平面向量平行的坐標(biāo)表示及運算本節(jié)課我們學(xué)習(xí)平面向量的平行關(guān)系，了解其坐標(biāo)表示的簡潔表達(dá)方式。同時，我們將深入探討平面向量平行的向量運算，包括向量加減、數(shù)乘等運算。課程目標(biāo)掌握向量平行條件理解兩個向量平行的坐標(biāo)表示方法。運用坐標(biāo)表示法判斷兩個向量是否平行。熟練向量運算掌握向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的運算規(guī)則。能運用向量運算解決平面幾何問題。什么是向量11.有大小向量表示方向和大小。22.有方向向量有明確的起始點和終點，表示方向。33.可加減向量可以進(jìn)行加減法運算。44.可縮放向量可以進(jìn)行縮放，改變大小。向量的表示幾何表示向量可以用帶箭頭的線段表示，起點表示向量起點，箭頭表示方向，長度表示大小。坐標(biāo)表示向量也可以用坐標(biāo)表示，即用一對有序?qū)崝?shù)表示向量的起點和終點在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。符號表示向量通常用字母表示，例如a，b，c，也可以用字母上加箭頭表示，例如→a，→b，→c。向量的平行條件方向相同兩個向量方向相同或相反，則它們平行。坐標(biāo)比例若兩個向量坐標(biāo)成比例，則它們平行。數(shù)量積為零若兩個向量數(shù)量積為零，且它們不為零向量，則它們平行。向量的相等條件方向一致兩個向量方向相同或相反。長度相等兩個向量的長度相同。向量運算1加法首尾相連2減法平行移動3數(shù)乘長度變化4數(shù)量積投影長度向量運算在平面向量中非常重要?？梢詭椭覀兏p松地進(jìn)行向量之間的加減、數(shù)乘、數(shù)量積等運算。通過向量運算，可以解決很多數(shù)學(xué)問題，比如求兩個向量的夾角、求兩個向量的距離等等。向量的加法平行四邊形法則兩個向量相加，結(jié)果為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線?？梢杂脠D形表示。三角形法則將兩個向量首尾相接，則這兩個向量和為從第一個向量起點指向第二個向量終點的向量。坐標(biāo)法則兩個向量的坐標(biāo)分別相加得到和向量的坐標(biāo)，即a+b=(a1+b1,a2+b2)。向量的減法向量的減法是向量加法的逆運算，可以用向量加法的法則推導(dǎo)出。向量減法是向量運算中的一個重要概念，它代表著兩個向量之間的差值，在實際應(yīng)用中具有廣泛的意義。1定義向量a減去向量b，即向量b的反向量加向量a。2運算向量a-b=a+(-b)3幾何意義向量a-b表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量。向量的數(shù)乘1定義向量與一個實數(shù)相乘，得到一個新的向量，稱為原向量的數(shù)乘.2性質(zhì)數(shù)乘的結(jié)果仍然是向量，其方向與原向量相同或相反，長度為原向量的長度乘以實數(shù)的絕對值.3運算數(shù)乘運算可以通過將向量的每個分量分別乘以實數(shù)來進(jìn)行.向量的數(shù)量積1定義兩個向量數(shù)量積是一個標(biāo)量，表示它們在同一方向上的投影長度的乘積。2計算公式設(shè)向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，則a·b=x1x2+y1y23幾何意義向量數(shù)量積的值等于兩個向量長度的乘積與它們夾角的余弦值的乘積。向量的夾角定義兩個非零向量之間的夾角是指這兩個向量所對應(yīng)的有向線段所成的角，且這個角的度數(shù)不超過180度。公式向量a和b的夾角θ可以用以下公式計算：cosθ=(a·b)/(||a||||b||)，其中a·b表示向量a和b的數(shù)量積，||a||和||b||分別表示向量a和b的模長。應(yīng)用向量夾角的計算在物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如計算力的合力、速度的分解等。向量成比例定義兩個向量成比例，是指其中一個向量是另一個向量的倍數(shù)，且比例系數(shù)為非零實數(shù)。幾何意義兩個向量成比例，意味著它們的方向相同或相反，且長度成比例關(guān)系。坐標(biāo)表示如果兩個向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)成比例，則存在一個非零實數(shù)k，使得a1=kb1，a2=kb2。向量的分解定義將一個向量表示成兩個或多個向量的和，稱為向量的分解。方法通常將向量分解為互相垂直的兩個方向上的分向量，例如，將一個向量分解為水平方向和垂直方向的分向量。