12.4全等三角形（單元檢測(cè)）一、單選題(共36分)1．(本題3分)如圖，在中，，，的平分線與的外角的平分線交于E點(diǎn)，連接AE，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作EF⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到答案．【詳解】作EF⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝40°，∴∠BAF＝140°，∴∠EAB＝70°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，∴∠ABC＝50°，∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝65°，∴∠AEB＝180°?∠EAB?∠ABE＝45°，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義的正確運(yùn)用．2．(本題3分)如圖，E是的平分線AD上任意一點(diǎn)，且，則圖中全等三角形有（）A．4對(duì) B．3對(duì) C．2對(duì) D．1對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)題意可知：AB=AC，E是角平分線AD上任意一點(diǎn)，根據(jù)三角形全等的判定方法可知全等的三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE．【詳解】∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和△ACD中，，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，

在△BED和△CED中，，

∴△BDE≌△CDE（SAS），

在△ABE和△ACE中，，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

共3對(duì)全等三角形，

故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS．以及HL．3．(本題3分)如圖，AD是的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，連結(jié)BF，CE．下列說(shuō)法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)“”可證明，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；利用全等三角形的性質(zhì)可對(duì)①進(jìn)行判斷；由于與不能確定相等，則根據(jù)三角形面積公式可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，則利用平行線的判定方法可對(duì)③進(jìn)行判斷．【詳解】是的中線，，，，，所以④正確；，所以①正確；與不能確定相等，和面積不一定相等，所以②錯(cuò)誤；，，，所以③正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的5種判定方法是解題的關(guān)鍵．4．(本題3分)如圖，是的中線，，分別是和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，連結(jié)，．下列說(shuō)法：①；②和面積相等；③；④．其中正確的有（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，然后利用“邊角邊”證明△BDF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=BF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠F=∠CED，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得BF∥CE，最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②正確．【詳解】∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正確∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正確，∴BF∥CE，故③正確，∵BD=CD，點(diǎn)A到BD、CD的距離相等，∴△ABD和△ACD面積相等，故②正確，綜上所述，正確的是①②③④共4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，平行線的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．5．(本題3分)下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A．能夠完全重合的圖形稱為全等圖形B．全等圖形的形狀和大小都相同C．所有正方形都是全等圖形D．形狀和大小都相同的兩個(gè)圖形是全等圖形【答案】C【解析】解：A．能夠重合的圖形稱為全等圖形，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．全等圖形的形狀和大小都相同，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．所有正方形不一定都是全等圖形，說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)正確；D．形狀和大小都相同的兩個(gè)圖形是全等圖形，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．6．(本題3分)如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)AB=AC，∠A=112°求得∠B=∠C=34°，再證明△BED≌△CDF得到∠BDE=∠CFD，由∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，推出∠EDF=∠C=34°.【詳解】∵AB=AC，∠A=112°，∴∠B=∠C=34°，∵,∴△BED≌△CDF，∴∠BDE=∠CFD，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠CFD+∠C+∠CDF=180°，∴∠EDF=∠C=34°，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和的運(yùn)用.7．(本題3分)如圖，是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，若，，則的長(zhǎng)是()A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，，根據(jù)全等三角形的判定，得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)，，即可求線段的長(zhǎng)．【詳解】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴.故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能判定是解此題的關(guān)鍵．8．(本題3分)如圖，已知在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】過(guò)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，過(guò)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，

∴DE=CD=4，∴四邊形的面積故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．(本題3分)如圖,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,則∠ACD等于（）A．80° B．60° C．40° D．20°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠DCB的度數(shù)，計(jì)算即可．【詳解】∵∠A=80°，∠ACB=40°，∴∠ABC=60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠DCB=∠ABC=60°，∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=60°-40°=20°，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．10．(本題3分)平面上有與，其中與相交于點(diǎn)，如圖．若，，，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【分析】易證，由全等三角形的性質(zhì)可知：，再根據(jù)已知條件和四邊形的內(nèi)角和為，即可求出的度數(shù)．【詳解】在和中，，，，，，，，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用整體的數(shù)學(xué)思想求出．11．(本題3分)如圖，一種測(cè)量工具，點(diǎn)O是兩根鋼條AC、BD中點(diǎn)，并能繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng).由三角形全等可得內(nèi)槽寬AB與CD相等，其中△OAB≌△OCD的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS【答案】C【分析】由O是AC、BD的中點(diǎn)，可得AO=CO，BO=DO，再由∠AOB=∠COD，可以根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OCD，即可得出結(jié)論．【詳解】∵O是AC、BD的中點(diǎn)，∴AO=CO，BO=DO．在△OAB和△OCD中，∵AO=CO，∠AOB=∠COD，BO=DO，∴△OAB≌△OCD（SAS），∴AB=CD．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要證明兩個(gè)三角形全等，必須有對(duì)應(yīng)邊相等這一條件．12．(本題3分)下列條件不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等C．斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】、可以利用邊角邊判定兩三角形全等，故本選項(xiàng)不合題意；、可以利用角角邊判定兩三角形全等，故本選項(xiàng)不合題意；、根據(jù)斜邊直角邊定理判定兩三角形全等，故本選項(xiàng)不合題意；、三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等不能證明兩三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定方法；本題主要利用三角形全等的判定，運(yùn)用好有一對(duì)相等的直角這一隱含條件是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共12分)13．(本題3分)如圖10，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃．那么最省事的辦法是帶________去配，這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是是_______________________________．【答案】③兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來(lái)三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來(lái)完全一樣的；

第三塊不僅保留了原來(lái)三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來(lái)配一塊一樣的玻璃．

