＝BD＝CD，∠ADC＝∠BDC＝120?，則直線AB與平面ADC所成角的正弦值為________．

向量法求直線與平面所成角的主要方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角．

√

√B

解析：如圖，分別取BC，B1C1的中點D，D1，連接DD1，AD，則DD1∥BB1，DD1⊥平面ABC，AD⊥BC.以D為原點，DA，DB，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

二面角【例2】(2023·新高考全國Ⅱ卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60?，E為BC的中點．(1)證明：BC⊥DA；證明：如圖，連接AE，DE．因為E為BC的中點，DB＝DC，所以DE⊥BC．因為DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60?，所以△ACD與△ABD為全等的等邊三角形，所以AC＝AB，從而AE⊥BC．因為AE∩DE＝E，AE，DE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE．而DA?平面ADE，所以BC⊥DA．

(2)設(shè)D為A1C的中點，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．解：取A1B的中點E，連接AE.因為AA1＝AB，所以AE⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC.由BC?平面A1BC，BC?平面ABC，得AE⊥BC，BB1⊥BC.又AE，BB1?平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC