2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

概率與數(shù)列概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的交匯涉及的知識(shí)廣泛,內(nèi)涵豐富,是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn),主要有以下類(lèi)型:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列;(3)與數(shù)列求和相結(jié)合;(4)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),研究單調(diào)性、最值等.角度一概率與數(shù)列的證明、通項(xiàng)公式問(wèn)題例1甲、乙兩口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球,現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋,重復(fù)進(jìn)行n(n∈N*)次這樣的操作,記第n次操作后,口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為Xn,恰有1個(gè)黑球的概率為pn.(1)求p1,p2的值;(2)證明:是等比數(shù)列,并求pn的值(用n表示);(3)證明:Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)為定值.(1)解

設(shè)第n次操作后,口袋甲中恰有2個(gè)黑球的概率為qn,則恰有0個(gè)黑球的概率為1-pn-qn.所以Xn的分布列為

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024山東聊城一模)如圖,一個(gè)正三角形被分成9個(gè)全等的三角形區(qū)域,分別記作A,B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q,C3.一個(gè)機(jī)器人從區(qū)域P出發(fā),每經(jīng)過(guò)1秒都從一個(gè)區(qū)域走到與之相鄰的另一個(gè)區(qū)域(有公共邊的區(qū)域),且到不同相鄰區(qū)域的概率相等.(1)分別寫(xiě)出經(jīng)過(guò)2秒和3秒機(jī)器人所有可能位于的區(qū)域;(2)求經(jīng)過(guò)2秒機(jī)器人位于區(qū)域Q的概率;(3)求經(jīng)過(guò)n秒機(jī)器人位于區(qū)域Q的概率.解

(1)經(jīng)過(guò)2秒機(jī)器人可能位于的區(qū)域?yàn)镻,Q1,Q,經(jīng)過(guò)3秒機(jī)器人可能位于的區(qū)域?yàn)锳,B1,B2,C1,C2,C3.(2)若經(jīng)過(guò)2秒機(jī)器人位于區(qū)域Q,則經(jīng)過(guò)1秒時(shí),機(jī)器人必定位于區(qū)域B2,(3)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)路徑為P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…,設(shè)經(jīng)過(guò)n秒機(jī)器人位于區(qū)域Q的概率為Pn,則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Pn=0.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可知,經(jīng)過(guò)n秒機(jī)器人位于區(qū)域Q的概率與位于區(qū)域Q1的概率相等,均為Pn,故經(jīng)過(guò)n秒機(jī)器人位于區(qū)域P的概率為1-2Pn.角度二概率與數(shù)列的求和問(wèn)題例2為調(diào)查某地景區(qū)的客流量情況,現(xiàn)對(duì)某一時(shí)間段A景區(qū)的部分游客作問(wèn)卷調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計(jì),其中75%的游客計(jì)劃只游覽A景區(qū),另外25%的游客計(jì)劃既游覽A景區(qū)又游覽B景區(qū).為提高游客的旅游熱情,景區(qū)將為游客發(fā)放文旅紀(jì)念品,每位游客若只游覽A景區(qū),則得到1份文旅紀(jì)念品;若既游覽A景區(qū)又游覽B景區(qū),則獲得2份文旅紀(jì)念品.假設(shè)每位游客游覽A景區(qū)與是否游覽B景區(qū)是相互獨(dú)立的,用頻率估計(jì)概率.(1)從A景區(qū)的游客中隨機(jī)抽取3人,記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)從A景區(qū)的游客中隨機(jī)抽取n人,記這n個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為n+1個(gè)的概率為an,求{an}的前n項(xiàng)和Sn;(3)從A景區(qū)的游客中隨機(jī)抽取100人,這些游客得到紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為m個(gè)的概率為bm,當(dāng)bm取最大值時(shí),求m的值.所以X的分布列為

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]某公司開(kāi)發(fā)了一款學(xué)習(xí)類(lèi)的闖關(guān)益智游戲,每一關(guān)的難度分別有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三級(jí),并且下一關(guān)的難度與上一關(guān)的難度有關(guān),若上一關(guān)的難度是Ⅰ或者Ⅱ,則下一關(guān)的難度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為,若上一關(guān)的難度是Ⅲ,則下一關(guān)的難度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為,已知第1關(guān)的難度為Ⅰ.(1)求第3關(guān)的難度為Ⅲ的概率;(2)用Pn表示第n關(guān)的難度為Ⅲ的概率,求Pn;(3)設(shè)