重難點(diǎn)31隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．巧用四個(gè)有關(guān)的結(jié)論(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．在抽樣方法的考查中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣是考查的重點(diǎn)，題型主要以選擇題和填空題為主，屬于中低檔題．用樣本估計(jì)總體，是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)．以考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為主，同時(shí)考查對(duì)樣本估計(jì)總體的思想的理解.（建議用時(shí)：40分鐘）一、單選題1．某企業(yè)在舉行的安全知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了30名員工，統(tǒng)計(jì)了他們的測(cè)試成績(jī)（單位：分），并得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，設(shè)這30名員工的測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為m，眾數(shù)為n，平均數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由統(tǒng)計(jì)圖可知，測(cè)試成績(jī)按從高到低的順序排好后，中間的兩個(gè)測(cè)試成績(jī)?yōu)?0分，90分，故中位數(shù)（分），眾數(shù)分，平均數(shù)（分），則.故選：D2．某高中學(xué)校高二和高三年級(jí)共有學(xué)生人，為了解該校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為的樣本，其中高一年級(jí)抽取人，則高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)閺娜齻€(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為的樣本，且高一年級(jí)抽取人，所以從高二和高三年級(jí)抽取人，則，解得，即高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為.故選：B.3．某研究機(jī)構(gòu)為了實(shí)時(shí)掌握當(dāng)?shù)匦略龈咚龠\(yùn)行情況，在某服務(wù)區(qū)從小型汽車中抽取了名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁伲ǎ┓殖闪危?，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．這輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計(jì)值為B．這輛小型車輛車速的中位數(shù)的估計(jì)值為C．這輛小型車輛車速的平均數(shù)的估計(jì)值為D．在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛車，估計(jì)車速超過(guò)的概率為【答案】C【解析】對(duì)于A：由圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值，故A正確．對(duì)于B：，，所對(duì)應(yīng)的矩形的面積分別為，，，其和為，而對(duì)應(yīng)的矩形面積為，因此中位數(shù)的估計(jì)值為，故B正確．對(duì)于C：平均數(shù)的估計(jì)值為，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：估計(jì)車速超過(guò)的概率為，故D正確．故選：C．4．分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8C．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為，A選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：，B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，D選項(xiàng)結(jié)論正確.故選：C5．已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)4，5，6，此時(shí)樣本容量為10，若此時(shí)平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)分別為：，根據(jù)題意，，所以，.故選：B.6．2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)中國(guó)體育代表團(tuán)共收獲9金4銀2銅，金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高．獲得的9枚金牌中，5枚來(lái)自雪上項(xiàng)目，4枚來(lái)自冰上項(xiàng)目．某體育院校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生冬奧會(huì)期間觀看雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：小時(shí)），并按，，，，分組，分別得到頻率分布直方圖如下：估計(jì)該體育院校學(xué)生觀看雪上項(xiàng)目和冰上項(xiàng)目的時(shí)間長(zhǎng)度的第75百分位數(shù)分別是和，方差分別是和，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可得：，解得：；，解得：；所以.比較兩個(gè)頻率分布直方圖可以看出：雪上項(xiàng)目的數(shù)據(jù)更分散，冰上項(xiàng)目的數(shù)據(jù)更分散，由方差的意義可以得到：.故選：A7．某班有n位同學(xué)，統(tǒng)計(jì)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分與方差．在第一次計(jì)算時(shí)漏過(guò)了一位同學(xué)的成績(jī)，算得位同學(xué)的平均分和方差分別為、，所以只好再算第二次，算得n位同學(xué)的平均分和方差分別為、，若已知該漏過(guò)了的同學(xué)的得分恰好為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】設(shè)這個(gè)班n位同學(xué)的成績(jī)分別是，，…，，…，，第一次漏過(guò)了第i位同學(xué)的成績(jī)，第一次計(jì)算時(shí)總分是，方差是第二次計(jì)算時(shí)，，方差故，故選：C．8．是的平均值，5為的平均值，10為的平均值，則（

）A．8 B．9 C．15 D．【答案】A【解析】因?yàn)?為的平均值，所以，即，因?yàn)?0為的平均值，所以，即，所以，故選：A9．某校高一年級(jí)一名學(xué)生一學(xué)年以來(lái)七次月考物理成績(jī)（滿分100分）依次為84，78，82，84，86，89，96，則這名學(xué)生七次月考物理成績(jī)的第70百分位數(shù)為（

