高等數(shù)學(xué)公式篇

?平方關(guān)系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

?積的關(guān)系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

?倒數(shù)關(guān)系：

tanacota=1

sinacsca=1

cosaseca=1,

?兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacos|3+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp)

?輔助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

?倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

?半角公式：

sin(a/2)=±^'((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±\'((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±>/((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosaj/sina

?降耗公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

?萬能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

?積化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-P)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosacosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp="(1/2)[cos(a+3)-cos(a-p)]

?和差化積公式：

sina+sinP=2sin[(a+p)/2]cos[(a-P)/2]

sina-sinp=2cos[(a+0)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-|3)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

?推導(dǎo)公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

部分高等內(nèi)容

[編輯本段]

?高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展開有無窮級數(shù)，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!4-zA3/3!+zA4/4!-l-...-l-zAn/n!+…

此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。

?三角函數(shù)作為微分方程的解：

對于微分方程組y=-y";y=y"",有通解Q,可證明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。

補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義?種類似的函數(shù)一雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。

導(dǎo)數(shù)公式:

(tgxS=sec2x(arcsinx\=一廠一”

Jl-

(ctgxY=-esc2x

(secx)'=secx?Egx(arccosx)'=——/

(escx)r=-escx?etgx

(arctgxY=1二

xx

(a\=alnal+x

(log“x)'=-^—/、，1

(arcctgx)=-------

xlnal+x7

基本積分表：

^tgxdx=-ln|cos從+C[=[sec2xdx=tgx+C

Jcosx,

Jctgxdx=ln|sinx|+C

j，=fcsc2xdx=-etgx+C

Jsecxdx=ln|secx+/gx|+CJsinx」

jsecx-tgxdx=secx+C

jcscxJx=ln|cscx-c^x|+C

jcscx?ctgxdx=一escx+C

dx

-2-=-arctg-^C

a+xaaaxdx=-^—+C

dx1,\xx-a\廠\na

—In------\+C

22

x-a2ax+ashxdx=chx+C

dx\a+x-

二——7=——Ixn+Cchxdx=shx+C

a-x2aa-x

=ln(x4-Vx2±a2)+C

兄

22

“=Jsin"xdx=Jcos"xdx

ln-2

00n

__________________2_________

[V%2+a2dx=-yjx1+a2+—ln(x+[x?+/)+C

J22

_________c2,_________

(J-122

-a------Inx+yjx-a+C

2

22-2礦,%人

^a-xdx=]—xH----arcsin—FC

2a

三角函數(shù)的有理式積分：

.2ul-u2x.2du

sinx=------z-,cosx=------n=tg-,dx-------T

l+w21+w221+w2

一些初等函數(shù):兩個重要極限:

「sinx1

雙曲正弦：shx=-----------lim-------=I

2I。X

雙曲余弦:chx=e—e—lim(l+-)x=e=2.718281828459045...

2,98X

雙曲正切:血=啊=

chxe+e

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±ln(x+Vx2-1)

.1.1+x

artnx=一In------

三角函數(shù)公式:

-和差角公式:?和差化積公式：

.aC.a+〃oc-B

sin(a±〃)=sinacos0±cosasin0sin。+sinp=2sin.......-cos--------

2

cos(a±/?)=cosacos/工sinasin0

a+/3.a-/3

土為Jga±3sina-sinJ3-2cos------sin--------

tg(a22

l+tga-tg/36Z+Z3a-B

cosa+cos尸二=2cos--------cos------

,,。、ctga-ctgB+\

cts(a±。)=.一5P—22

ctgp±ctgac.a+P.oc—/3

cosa-cos￡=-2sin-------sin--------

22

?倍角公式：

sin2a二-2sinacosa

2.2

cos2a-=2cos2a-1=l-2sin2a=cosa-sm~asin3a=3sina-4sin3a

ct2~a—Icos3a=4cos3。-3cosa

ctg2a-

2ctgatca—3tga匚g%

2tgal-3tg2a

tg2a-r2

iTg”

