第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)注意事項：1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題紙上.3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知數(shù)列的前幾項為：，4，，10，…，則該數(shù)列的一個通項公式可能為（）A. B.C. D.2.已知等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B. C. D.43.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（）A.2 B.4 C. D.64.已知橢圓經(jīng)過和兩點，則C上的點到右焦點距離的最小值為（）A. B.1 C.2 D.35.拋物線具有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知從拋物線的焦點F發(fā)出的入射光線過點，則經(jīng)過拋物線上一點反射后的反射光線所在直線方程為（）A. B. C. D.6.三角形數(shù)由古希臘畢達哥拉斯學(xué)派提出，是由一列點等距排列表示的數(shù)，其前五個數(shù)如圖所示.記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則使數(shù)列的前n項和的最小正整數(shù)n為（）A.5 B.6 C.7 D.87.已知數(shù)列的各項均為正整數(shù)，，若，則的所有可能取值組成的集合為（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作直線l與C交于兩點A，B（點B在第一象限），線段的垂直平分線過點，點到直線l的距離為，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.最小10.已知曲線，則（）A.可能是等軸雙曲線 B.若表示焦點在y軸上的橢圓，則C.可能是半徑為的圓 D.若表示焦點在x軸上的雙曲線，則11.已知，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點（不在x軸上），的內(nèi)切圓與切于點M，過點的直線l與C交于A，B兩點，則（）A.的最大值為5 B.的內(nèi)切圓面積最大值為C.為定值1 D.若Q為中點，則l的方程為12.若正整數(shù)數(shù)列：滿足：若對任意的正整數(shù)，都有，則稱該數(shù)列為“數(shù)列”.下列關(guān)于“數(shù)列”的說法中正確的有（）A.若數(shù)列8，x，4，y，8為“數(shù)列”，則有序數(shù)組有3個B.若數(shù)列1，m，n，8為“數(shù)列”，則的最大值為6C.若數(shù)列為“數(shù)列”，則使的n的最大值為16D.若數(shù)列為“數(shù)列”，且，則滿足的n的最大值為10三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為等比數(shù)列的前n項和，且，，則的值為______.14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點關(guān)于C的一條漸近線的對稱點為M，且，則C的漸近線方程為______.15.已知，分別為橢圓的左、右焦點，P為C上一點，且，O為坐標(biāo)原點，則的值為______.16.已知數(shù)列滿足：；；，，其中.數(shù)列的通項公式______，令，則數(shù)列的前n項和______.（本小題第一空2分，第二空3分.）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知為數(shù)列的前n項和，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.18.（12分）已知雙曲線C與橢圓有公共焦點，其漸近線方程為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值.19.（12分）已知點F是拋物線的焦點，過點F的直線l交拋物線C于P，Q兩點，過點P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點.（1）證明：Q，O，M三點共線；（2）若，求直線l的方程.20.（12分）網(wǎng)上創(chuàng)業(yè)成為越來越多大學(xué)生的就業(yè)選擇.李紅大學(xué)畢業(yè)后在網(wǎng)上經(jīng)營了一家化妝品店，計劃銷售A，B兩種品牌化妝品.據(jù)市場調(diào)研，銷售A品牌化妝品第一年的利潤為3.8萬元，預(yù)計以后每年利潤比上一年增加0.5萬元；銷售B品牌化妝品第一年的利潤為4萬元，預(yù)計以后每年利潤的增長率為8%.設(shè)，分別為銷售A，B兩種品牌的化妝品第n年的利潤（單位：萬元）.（1）試比較銷售A，B兩種品牌化妝品前10年總利潤的大?。唬?）問：第幾年銷售A品牌化妝品較銷售B品牌化妝品在同一年的利潤差最大？參考數(shù)據(jù)：，，，，.21.（12分）設(shè)數(shù)列，的前n項和分別為，，，，且，.（1）求的通項公式，并證明：是等差數(shù)列；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22.（12分）已知點P在圓上，過點P作x軸的垂線段，D為垂足，Q為線段的中點，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)，，過點作直線與交于不同的兩點M，N（異于A，B），直線，的交點為G.（i）證明：點G在一條平行于x軸的直線上；（ii）設(shè)直線，交點為H，試問：與的面積之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題CADBDCBC二、選擇題9.BC 10.BCD 11.ACD 12.ABD三、填空題13.120 14. 15.16.，四、解答題17.解：（1）由，得，兩式相減得.即，所以，以上各式相乘，得，經(jīng)檢驗也適合上式，故.（2）由題意，數(shù)列的前n項和，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，18.解：（1）設(shè)雙曲線的方程，由已知，，所以，.所以雙曲線方程為.（2）聯(lián)立方程，得，，.所以令，解得.經(jīng)檢驗符合題意，所以.19.（1）證明：拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，，設(shè)點，，則，.因為，所以.又，，，所以所以O(shè)，Q，M三點共線.（2）因為，所以.于是，即.所以.所以直線l的方程為.20.解：（1）A品牌化妝品年銷售利潤構(gòu)成首項為3.8、公差為0.5的等差數(shù)列.B品牌化妝品年銷售利潤構(gòu)成首項為4、公比為1.08的等比數(shù)列.設(shè)銷售A、B品牌化妝品前n年總利潤分別為，，則（萬元）（萬元），故，所以，A品牌化妝品的前10年總利潤更大.（2）可得，，，所以，則，令，得到，令，得到.由參考數(shù)據(jù)，，，知，，所以.所以，第7年時兩種化妝品在同一年的利潤差額最大.21.解：（1）由已知得，，當(dāng)時，，兩式相減得，即.又，即，且，所以，所以，亦滿足.所以，數(shù)列為等比數(shù)列，.所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項、1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，，即.所以，兩式相減得，所以.由已知條件，可得：，即.即，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.22.解：（1）設(shè)，因為點P為的中點，所以