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二次函數(shù)的符號問題學習數(shù)學函數(shù),符號是最基礎的部分。掌握了符號的意義,才能理解函數(shù)的性質和應用。二次函數(shù)的一般形式標準形式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點形式y(tǒng)=a(x-h)2+k系數(shù)意義a決定開口方向和大小,b影響對稱軸位置,c是常數(shù)項,代表圖像與y軸交點二次函數(shù)的判別式判別式的定義二次函數(shù)的判別式是一個重要的數(shù)學工具,它可以幫助我們判斷二次函數(shù)的根的情況。判別式大于零當判別式大于零時,二次函數(shù)有兩個不同的實數(shù)根。判別式等于零當判別式等于零時,二次函數(shù)有兩個相同的實數(shù)根。判別式小于零當判別式小于零時,二次函數(shù)沒有實數(shù)根,只有兩個共軛復數(shù)根。判別式大于0時的情況1兩個根方程有兩個不同的實數(shù)根。2圖像與x軸圖像與x軸有兩個交點。3拋物線拋物線開口向上或向下。當二次函數(shù)的判別式大于0時,意味著方程有兩個不同的實數(shù)根,對應于圖像與x軸的兩個交點。此外,拋物線開口向上或向下,具體取決于二次項系數(shù)的符號。判別式等于0時的情況只有一個根當判別式等于0時,二次函數(shù)只有一個實數(shù)根,意味著函數(shù)圖像與x軸只有一個交點。對稱軸這個根就是函數(shù)的對稱軸,它也是函數(shù)圖像的頂點。頂點坐標頂點坐標可以通過公式計算得到,它位于對稱軸上。判別式小于0時的情況1無解當判別式小于0時,二次函數(shù)沒有實數(shù)根。這意味著二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點。2虛數(shù)根雖然二次函數(shù)沒有實數(shù)根,但它仍然具有兩個復數(shù)根,它們可以通過求解二次方程得到。3圖像特征二次函數(shù)的圖像始終在x軸上方或下方,沒有與x軸相交的部分。二次函數(shù)的性質總結圖像形狀二次函數(shù)的圖像是一個拋物線,開口方向由系數(shù)決定。頂點坐標頂點坐標可以由公式計算得出,是拋物線的最高點或最低點。對稱軸對稱軸是一條直線,將拋物線分成兩部分,兩部分關于對稱軸對稱。二次函數(shù)的知識要點二次函數(shù)的一般形式二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c,其中a、b、c是常數(shù),且a≠0。二次函數(shù)的判別式二次函數(shù)的判別式Δ=b2-4ac。判別式可以幫助我們判斷二次函數(shù)的根的情況。二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一個拋物線,其形狀由系數(shù)a決定,頂點坐標由系數(shù)a、b、c決定。二次函數(shù)的應用二次函數(shù)廣泛應用于物理學、經濟學、工程學等領域,可以用來解決最大值、最小值、最佳值等問題。練習題1:判斷二次函數(shù)的性質1系數(shù)符號判斷開口方向,即系數(shù)a的正負2常數(shù)項符號判斷函數(shù)圖像與y軸交點3判別式判斷函數(shù)圖像與x軸交點本練習旨在幫助學生理解二次函數(shù)的性質,包括開口方向、對稱軸、頂點坐標、圖像與坐標軸的交點等。通過觀察系數(shù)符號、常數(shù)項符號和判別式,學生可以判斷二次函數(shù)圖像的具體形狀,并將其與已學知識聯(lián)系起來,加深理解。練習題講解通過解題過程,幫助學生理解二次函數(shù)的符號判斷方法。講解過程中,應注意引導學生分析題意,找出關鍵信息,并運用知識點解決問題。練習題2:解決實際問題問題描述一個拋物線形狀的拱橋,拱頂距離地面10米,拱橋跨度為20米,求拱橋的函數(shù)表達式分析問題確定拋物線的開口方向,確定頂點坐標,確定一個點的坐標建立方程將已知信息代入二次函數(shù)的一般形式,得到一個方程求解方程解方程得到二次函數(shù)的表達式練習題講解本題主要考察二次函數(shù)的性質,包括開口方向、對稱軸、頂點坐標等。首先判斷二次函數(shù)的開口方向,系數(shù)a為正,則開口向上。然后利用對稱軸公式x=-b/2a求出對稱軸。最后利用頂點坐標公式(-b/2a,f(-b/2a))求出頂點坐標。二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一個拋物線。拋物線是平面內到一個定點(焦點)和一條定直線(準線)距離相等的點的軌跡。二次函數(shù)的圖像可以根據(jù)其系數(shù)的符號和大小來確定其形狀和位置。二次函數(shù)圖像的特點1開口方向二次函數(shù)圖像的開口方向取決于二次項系數(shù)的符號。