?半角公式:

a1—cosrr

sm^=±,

a.jh-cosa1-C0S6Zsinaal+cosa_l+cosasina

制2=±

1+cosasina1+cosal-cos6Zsinal-cosez

bc

?正弦定理：」一二-op,余弦定理：c~=a2+/cosC

sinAsin8sinC

JI71

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=---arccosxarctgx=--arcctgx

2

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:

(-)(〃)

k=0

.?+〃（，—）…（〃4+l）w+…+MV（?）

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f'^)(b-a)

柯西中值定理:/⑵一」⑺

F(h)-F(a)F'C）

當(dāng)F(x)=x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=yji+y'2dx,其中〉/=fgtz

平均曲率去=4q.Aa:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

As

△ada_

M點(diǎn)的曲率:K=lim

AvfOAsds7（1+/2）3

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=L

a

定積分的近似計算:

b1

矩形法:］7（X”一+/+…+y“_1）

a

梯形法：］7（x）?竺（如+打）+M+…+y?-il

a〃2

b卜

拋物線法:J7（x）a丁。（%+%）+2（y2+>4+…+y-2）+4（%+%+…+y,,.,）］

J3〃

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=Fs

水壓力：F=pA

引力：”A寫M為引力系數(shù)

函數(shù)的平均值:y一[f(x)dx

b-aJ

均方根:

1sl產(chǎn)⑴力

空間解析幾何和向量代數(shù):

222

空間2點(diǎn)的距離：d=\M{M2\=7(x2-x1)+(y2-y,)+a2-zl)

向量在軸上的投影:Pr/“薪曰呵際處湛揚(yáng)加軸的夾角。

Pr/“（4+2）=Prja}+Prja2

ab=\a\-\b\cos0=ab+4/、,+a力一,是一個數(shù)量,

IiII?*Axyxj*?<?

ah+。力、,

兩向量之間的夾角:cos。=AAryycz.

也」+42+/2.』b：+b：+b：

ijk

c-axh%ayaz，同=|同卡卜由夕例：線速度：v-wxr.

么么bz

%ay%

向量的混合積:區(qū)標(biāo)]=(MxB)1=久byb.=1萬x同洞cosa,a為銳角時,

c

代表平行六面體的體積。

平面的方程：

1、點(diǎn)法式:A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中”=｛4尻。｝,"。"。,凡“。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程―+，+工=1

abc

AB+czD

平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：dJ-^>l^\

^A2+B2+C2

x=mt

空間直線的方程:土3=匕比=七且r其中§=｛加,”,。｝滲數(shù)方程：》=%+九

mnp

[z=z0+pt

二次曲面：

222

1、橢球面:與+斗+今之

alrc

22

2、拋物面:L+±=z,(p,q同號)

2p2q

3、雙曲面:

222

單葉雙曲面:彳=1

a2b2c2

222

雙葉雙曲面-4+0=1(馬鞍面)

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

全微分：dz=—dx-\----dydu--dx-\-----dy-\-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似計算：?Jz=fx(x,y)^x+fy(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：&

dz絲

z=f[u(t),v(t)]—=貳

dtav

包av

azaz一

瓦

J私

Z=f[u(x,y),v(x,y)]

ax

當(dāng)〃=M(x,y),u=v(x,y)時,

,du,du,公=@dx+2dy

du-——ax-\dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:

dy_F也=色(_*)+2(一區(qū)).史

隱函數(shù)尸(x,y)=0,----------x

2

dxF?dxdxF,dyFvdx

生_&__J^v

隱函數(shù)F(x,y,z)=0,

dxF.,dyF.