）A．86 B．84 C．96 D．89【答案】A【解析】因?yàn)椋赃@名學(xué)生七次月考物理成績(jī)的第70百分位數(shù)為86．故選：A.10．為了解學(xué)生體育鍛煉情況，某學(xué)校隨機(jī)抽取甲，乙兩個(gè)班級(jí)，對(duì)這兩個(gè)班級(jí)某一周內(nèi)每天的人均體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，得到如下折線圖：下列說(shuō)法正確的是（

）A．班級(jí)乙該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的極差比班級(jí)甲的大B．班級(jí)甲該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為72C．班級(jí)乙該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)為65D．班級(jí)甲該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)比班級(jí)乙的大【答案】A【解析】對(duì)這兩個(gè)班級(jí)一周內(nèi)每天的人均體育鍛煉時(shí)間分別排列（單位：分鐘）.將班級(jí)甲的數(shù)據(jù)由小到大排列為；將班級(jí)乙的數(shù)據(jù)由小到大排列為.對(duì)于A，班級(jí)乙該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的極差為，班級(jí)甲該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的極差為，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)以上排序可知班級(jí)甲該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為65，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，班級(jí)乙該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)為30，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，班級(jí)甲該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為，班級(jí)乙該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為，所以班級(jí)甲該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)比班級(jí)乙的小，故D錯(cuò)誤.故選:A11．某班最近一次化學(xué)考試成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖所示，若化學(xué)老師欲將大家的成績(jī)由高到低排列，并獎(jiǎng)勵(lì)排名在前39%的同學(xué)，試估計(jì)化學(xué)老師選取的學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)不低于（

）A．73 B．75 C．77 D．79【答案】C【解析】由題意可知，，解得，化學(xué)考試成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，所以第39百分位數(shù)的一定位于內(nèi)，設(shè)第39百分位數(shù)為，則，解得.所以估計(jì)化學(xué)老師選取的學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)不低于分.故選：C.12．某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該學(xué)校學(xué)生近視形成原因，在近視的學(xué)生中按年級(jí)用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，已知抽取到的高中一年級(jí)的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為（

）A．32 B．45 C．64 D．90【答案】D【解析】近視的學(xué)生中，高一、高二、高三學(xué)生數(shù)分別為180人，320人，450人，由于抽取到的高一學(xué)生36人，則抽取到的近視學(xué)生中高三人數(shù)為90人.故選：D.二、填空題13．一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，2，2，，5，10，其中，已知該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為___________．【答案】3【解析】由題意，可得該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，所以，解得，故該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．所以該組數(shù)據(jù)的方差為，即標(biāo)準(zhǔn)差為3．故答案為：314．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有______個(gè)．①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；②在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，則其兩個(gè)變量之間有關(guān)系的可能性是99.9%；③設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加5個(gè)單位；④線性回歸方程必過(guò)．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】2【解析】對(duì)①，方差反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變，故①正確；對(duì)②，在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得，因?yàn)椋詢蓚€(gè)變量之間有關(guān)系的可能性小于99.9%，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，一個(gè)回歸方程，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位，故③錯(cuò)誤；對(duì)④，線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故④正確.所以錯(cuò)誤的有2個(gè).故答案為：2.15．下面活動(dòng)中屬于統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的是___________.（填序號(hào)）①某校醫(yī)務(wù)室人員通過(guò)調(diào)查學(xué)校近三年學(xué)生的視力情況，來(lái)預(yù)測(cè)畢業(yè)時(shí)學(xué)生的視力情況.②班主任通過(guò)調(diào)查學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)，來(lái)預(yù)測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī).③化學(xué)教師通過(guò)測(cè)量一瓶某品牌礦泉水的礦物質(zhì)含量，來(lái)推測(cè)該品牌礦泉水的礦物質(zhì)含量.④物理教師通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)多次測(cè)量某物體的質(zhì)量，最后通過(guò)求平均數(shù)推測(cè)該物體的質(zhì)量.【答案】①②③【解析】①②③中都選取了樣本，符合樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)；對(duì)于④，多次測(cè)量取平均值只是為了得到更準(zhǔn)確的物體的質(zhì)量不屬于統(tǒng)計(jì)活動(dòng).故答案為：①②③.16．2022年3月，一場(chǎng)突如其來(lái)的“新型冠狀肺炎”使得上海學(xué)生不得不在家“停課不停學(xué)”．為了解高三學(xué)生每天居家學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)，從某校的調(diào)查問卷中，隨機(jī)抽取n個(gè)學(xué)生的調(diào)查問卷進(jìn)行分析，得到學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖（如圖所示）．已知學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生人數(shù)為72，則n的值為______．【答案】【解析】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得，解得，學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在的頻率為，所以．故答案為：．17．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算