故答案為③；兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是要認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)已知選擇判定方法．14．(本題3分)如圖，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1m，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2m，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)_______分鐘后△CAP與△PQB全等．【答案】4【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后△CAP與△PQB全等；則BP=xm，BQ=2xm，則AP=（12-x）m，分兩種情況：①若BP=AC，則x=4，此時(shí)AP=BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，則12-x=x，得出x=6，BQ=12≠AC，即可得出結(jié)果．【詳解】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后△CAP與△PQB全等；

則BP=xm，BQ=2xm，則AP=（12-x）m，

分兩種情況：

①若BP=AC，則x=4，

AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，則12-x=x，

解得：x=6，BQ=12≠AC，

此時(shí)△CAP與△PQB不全等；

綜上所述：運(yùn)動(dòng)4分鐘后△CAP與△PQB全等；

故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識(shí)；本題難度適中，需要進(jìn)行分類(lèi)討論．15．(本題3分)如圖，己知，的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)E且交點(diǎn)F，，，，則_________.【答案】35°.【分析】由△ABC≌△ADE可得∠B=∠D=50°，再在△ACF和△DEF中應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D=50°，∵∠ACB=105°，∴∠ACE=75°，在△ACF和△DEF中，∵∠ACE+∠CAF+∠AFC=∠D+∠DEF+∠DFE，∠AFC=∠DFE，∴75°+10°=50°+∠DEF，∴∠DEF=35°.故答案為35°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型，掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是關(guān)鍵.16．(本題3分)如圖,已知△ABC的兩條高AD、BE交于F,AE=BE,若要運(yùn)用“HL”說(shuō)明△AEF≌△BEC，還需添加條件：_______________.【答案】AF=BC【解析】HL指的是斜邊、直角邊定理，只能添加兩條斜邊相等，即AF=BC.三、解答題(共72分)17．(本題8分)如圖，△ABC≌△DBE，點(diǎn)D在邊AC上，BC與DE交于點(diǎn)P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CDE的度數(shù)．【答案】∠CDE＝66°．【分析】先求出∠ABD+∠CBE＝132°，再根據(jù)三角形全等得到∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，進(jìn)而求出∠ABD＝∠CBE＝66°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CDE＝∠CBE＝66°．【詳解】∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，∵∠CPD＝∠BPE，∴∠CDE＝∠CBE＝66°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)全等性質(zhì)證明∠ABD＝∠CBE是解題關(guān)鍵.18．(本題8分)如圖（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分別為A、B，AC＝5cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在射線BD上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請(qǐng)分別說(shuō)明理由；（2）如圖（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，其它條件不變，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)有△ACP與△BPQ全等，求出相應(yīng)的x的值．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ，理由見(jiàn)解析；（2）2或【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根據(jù)“SAS”證明△ACP≌△BPQ；則∠C＝∠BPQ，然后證明∠APC＋∠BPQ＝90°，從而得到PC⊥PQ；（2）討論：若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分別求出x即可．【詳解】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C＋∠APC＝90°，∴∠APC＋∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．綜上所述，當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)x的值為2或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．19．(本題8分)如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的那一條邊上相遇．【答案】（1）①△BPD與△CQP全等，②點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是cm/s．（2）經(jīng)過(guò)30秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【分析】（1）①根據(jù)SAS即可判斷；②利用全等三角形的性質(zhì)，判斷出對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)時(shí)間．路程、速度之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題；（2）求出Q的運(yùn)動(dòng)路程，與根據(jù)三角形ABC周長(zhǎng)的整數(shù)倍進(jìn)行比較，即可得出相遇點(diǎn)的位置．【詳解】（1）①△BPD與△CQP全等，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，∴運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，則BP≠CQ，若△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3cm，需3秒，而點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)5cm，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是cm/s．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，P、Q第一次相遇，∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，∴10+10+t=t，解得：t=30，此時(shí)點(diǎn)Q的路程=30×=50（厘米），∵50＜2×26，∴此時(shí)點(diǎn)Q在BC上，∴經(jīng)過(guò)30秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊BC上相遇．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．解題時(shí)注意全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．20．(本題8分)如圖，一個(gè)四邊形紙片ABCD，，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)，AE是折痕．（1）判斷與DC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如果，求的度數(shù)．【答案】（1）B′E∥DC，理由見(jiàn)解析；（2）65°【分析】（1）由于是的折疊后形成的，可得，可得B′E∥DC；（2）利用平行線的性質(zhì)和全等三角形求解．【詳解】（1）由于是的折疊后形成的，，；（2）折疊，△，，即，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)，則△，利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及判定求解．21．(本題8分)已知和位置如圖所示，，，．（1）試說(shuō)明：；（2）試說(shuō)明：．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)SAS可證明△ADB≌△AEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即得結(jié)論；（2）由可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可推出結(jié)論．【詳解】（1）在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；（2）∵，∴，∵△ADB≌△AEC，∴，∴，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于常見(jiàn)題型，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(本題10分)（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷．，，之間的等量關(guān)系________；（2）問(wèn)題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2），理由詳見(jiàn)解析.【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)AAS證得≌，于是，進(jìn)一步即得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖②，先根據(jù)AAS證明≌，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】（1）.理由如下：如圖①，∵是的平分線，∴∵，∴，∴，∴.∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌（AAS），∴.∴.故答案為.（2）.理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).∵，∴，又∵，，∴≌（AAS），∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．23．(本題10分)如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求證：BE=CD．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：首先證明∠BAE=∠CAD，再利用SAS證明△BAE≌△CAD即可．試題解析：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△BAE≌△CAD(SAS)，∴BE=CD.24．(本題12分)在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．（1）如圖①，若∠BPC＝α，則∠A＝；（用α的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論）（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探究∠Q與∠BPC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，延長(zhǎng)線段CP、QB交于點(diǎn)E，