4/Z

竺

工K

F(x,y,u,v)=O"(EG)

一

一

隱函數(shù)方程組:0V空IGG

”

—

G(x,y,w,v)=Od(u,v)加

du___\_e(F,G)dv1S(F,G)

dxJ6(x,v)dxJd(u,x)

包___Le(￡G)dv__ia(F,G)

SyJS(y,v)?JS(u,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

x=(p(t)

空間曲線y=〃⑺在點(diǎn)M(x°,y°,z。)處的切線方程:與弋===*

/*、*。0)/。0)3?0)

Z-co(t)

在點(diǎn)M處的法平面方程：(p\t0)(x-x0)+“伉)(y—%)+co'(t0)(z-Zo)=0

Ml：；則切向量1F.Fv

若空間曲線方程為:%

G.，G、

G:GZGX'G

曲面尸(x,y,z)=O上一點(diǎn)“(Xo.XpZo)，則:

1、過此點(diǎn)的法向量：萬={工(%,凡,70)，4(》0,打,70),￡(%,打〃0)}

2、過此點(diǎn)的切平面方程：工(工0，%,70)“-》0)+4(%,打〃0)。一〉0)+工(/,凡,20)(7-。)=0

)'一》。

3、過此點(diǎn)的法線方程:一上也

工OWcpZ。)Fy(x0,y0,z0)Fz(xQ,yQ,za)

方向?qū)?shù)與梯度：

函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為:笠=—cos^?+—sin(p

cldxdy

其中夕為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)Z=/(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=—F+—J

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是:曳*=8門(!/6》)-。，其中0=cosei+sinQj,為/方向上的

dl

單位向量。

；.冬是gra<4/(x,y)在/上的投影。

dl

多元函數(shù)的極值及其求法：

設(shè)/'式而，為）=力（/,>0）=°，令:九。0，>0）=4，九（/，為）=民心（%,打）=。

A<o,（Xo，yo）為極大值

AC-I〉0時”

A〉。,“。,％）為極小值

則:<AC-爐<0時,無極值

AC-B2=0時，不確定

重積分及其應(yīng)用：

^f{x,y')dxdy=(rcos0,rsin0)rdrd0

DD1

2

dz（女

曲面z=/(x,y)的面積4=JJ+dxdy

dx、力

jj4(x,y)dbMJJ)2(x,y)db

平面薄片的重心：》=必D

y=__L=-ll__________

MJJ°(x,y)dcT'MJJp(x,y)db

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于入軸=小2ax,y）db,對于），軸/）=j卜2m居/）］。

DD

平面薄片（位于M），平面）對Z軸上質(zhì)點(diǎn)M（0,0,4）,（〃〉0）的引力：F={FV,FV,FJ,其中:

p（x,y）xda

F尸,力產(chǎn)必當(dāng)—%JJ。"加3

D（x2+y2+a2yD(x2+y2+a2yD，+y2+〃2)5

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

x=rcosO

柱面坐標(biāo):<y-rsin^,jjj/(x,y,z)dxdydz=?(幾e,z)44田z,

z=zcc

其中：尸(r,e,z)=/(rcos6/sine,z)

x=rsin^cos^

球面坐標(biāo)，y=rsin^sin^,dv-rd(p-r^m(p-d6-dr-r2^m(pdrd(pdd

Z=rcos(p

2乃nr((p,O)

j|j/(x,y,z)dxdydz=sin(pdrd(p(10=^d0^d(p^F{r,(p,0)r2s\n(pdr

000

重心：刖’'=心'其中M=X=jjj/Wv

Q.

2222

轉(zhuǎn)動慣量：Ix=JJJ(y+z)/xlv,Iy=JjjU+z)/xlv,■-JJJ*+丁)心

。cQ

曲線積分:

第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)：

設(shè)/'(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：['=*),則:

y二收⑺

P_________________

J/(x,y)ds=+力(?</?)特殊情況:

Lay=夕Q)

第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為r=夕⑺，則：

[y=甲3

p

Jp(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{尸@。),)+Q[(p(t),以f)]"(f)}dt

La

兩類曲線積分之間的關(guān)系:JPdx+Qfy=j(Fcosa+geos/3)ds,其中a和尸分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。

