13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)一、單選題1．如圖，在中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M、N，直線與相交于點(diǎn)E．過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)D，與相交于點(diǎn)F．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接DE，如圖，利用基本作圖得到AE=CE，則DE為斜邊AC的中線，所以DE=AE=CE，則∠ADE=∠A=34°，接著證明BD=DE，所以∠DBE=∠DEB=17°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠BFC的度數(shù)．【詳解】連接DE，如圖，由作法得MN垂直平分AC，∴AE=CE，∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDE=90°，∵DE為斜邊AC的中線，∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A=34°，∵BD=CE，∴BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠ADE=17°，∴∠BFC=∠DBF+∠BDF=17°+90°=107°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．2．如圖，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC的垂直平分線分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】∵DE是線段AC的垂直平分線，∴，∴的周長(zhǎng)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線性質(zhì)，并將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成已知邊得長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，按以下步驟：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于BC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M，N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，若AB＝10，AC＝4，則△ACD的周長(zhǎng)是（）A．24 B．18 C．14 D．9【答案】C【分析】根據(jù)作圖得到MN是線段BC的垂直平分線，得到BD＝DC，再根據(jù)周長(zhǎng)公式進(jìn)行線段代換即可求解．【詳解】由作圖可知MN是線段BC的垂直平分線，∴BD＝DC，∴△ACD的周長(zhǎng)＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB＝14．故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，根據(jù)題意得到MN是線段BC的垂直平分線是解題關(guān)鍵．4．如圖，在中，，點(diǎn)，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．若，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作軸于N，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于M．證明，推出，設(shè)，則，構(gòu)建方程組，解決問題即可．【詳解】過點(diǎn)B作軸于N，過點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于M．由作圖可知，垂直平分線段，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．如圖，將放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)確定出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．作線段AC、AB的垂線，交點(diǎn)為O，由圖可知：OA=OB=OC，∴到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）．故答案為：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線，平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．6．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于，直線交于點(diǎn)，連接．若的周長(zhǎng)為10，則的周長(zhǎng)為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【分析】△ABE的周長(zhǎng)為AB+AE+BE=10，根據(jù)DE是線段AC的垂直平分線，得AE=EC，得到AB+BC=10，AC=2AD=6，計(jì)算周長(zhǎng)即可【詳解】∵ED是線段AC的垂直平分線，∴AE=EC，∵△ABE的周長(zhǎng)為AB+AE+BE=10，∴AB+BC=10，∵AC=2AD=6，∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=10+6=16，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線，三角形的周長(zhǎng)，靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)實(shí)施線段的等量代換是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交于、于，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，下列四個(gè)結(jié)論：①是的平分線；②；③點(diǎn)在的中垂線上；④．其中正確的有（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④【答案】D【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及各內(nèi)角度數(shù)和三角形面積求法分別得出即可．【詳解】根據(jù)作圖過程可知是的角平分線，①正確；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正確；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，故③正確；∵∠CAD=30°，∴CD=AD，∵AD=DB，∴CD=DB，∴CD=CB，S△ACD=CD?AC，S△ACB=CB?AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正確，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查尺規(guī)作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的外角以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握有關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．8．如圖，在中，垂直平分，垂足為E，平分于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，己知，則（）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】因?yàn)镋D是BC的垂直平分線，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DM=DN，再根據(jù)HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，從而有BM=CN．【詳解】連接BD，如圖：∵DE所在直線是BC的垂直平分線，∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，在Rt△BMD與Rt△CDN中，∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN=4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的定義以及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)以及具體的應(yīng)用．二、填空題9．如圖，在中，垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；作射線AF，射線AF與直線PQ相交于點(diǎn)G，則的度數(shù)為__________度．【答案】56【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC＝68°，由角平分線的定義得∠BAG＝34°，由線段垂直平分線可得△AQG是直角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠AGQ．【詳解】∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90°?∠B＝90°?22°＝68°，由作法可知，AG是∠BAC的平分線，∴∠BAG＝∠BAC＝34°，∵PQ是AB的垂直平分線，∴△AGQ是直角三角形，∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90°?∠BAG＝90°?34°＝56°，故答案為：56．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟知角平分線和中垂線的尺規(guī)作法是解題的關(guān)鍵．10．如圖，直線l為線段的垂直平分線，垂足為C，直線l上的兩點(diǎn)E，F(xiàn)位于異側(cè)（E，F(xiàn)兩點(diǎn)不與點(diǎn)C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是____．【答案】【分析】根據(jù)全等三角形的判定直接寫出條件即可【詳解】證明：添加：，理由如下：∵直線l為線段的垂直平分線∴AC=CB,∠ACE=∠BCF又∴（SAS）故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，線段的垂直平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定是關(guān)鍵11．如圖，是中邊的垂直平分線，若，則的周長(zhǎng)為_____．