正數(shù)開口向上,負數(shù)開口向下。2對稱軸二次函數(shù)圖像關于一條直線對稱,這條直線稱為對稱軸,其方程為x=-b/2a。3頂點二次函數(shù)圖像的最高點或最低點稱為頂點,其坐標為(-b/2a,f(-b/2a))。4交點二次函數(shù)圖像與x軸的交點稱為零點,與y軸的交點稱為常數(shù)項。二次函數(shù)與拋物線二次函數(shù)的圖像是一個對稱的曲線,叫做拋物線。拋物線形狀取決于二次項系數(shù)的符號。系數(shù)為正,拋物線開口向上;系數(shù)為負,拋物線開口向下。二次函數(shù)與頂點頂點坐標二次函數(shù)的頂點坐標可以通過公式計算得出,表示拋物線最高點或最低點的位置。頂點性質頂點是拋物線的對稱中心,它也是拋物線上離x軸最遠或最近的點。對稱軸頂點所在的直線稱為對稱軸,它將拋物線分成左右對稱的兩部分。二次函數(shù)與軸對稱二次函數(shù)圖像關于一條直線對稱。這條直線叫做對稱軸,它垂直于x軸,且通過拋物線的頂點。對稱軸的方程可以通過頂點坐標求得,也可以用公式x=-b/2a計算得出。對稱軸的性質:函數(shù)圖像關于對稱軸對稱,頂點位于對稱軸上,對稱軸是函數(shù)圖像的中心線。練習題3:分析二次函數(shù)圖像1開口方向觀察圖像的開口方向,確定二次函數(shù)系數(shù)a的正負性。2對稱軸找到圖像的對稱軸,確定二次函數(shù)的對稱軸方程x=-b/2a。3頂點坐標找出圖像的頂點坐標,確定頂點坐標(-b/2a,f(-b/2a))。4與x軸交點觀察圖像與x軸的交點,確定二次函數(shù)的根。通過分析圖像,可以找到二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點坐標和與x軸的交點,從而進一步理解二次函數(shù)的性質。練習題講解老師詳細講解練習題的解題思路和方法。學生可以跟著老師的講解,一步步地理解解題過程。老師還會強調一些解題的技巧和注意事項,幫助學生更好地掌握二次函數(shù)的知識。老師還會引導學生思考一些拓展問題,例如如何將二次函數(shù)應用到實際問題中。通過講解和討論,學生能夠更加深入地理解二次函數(shù)的知識,并能夠運用這些知識解決實際問題。二次函數(shù)在生活中的應用拋物線軌跡火箭發(fā)射的軌跡可以用二次函數(shù)來描述,通過分析二次函數(shù)的圖像,我們可以預測火箭的飛行高度和時間。拱形橋梁拱形橋梁的結構可以用二次函數(shù)來模擬,通過分析二次函數(shù)的性質,我們可以設計更穩(wěn)固、安全的橋梁。利潤最大化企業(yè)生產經營過程中,可以通過二次函數(shù)來分析成本和利潤的關系,找到利潤最大化的生產規(guī)模。應用實例1:最大利潤問題1最大利潤目標2銷售價格影響因素3生產成本影響因素4銷售數(shù)量影響因素假設一家公司生產并銷售某種產品。公司希望通過調整產品的銷售價格,來獲得最大的利潤。我們可以用二次函數(shù)來表示利潤與銷售價格之間的關系。通過分析二次函數(shù)的性質,找到利潤最大的銷售價格。應用實例講解利潤問題可以轉化為二次函數(shù)的模型,求解最大利潤可以通過求二次函數(shù)的頂點坐標。例如,某工廠生產某種產品,已知每件產品的成本為10元,售價為20元,每天能銷售100件。為了增加利潤,工廠決定采取降價策略,每降價1元,每天就能多銷售10件。問降價多少元時利潤最大?設降價x元,則銷售價格為(20-x)元,銷售數(shù)量為(100+10x)件,利潤為:y=(20-x)(100+10x)-10(100+10x)化簡后得到y(tǒng)=-10x2+100x+1000,這是一個開口向下的二次函數(shù),其頂點坐標為(-b/2a,c-b2/4a)。求得x=5時,利潤最大。應用實例2:最高點問題1拋物線模型假設一個物體被向上拋出,其運動軌跡可以用一個二次函數(shù)來描述,該函數(shù)的圖像是一個拋物線。2最高點坐標拋物線的頂點代表物體運動軌跡的最高點,其橫坐標表示時間,縱坐標表示高度。3求解最高點通過求解二次函數(shù)的頂點坐標,就可以確定物體運動軌跡的最高點,包括最高點的高度和達到最高點的時間。應用實例講解這道題的解題關鍵在于建立數(shù)學模型,將實際問題轉化為二次函數(shù)問題。利用拋物線的性質,我們可以求出物體運動的最高點時間和高度。通過分析二次函數(shù)圖像,我們可以確定物體上升和下降的運動軌跡,并計算出最高點的高度??偨Y回顧回顧要點二次函數(shù)的符號問題是關鍵。判別式用于判斷函數(shù)的性質。二次函數(shù)圖像與拋物線有關,具有對稱性。應用領域二次函數(shù)應用廣泛,例如解決最大利潤、最高點等實際問題。知識要點復習11.二次函數(shù)的定義二次函

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