格林公式:!J(爭-著心4),=gPdx+Qdy格林公式:!J(半-翼)公力=^Pdx+Qdy

當(dāng)「=一＞,。=%,即:以一絲=2時，得到。的面積：A=[\dxdy=—cfxdy-ydx

dxdy21

?平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：

1、G是一個單連通區(qū)域；

2、P(x,y),0(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且義=絲。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)

dxdy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積：

在義="時，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)“(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(*,y)

”(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)x()=yo=°。

(Xo，)b)

高斯公式

吟意4-^-)dv=,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=可(Pcosa+。cos0+Rcosy)ds

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：divv=—+^+—,HP：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div”0,則為消失…

dxdy&

通量：^A-nds=J1A〃ds=JJ(Pcosa+Qcos(3+Rcos/)ds,

因此，高斯公式又可寫成:JJJdivZdu=抄4,如

cz

曲面積分

對面積的曲面積分:JJ/(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)邛+1(x,y)+z；(x,y)dxdy

工％

對坐標(biāo)的曲面積分:J]P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

0R(x,y,z)dxdy=士y,z(x,yS\dxdy,取曲面的上側(cè)時取正號；

||p(x,y,z)dydz=±y,z),y,z\dydz，取曲面的前側(cè)時取正號；

JjQ(x,y,z)dzdx=±膽口,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時取正號。

%

兩類曲面積分之間的關(guān)系：JJpdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos0+Rcos/)J.v

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系:

匕型.逡―,空—空、―,絲.dP_<-

f[1人TT八

ydydzdzdxdxdyr

dydzdzdxdxdycosacos0cos/

dddda

上式左端又可寫成:JJ=w

IdxSydzSydz

PQRQR

空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件:"=學(xué)dP_dR8Q_dP

dydzdzdxdxdy

ijk

Asa

旋

-一

&-

ax辦R

p。

向量場耳沿有向閉曲線r的環(huán)流量qPdx+Qdy+Rdz=-tds

rr

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

等比數(shù)歹！J：l+q+/+…+

i-q

等差數(shù)歹U：1+2+3-1----Fn=+D"

2

調(diào)和級數(shù)：1+工+工+…是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法—根植審斂法(柯西判別法)：

2<1時，級數(shù)收斂

設(shè)：/?=limW7，則<P>1口寸，級數(shù)發(fā)散

2=1時，不確定

2、比值審斂法：

「<1時,級數(shù)收斂

設(shè)：p=貝小夕〉1時，級數(shù)發(fā)散

“f8U

"[0=1時，不確定

3、定義法：

s“=/+%+…+”“;lims“存在，則收斂；否則發(fā)散。

“f8

交錯級數(shù)〃?-“2+%-“4+…(或-"1+“2-“3+…,%>0)的審斂法---萊布尼茲定理：

如果交錯級數(shù)滿足八皿，二口,那么級數(shù)收斂且其和其余項(xiàng)，“的絕對值匕區(qū)％鏟

>00

絕對收斂與條件收斂：

(1)?1+M2d---------|-MnH------,其中〃"為任意實(shí)數(shù)；

(2)|W1|+|M2|+|W3|+---+|W?|+--

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù);

如果(2)發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù):z：發(fā)散，而zg匚收斂；

級數(shù):，與收斂;

n

〃級數(shù):z.P41時發(fā)散

p>l時收斂

幕級數(shù):

23?/兇<1時，收斂于」一

1+尤+%+%,+??,+?￥+?,?(1—X

\|x|N1時，發(fā)散

對于級數(shù)⑶劭+4好+。2》2+…+?！?'+…，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全

/|x|<R時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使(|x|>R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

\兇=R時不定

Ip豐0時，/?=—

求收斂半徑的方法：設(shè)lim—=p,其中4,即+1是(3)的系數(shù)，則(2=0時，R=+8

〃\P=+00時，R=0

函數(shù)展開成塞級數(shù)：

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：〃x)=/(X0)(X-Xo)+UR(X-Xo)2+...+S2(X-%)"+???