應(yīng)用向量的分解在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，例如力的分解、速度的分解等。示例將一個力向量分解為水平方向和垂直方向的分力，分別表示該力在水平方向和垂直方向上的作用效果。向量的投影1定義向量a在向量b方向上的投影，就是向量a在向量b方向上的長度。2計算投影長度等于向量a與向量b的點積除以向量b的模長。3應(yīng)用向量投影可以用于計算兩個向量之間的夾角。向量投影是向量運算中一個重要的概念，可以幫助我們理解向量在不同方向上的分量。向量間的距離11.坐標(biāo)表示向量間的距離可以通過坐標(biāo)表示計算,利用勾股定理計算兩點間的距離.22.平行向量平行向量間的距離可以用平行向量和兩個端點組成的三角形計算.33.投影計算利用向量的投影,可以直接計算兩點間的距離,方便快捷.平行向量的計算1向量分量確定向量在坐標(biāo)軸上的投影長度2平行條件判斷兩個向量方向一致3方向向量確定向量方向4坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示向量計算平行向量時，首先需要了解向量的坐標(biāo)表示，并判斷兩個向量是否滿足平行條件。通過確定向量方向和向量分量，可以方便地進(jìn)行計算。平行向量的分量1方向一致分量對應(yīng)成比例2方向相反分量對應(yīng)成反比3坐標(biāo)表示兩個向量的分量相同或成比例平行向量的分量具有特殊的性質(zhì)。方向一致的平行向量，分量對應(yīng)成比例；方向相反的平行向量，分量對應(yīng)成反比。在坐標(biāo)表示中，兩個向量平行，則它們的坐標(biāo)相同或成比例。平行向量的夾角夾角定義平行向量之間的夾角為0度或180度。方向判斷如果兩個平行向量方向相同，夾角為0度；方向相反，夾角為180度。公式計算利用數(shù)量積公式計算平行向量之間的夾角。平行向量的積數(shù)量積兩個平行向量數(shù)量積等于它們模的乘積，符號為“·”。數(shù)量積結(jié)果是一個標(biāo)量，反映了兩個向量在方向上的相似程度。向量積兩個平行向量向量積等于零向量，符號為“×”。向量積結(jié)果是一個向量，垂直于兩個向量所在的平面，反映了兩個向量構(gòu)成的面積大小。實例演示1已知向量a=(2,-1)，向量b=(4,2)，求向量a與向量b是否平行。利用向量平行條件：向量a與向量b平行等價于a與b成比例，即存在實數(shù)k使得a=kb。計算：a=kb，即(2,-1)=k(4,2)，則k=1/2。a=1/2b，所以向量a與向量b平行。實例演示2假設(shè)向量a=(2,1)，向量b=(-1,3)。求向量a與向量b的夾角。實例演示3求向量a=(1,2)和向量b=(3,-1)的夾角θ。首先，我們計算向量a和向量b的數(shù)量積：a·b=1*3+2*(-1)=1。然后，我們計算向量a和向量b的模長：|a|=√(12+22)=√5，|b|=√(32+(-1)2)=√10。根據(jù)向量數(shù)量積的定義，有a·b=|a||b|cosθ，因此，cosθ=(a·b)/(|a||b|)=1/(√5*√10)=√2/10。所以，向量a和向量b的夾角θ=arccos(√2/10)。實例演示4若向量a=(1,2)，b=(3,4)，則向量a+b和a-b的坐標(biāo)分別為：根據(jù)向量的加減運算，可得a+b=(1,2)+(3,4)=(4,6)和a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2)。實例演示5向量在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，比如在物理學(xué)中，速度、加速度、力等物理量都可以用向量來表示。在工程學(xué)中，向量可以用來表示力和運動。在計算機圖形學(xué)中，向量可以用來表示點、線、面等幾何圖形。知識小結(jié)11.平行向量的坐標(biāo)表示兩個向量平行，則它們的坐標(biāo)成比例。22.平行向量的運算平行向量的加減運算仍然得到平行向量。33.平行向量的性質(zhì)平行向量具有相同的斜率和方向。44.平行向量應(yīng)用平行向量在幾何、物理和工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。課后思考復(fù)習(xí)鞏固回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識點，比如向量的坐標(biāo)表示、平行條件、運算規(guī)則等。嘗試用自己的語言描述這些概念，并舉例說明。拓展延伸嘗試思考向量在其他學(xué)科或?qū)嶋H生活中的應(yīng)用，比如物理學(xué)中的力、速度、加速度等，以及如何在實際問題中運用向量解決問題。達(dá)標(biāo)測試通過本次學(xué)習(xí)，同學(xué)們可以鞏固對平面向量平行坐標(biāo)