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二項式定理

一、教材分析：

1、知識內(nèi)容：二項式定理及簡單應用

2、地位及重要性

二項式定理是安排在高中數(shù)學排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容，其形成過程是組合知識的應用，同時也是自成體系的知識塊，為隨后學習的概率知識及高三選修概率與統(tǒng)計，作知識上的鋪墊。二項展開式與多項式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識的學習，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學習的關(guān)于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。

3、教學目標

A、知識目標：

（1）使學生參與并探討二項式定理的形成過程，掌握二項式系數(shù)、字母的冪次、展開式項數(shù)的規(guī)律

（2）能夠應用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開

B、能力目標：

（1）在學生對二項式定理形成過程的參與、探討過程中，培養(yǎng)學生觀察、猜想、歸納的能力及分類討論解決問題的能力

（2）培養(yǎng)學生的化歸意識和知識遷移的能力

c、情感目標：

（1）通過學生自主參與和二項式定理的形成過程培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的信心；

（2）通過學生自主參與和二項式定理的形成過程培養(yǎng)學生體會到數(shù)學內(nèi)在和諧對稱美；

（3）培養(yǎng)學生的民族自豪感，在學習知識的過程中進行愛國主義教育。

4、重點難點：

重點：

（1）使學生參與并深刻體會二項式定理的形成過程，掌握二項式系數(shù)、字母的冪次、展開式項數(shù)的規(guī)律；

（2）能夠利用二項式定理對給出的二項式進行正確的展開。

難點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)。

二、教法學法分析

為了達到這節(jié)課的目標：掌握并能運用二項式定理，讓學生主動探索展開式的由來是關(guān)鍵。“學習任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”本節(jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學原則，以啟發(fā)學生主動學習，積極探索為主。創(chuàng)設一個以學生為主體，師生互動、共同探索的教與學的情境。通過復習引入，引申設疑，實驗猜想，歸納推廣等環(huán)節(jié)進行對此定理的探索。不僅重視知識的結(jié)果，而且重視知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)和解決的過程，貫切新課程理念。

另外，根據(jù)“近發(fā)展區(qū)的理論”精心設置問題，調(diào)控問題的解決過程培育這節(jié)課最佳的知識生長點。

三、教學過程

1、情景設置

問題1：若今天是星期二，再過30天后的那一天是星期幾？怎么算？

預期回答：星期四，將問題轉(zhuǎn)化為求“30被7除后算余數(shù)”是多少？

問題2：若今天是星期二，再過810天后的那一天是星期幾？

問題3：若今天是星期二，再過天后是星期幾？怎么算？

預期回答：將問題轉(zhuǎn)化為求“被7除后算余數(shù)”是多少？

在初中，我們已經(jīng)學過了

2=a2+2ab+b2

3＝2＝a3+3a2b+3ab2+b3

：對于4，5如何展開?

：100又怎么辦？n呢？

我們知道，事物之間或多或少存在著規(guī)律。也就是研究n的展開式是什么？這就是本節(jié)課要學的內(nèi)容。這節(jié)課，我們就來研究n的二項展開式的規(guī)律性。學完本課后，此題就不難求解了。

（設計意圖：使學生明確學習目的，用懸念來激發(fā)他們的學習動機。奧蘇貝爾認為動機是學習的先決條件，而認知驅(qū)力，即學生渴望認知、理解和掌握知識，并能正確陳述問題、順利解決問題的傾向是學生學習的重要動力。）

2、新授

第一步：讓學生展開

；

；

問題1：以的展開式為例，說出各項字母排列的規(guī)律；項數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系；展開式第二項的系數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系。

預期回答：①展開式每一項的次數(shù)按某一字母降冪、另一字母升冪排列，且兩個字母冪指數(shù)的和等于乘方指數(shù)；②展開式的項數(shù)比乘方指數(shù)多1；③展開式中第二項的系數(shù)等于乘方指數(shù)。

第二步：繼續(xù)設疑

如何展開以及呢？

（設計意圖：讓學生感到僅掌握楊輝三角形是不夠的，激發(fā)學生繼續(xù)學習新的更簡捷的方法的欲望。）

繼續(xù)新授

師：為了尋找規(guī)律，我們以中為例

問題1：以項為例，有幾種情況相乘均可得到項？這里的字母各來自哪個括號？

問題2：既然以上的字母分別來自4個不同的括號，項的系數(shù)你能用組合數(shù)來表示嗎？

問題3：你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？

（預期答案：有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是、一個是。每個括號只能取一個字母，任取兩個、兩個，然后相乘，問不同的取法有幾種？）

問題4：請用類比的方法，求出二項展開式中的其它各項系數(shù)（用組合數(shù)的形式進行填寫），

呈現(xiàn)二項式定理

=

3、深化認識

請學生總結(jié)：

①二項式定理展開式的系數(shù)、指數(shù)、項數(shù)的特點是什么？

②二項式定理展開式的結(jié)構(gòu)特征是什么？哪一項最具有代表性？

由此，學生得出二項式定理、二項展開式、二項式系數(shù)、項的系數(shù)、二項展開式的通項等概念，這是本課的重點。

（設計意圖：教師用邊講邊問的形式，通過讓學生自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，挖掘?qū)W習材料潛在的意義，從而使學習成為有意義的學習。）

4、鞏固應用

例1-3是課本原題，由于是第一節(jié)課所以題目類型較基礎(chǔ)

最后解決起始問題：今天是星期二，再過8n天后的那一天是星期幾？

解：8n＝n=cn07n+cn17n-1+cn27n-2+…+cnn-17+cnn

因為cnn前面各項都是7的倍數(shù)，故都能被7整除.

因此余數(shù)為cnn=1

所以應為星期三

四、回顧小結(jié)：

通過學生主動探索的學習過程，使學生清晰的掌握二項式定理的內(nèi)容，更體會到了二項式定理形成的思考方式，為后繼課程（n次獨立重復實驗恰好發(fā)生k次）的學習打下了基礎(chǔ)。

而二項式定理內(nèi)容本身對解釋二項分布有很直接的功效，因為二項分布中所有概率和恰好是二項式。

課后記：

準備這節(jié)課，我主要思考了這么幾個問題：

（1）這節(jié)課的教學目的“使學生掌握二項式定理”重要，還是“使學生掌握二項式定理的形成過程”重要？我反復斟酌，認為后者重要。于是，我這節(jié)課花了大部分時間是來引導學生探究“為什么可以用組合數(shù)來表示二項式定理中各項的二項式系數(shù)？”

（2）學生怎樣才能掌握二項式定理？是通過大量的練習來達到目的，還是通過學生對二項式定理的形成過程來記憶？正如前面所說“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”。我還是要求學生自主的去探索二項式定理。這樣也符合以教師為主導、學生為主體、師生互動的新課程教學理念。

（3）準備什么樣的例題？例題