2!n\

余項(xiàng)：Rn=匕魅2(了一元0嚴(yán)J。)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：］而&=0

(〃+1)!5°

x0=0時即為麥克勞林公式：/(x)=/(0)+/(0)%+/也/+……

2!n\

一些函數(shù)展開成鬲級數(shù)：

(1+x)=l+mx+------x-+???+-----------------x+--(-1<X<1)

2!〃！

v-3r5r2?-i

sinx=x---+-------1-(-1)"-1—----1?…(-00<%<+oo)

3!5!(2/1-1)!

歐拉公式：

cosx=

eu=cosx+isinx或?

sinx=

三角級數(shù):

00

=冬+

/(f)=4+ZA,sin(〃初+?！?Z(a〃cosnx+htlsinnx)

M=l2n=l

其中,a0=aA0,an=Ansin(pn,bn=Ancos/,cot=x。

正交性：Lsinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cos…任意兩個不同項(xiàng)的乘積在［-萬,乃］

上的積分=0。

傅立葉級數(shù):

/(x)=—+^(aflcosnx+bnsinnx\周期=2萬

2Z}=1

]兀

an=—(x)cosnxdx(n=0,1,2-??)

冗-n

其中

]n

bn=—j/(x)sin〃xdx(〃=1,2,3…)

—n

1171~1兀2

1+H------(相加)

?+3+?“五6

111冗

+H土(相減)

FW-"2412

2口

正弦級數(shù)：%=0,bn--j/(x)sinn%Jxn=1,2,3…f(x)=X。"sin是奇函數(shù)

冗o

/(On^+WX'COS/JX是偶函數(shù)

余弦級數(shù)：仇,=0,an=—f(x)cosnxdxn=0,1,2…

冗o

周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):

，/\a。Zm++rtc,

/(x)=W+\(%cos丁K17CX+bJ“s.m丁YITCX)，周期=2/

2A=1II

[rmix

%=7J/*)cos—j—dx(〃=0,l,2…)微分方程的相關(guān)概念:

其中；

2,=7J7(x)sin竿dx(n=1,2,3…)

一階微分方程：y'=/(x,y)或P(x,y)dx+Q{x,y)dy=0

可分離變量的微分方程：?階微分方程可以化為8。，)6=/(對心的形式，解法：

Jg(y)"y=J/(x)dx得：G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。

齊次方程：一階微分方程可以寫成包=/(x,y)=夕(x,y),即寫成上的函數(shù)，解法：

axx

設(shè)”=工，則生=“+x包，〃+@￡=夕(瓜),；.蟲=上二分離變量，積分后將上代替”,

xaxdxaxx(p(u)-ux

即得齊次方程通解。

1、一階線性微分方程:@+P(x)y=Q(x)

dx

，當(dāng)Q(x)=0時，為齊次方程，y=Ce網(wǎng)"

一階線性微分方程:［當(dāng)。(x)w0時，為非齊次方程，y=(jQ(x)』2%x+C)eJ"、"

2、貝努力方程:@+P(x)y=Q(x)y",(〃/0,1)

dx

全微分方程：

如果尸(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：

與a

du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中片=P(x,y)，：=Q(x,y)

oxdy

：.u(x,y)=C應(yīng)該是該全微分方程的通解。

二階微分方程：

/(x)三。時為齊次

宗++0(x)y=/(x),「

/(x)w0時為非齊次

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：

(*)y"+py'+qy=0,其中p,q為常數(shù);

求解步驟：

1、寫出特征方程：(A)r2+pr+4=0,其中心r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中的系數(shù);

2、求出(△)式的兩個根外

3、根據(jù)不々的不同情況，按下表寫出(*)式的通解:

(*)式的通解

八，七的形式

rxriX

兩個不相等實(shí)根(p2-4q>0)y=c}e'-\rC2e

兩個相等實(shí)根(p2-4q=0)r,x

y=(G+c2x)e

一對共輒復(fù)根(p2-4q<0)

y=*?cos/3X+C2sin你)

