PAGE函數(shù)的單調(diào)性與證明一、復(fù)習(xí)鞏固1．假如函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對(duì)于隨意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.eq\f(x2－x1,fx2－fx1)>0答案：C2．設(shè)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是減函數(shù)，則有A．a(chǎn)≥eq\f(1,2) B．a(chǎn)≤eq\f(1,2)C．a(chǎn)>－eq\f(1,2) D．a(chǎn)<eq\f(1,2)答案：D3．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，－2]時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則m等于()A．－4 B．－8C．8 D．無(wú)法確定答案：B4．下列函數(shù)中，滿意“對(duì)隨意x1，x2∈(0，＋∞)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0”的是()A．f(x)＝eq\f(2,x) B．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x2－4x＋3解析：∵x1，x2∈(0，＋∞)時(shí)，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)．答案：C5．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間(b，c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，c)上()A．必是增函數(shù)B．必是減函數(shù)C．是增函數(shù)或是減函數(shù)D．無(wú)法確定單調(diào)性答案：D6．假如函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，＋∞) B．(－∞，－3]C．(－∞，5] D．[3，＋∞)解析：二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(2a－1,2)＝1－a，要使f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，需滿意1－a≥4，即a≤－3.答案：B7．函數(shù)y＝|x＋2|在區(qū)間[－3,0]上是()A．遞減 B．遞增C．先減后增 D．先增后減解析：y＝|x＋2|的圖像是由y＝|x|圖像向左平移2個(gè)單位得來(lái)，由圖可知y＝|x＋2|在[－3，－2]上遞減，在[－2,0]上遞增．答案：C8．函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上()A．遞增 B．遞減C．先增再減 D．先減再增解析：∵y＝x在(0，＋∞)上遞增，y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上也遞增，∴f(x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上遞增．答案：A9．函數(shù)f(x)＝|x－1|的單調(diào)遞增區(qū)間是________，單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案：[1，＋∞)(－∞，1]10．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，2]時(shí)是減函數(shù)，則f(1)＝________.解析：f(x)＝2(x－eq\f(m,4))2＋3－eq\f(m2,8)，由題意eq\f(m,4)＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.答案：－3二、綜合應(yīng)用11．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是()A．(－∞，0] B．[0,1)C．[1，＋∞) D．[－1,0]解析：g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))如圖所示，其遞減區(qū)間是[0,1)．故選B.答案：B12．函數(shù)f(x)＝x|x－2|的增區(qū)間是()A．(－∞，1] B．[2，＋∞)C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f(x)＝x|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2,2x－x2，x<2))，作出f(x)簡(jiǎn)圖如圖：由圖像可知f(x)的增區(qū)間是(－∞，1]，[2，＋∞)．答案：C13．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,－x＋1，x≥1))是定義在R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,3a－1＋4a≥－1＋1，))得eq\f(1,7)≤a＜eq\f(1,3).答案：eq\f(1,7)≤a＜eq\f(1,3)14．若f(x)＝－x2＋2ax與g(x)＝eq\f(a,x＋1)在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：由f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減可得a≤1；由g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減可得a＞0，∴a∈(0,1]．答案：(0,1]15．證明函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)．證明：任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2).∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)．16．若函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－1,x＋1)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：f(x)＝eq\f(ax－1,x＋1)＝a－eq\f(a＋1,x＋1).設(shè)x1<x2<－1，則f(x1)－f(x2)＝(a－eq\f(a＋1,x1＋1))－(a－eq\f(a＋1,x2＋1))＝eq\f(a＋1,x2＋1)－eq\f(a＋1,x1＋1)