【答案】9【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得AD=CD，再等量代換即可求得三角形的周長(zhǎng)．【詳解】∵DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，∴AD=CD，∴BD+CD=BD+AD=AB=5cm，∴△EBC的周長(zhǎng)=BC+BD+CD=4+5=9（cm）．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；利用線段進(jìn)行等量代換，把線段進(jìn)行等效轉(zhuǎn)移是正確解答本題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為_____°．【答案】30【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠CDB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】∵∠C=80°，∠CBD=40°，∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，∵線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，∴DA=DB，∴∠A=∠DBA=∠CDB=30°，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BQ∥CA交PO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，OM⊥PQ交BC邊于點(diǎn)M．當(dāng)CP＝1時(shí)，BM的長(zhǎng)為_____．【答案】2.5或1【分析】如圖，設(shè)BM=x，首先證明BQ=AP，分兩種情形，利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】如圖，設(shè)BM＝x，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵QB∥AP，∴∠A＝∠OBQ，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB，在△OAP和△OBQ中，，∴△OAP≌△OBQ（ASA），∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM⊥PQ，∴MQ＝MP，∴52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，綜上所述，滿足條件的BM的值為2.5或1．故答案為：2.5或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．14．如圖，OA，OB分別是線段MC、MD的垂直平分線，MD＝5cm，MC＝7cm，CD＝10cm，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)，爬到OA邊上任意一點(diǎn)E，再爬到OB邊上任意一點(diǎn)F，然后爬回M點(diǎn)，則小螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)度為_____．【答案】10cm【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)CD與OA的交點(diǎn)為E，與OB的交點(diǎn)為F，∵OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分線，∴ME＝CE，MF＝DF，∴小螞蟻爬行的路徑最短＝CE+EF+DF=CD＝10cm，故答案為：10cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)-最短路徑的問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識(shí)點(diǎn)．三、解答題15．如圖，已知直線，直線分別與、交于點(diǎn)、．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在線段上求作點(diǎn)，使點(diǎn)到、的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】作出線段AB的垂直平分線即可．【詳解】如圖所示，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖．16．如圖，為半圓O的直徑，且為半圓上的一點(diǎn)，．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖在上作一點(diǎn)D，使得；（不寫作法，保留痕跡）（2）在（1）的條件下，連接，若，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）24【分析】（1）延長(zhǎng)，在的延長(zhǎng)線上截取，使得，作線段的垂直平分線垂足為D，點(diǎn)D即為所求作；（2）解直角三角形求出，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，作法如下：延長(zhǎng)，在的延長(zhǎng)線上截取，使得；分別以點(diǎn)E，B為圓心，大于畫弧，作BE的中垂線，中垂線與BE的交點(diǎn)即為所求的D點(diǎn)．（2）連接．，∴OD為△ABE的中位線，∴，是直徑，∴，在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用垂直平分線的性質(zhì)作圖、解直角三角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，確定為直角三角形，再進(jìn)行求解．17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．（1）動(dòng)手操作：要求尺規(guī)作圖，不寫作法，但保留作圖痕跡．①作出AB的垂直平分線MN，MN分別與AB交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E．②過點(diǎn)B作BF垂直于AE，垂足為F．（2）推理證明：求證AC=BF．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的作法得出即可；②延長(zhǎng)，再根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法得出即可；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，再加上，，證得：，根據(jù)全等的性質(zhì)得．【詳解】（1）①②：如圖直線MN，BF就是所要求的作的圖形．（2）證明：∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AE=BE．∵BF⊥AE，垂足為F，∴．∵，∴．∴AC=BF．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂直平分線的作法、過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的作法、垂直平分線性質(zhì)以及全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知得出AE與BE的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．如圖，已知的周長(zhǎng)為，根據(jù)要求解答下列問題：（1）用直尺和圓規(guī)作出的邊的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)、，連接，請(qǐng)寫出畫法并保留作圖痕跡；（2）若，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）作圖見解析；（2）．【分析】（1）如圖，分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)作直線分別交、于點(diǎn)、，則直線就是的垂直平分線．（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得從而解決問題即可．【詳解】（1）如圖，直線即為所求作．（2）直線是的垂直平分線，，cm，cm，又∵cm，，cm，即的周長(zhǎng)為cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．19．如圖，在中，．（1）請(qǐng)用尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若點(diǎn)恰好在線段的垂直平分線上，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交AC，AB于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半長(zhǎng)為半徑畫弧，連結(jié)點(diǎn)A與這兩弧交點(diǎn)交BC于點(diǎn)D．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）如答題20圖，即為所求．

（2）∵點(diǎn)恰好在線段的垂直平分線上，∴；∴．∵，∴∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在鈍角中，．（1）作的垂直平分線，與邊，分別交于點(diǎn)、（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，求證．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）利用尺規(guī)作圖法作AC的垂直平分線即可；（2）在（1）的條件下，畫出△ABC的AC邊上的高BH即可，進(jìn)而可以寫出∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系．【詳解】（1）如圖，AC的垂直平分線DE即為所求；（2）在（1）的條件下，AC邊上的高BH即為所求．∠ADE和∠HBC的大小關(guān)系為：相等．理由如下：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝EC，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，∵BH⊥AC，DE⊥AC，∴DE∥BH，∴∠CDE＝∠HBC，∴∠ADE＝∠HBC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．21．如圖，兩條公路和相交于點(diǎn)，在的內(nèi)部有工廠和，現(xiàn)要修建一個(gè)貨站到兩條公路，的距離相等，且到兩工廠，的距離也相等，用尺規(guī)作出貨站的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）【答案】見解析【分析】根據(jù)題意作的平分線，的垂直平分線，其交點(diǎn)即為所求．【詳解】如圖，作的平分線，的垂直平分線，與的交點(diǎn)就是貨站的位置．【點(diǎn)評(píng)】此