。=a+〃?，r^-a-ip

一匕”業(yè)紇或

22

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y"+py'+qy=f(x),p,夕為常數(shù)

/(x)=e*,(x)型，4為常數(shù)；

f(x)=e"'［《(x)cos5+E,(x)sin0c］型

1、行列式

1.〃行列式共有小個元素，展開后有"!項(xiàng)，可分解為2■行列式；

2.代數(shù)余子式的性質(zhì)：

①、和%的大小無關(guān)；

②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代數(shù)余子式為0;

③、某行(列)的元素乘以該行(列)元素的代數(shù)余子式為|山；

3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：

4.設(shè)”行列式O：

n(w-l)

將。上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為A,則R=(T)下D；

“("一|)

將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90’,所得行列式為D2,則D2=(-1)~D；

將。主對角線翻轉(zhuǎn)后(轉(zhuǎn)置)，所得行列式為D,,則2=0;

將。主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為則。4=。；

5.行列式的重要公式：

①、主對角行列式：主對角元素的乘積；

②、副對角行列式：副對角元素的乘積;

③、上、下三角行列式(|^|=|k|):主對角元素的乘積；

npiT)

④、|，|和|/|：副對角元素的乘積X(-l)2；

⑤、拉普拉斯展開式：AO'=AC：=|AC:A=O>A(-Dm"W

⑥、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；

⑦、特征值；

6.對于”階行列式|川，恒有：=+,其中S.為A階主子式;

4=1

7.證明同=0的方法：

①、|A|=-|A|；

②、反證法；

③、構(gòu)造齊次方程組Ax=0,證明其有非零解；

④、利用秩，證明r(4)<“；

⑤、證明0是其特征值；

2、矩陣

1.4是〃階可逆矩陣：

o|4|^0(是非奇異矩陣)；

or(A)=n(是滿秩矩陣)

oA的行(列)向量組線性無關(guān)；

o齊次方程組Ax=0有非零解；

。VBeR",Ax=b總有唯一解；

oA與E等價；

。4可表示成若干個初等矩陣的乘積；

<=>A的特征值全不為0；

。A『A是正定矩陣；

oA的行(列)向量組是R"的一組基；

。4是R"中某兩組基的過渡矩陣；

2.對于”階矩陣4：AA'=A'A=\A\E無條件恒成立;

3.(AT)*=(A.)T(A-')r=(Ar)-1(4了=(47)"

(AB)T=BrAT(A8)*=B'A'(ABY'=B'A'

4.矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；

5.關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：

4

若4=2.I,則：

、A-

1

'|A|=|A,||A2|---|AS|；

‘Aj、

IK4'=A；.

、A六

②、［o.；(主對角分塊)

③、(：2d副對角分塊)

小(ACY'(A-'-A-'CB'}/4*4、什、

@>I?=,;(拉普拉斯)

I。切(OB')

冷(AOX'(A^'O\/自版-底、

⑤、|八J=|...;(拉普拉斯)

1C刈(廿"B')

3、矩陣的初等變換與線性方程組

1.-個機(jī)X”矩陣A,總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：F=

/MX”

等價類：所有與A等價的矩陣組成的個集合，稱為?個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡單的矩陣;

對于同型矩陣A、B,若r(A)=r(8)oAB；

2.行最簡形矩陣：

①、只能通過初等行變換獲得；

②、每行首個非0元素必須為1:

③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；

3.初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)

①、若(4,E)‘(E,X),則A可逆，且X=A-；

②、對矩陣(AI)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時，B就變成A",即：(A,B)~(E,A-'B)；

③、求解線形方程組：對于"個未知數(shù)"個方程Ax=b,如果(4,))(E,x),則A可逆，且*=4%；

4.初等矩陣和對角矩陣的概念：

①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;

’4'

②、A=4.，左乘矩陣A,4乘A的各行元素；右乘，4乘A的各列元素；

③、對調(diào)兩行或兩列，符號,且E(