華師版八年級(jí)上第13章全等三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.角平分線中常用的作輔助線的方法

因?yàn)榻堑钠椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個(gè)條件(角

相等和公共邊)，所以在處理角的平分線的問(wèn)題時(shí)，常作出

全等三角形的第三個(gè)條件，截兩邊相等(S.A.S.)或向兩邊

作垂線段(A.A.S.)等來(lái)構(gòu)造全等三角形.方法1作一邊的垂線段法構(gòu)造對(duì)稱圖形1.

已知：如圖，

D

為△

ABC

外角∠

ACP

平分線上一點(diǎn)，且

DA

＝

DB

，

DM

⊥

BP

于點(diǎn)

M

.

(1)若

AC

＝6，

DM

＝2，求△

ACD

的面積；1234【解】如圖，過(guò)點(diǎn)

D

作

DN

⊥

AC

于點(diǎn)

N

.

1234(2)求證：

AC

＝

BM

＋

CM

.

【證明】∵

DM

⊥

BP

，

DN

⊥

AC

，∴∠

DMB

＝∠

DNC

＝∠

DNA

＝90°.∵

CD

＝

CD

，

DM

＝

DN

，∴Rt△

CDM

≌Rt△

CDN

(H.L.).∴

CM

＝

CN

.

∵

AD

＝

BD

，

DN

＝

DM

，∴Rt△

ADN

≌Rt△

BDM

(H.L.).∴

AN

＝

BM

.

∴

AC

＝

AN

＋

CN

＝

BM

＋

CM

.

1234方法2作兩邊的垂線段法構(gòu)造對(duì)稱圖形2.

[新考法·等面積法]如圖，點(diǎn)

F

，

G

是

OA

上兩點(diǎn)，點(diǎn)

M

，

N

是

OB

上兩點(diǎn)，且

FG

＝

MN

，△

PFG

和△

PMN

的面積相等.試判斷點(diǎn)

P

是否在∠

AOB

的平分線

上，并說(shuō)明理由.1234【解】點(diǎn)

P

在∠

AOB

的平分線上.理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)

P

作

PD

⊥

OA

于點(diǎn)

D

，

PE

⊥

OB

于點(diǎn)

E

.

S△

PFG

＝

S△

PMN

，

又∵

FG

＝

MN

，∴

PD

＝

PE

.

∴點(diǎn)

P

在∠

AOB

的平分線上.1234方法3補(bǔ)形法構(gòu)造對(duì)稱圖形3.

如圖，在△

AOB

中，

AO

＝

OB

，∠

AOB

＝90°，

BD

平

分∠

ABO

交

AO

于點(diǎn)

D

，

AE

⊥

BD

交

BD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E

.

求證：

BD

＝2

AE

.

【證明】如圖，延長(zhǎng)

AE

交

BO

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F

.

∵

AE

⊥

BE

，∴∠

AEB

＝∠

FEB

＝90°.∵

BD

平分∠

ABO

，∴∠

ABE

＝∠

FBE

.

1234又∵

BE

＝

BE

，∴△

ABE

≌△

FBE

(A.S.A.).∴

AE

＝

FE

.

∴

AF

＝2

AE

.

∵∠

AOF

＝∠

BEF

＝90°，∴∠

OAF

＋∠

AFO

＝90°，∠

OBD

＋∠

AFO

＝90°.∴∠

OAF

＝∠

OBD

.

又∵

OA

＝

OB

，∠

AOF

＝∠

BOD

＝90°，∴△

AOF

≌△

BOD

(A.S.A.).∴

AF

＝

BD

.

∴

BD

＝2

AE

.

1234方法4翻折法構(gòu)造對(duì)稱圖形4.

如圖，

AD

為△

ABC

的中線，

DE

，

DF

分別是△

ADB

和

△

ADC

的角平分線.求證：

BE

＋

CF

＞

EF

.

【證明】如圖，在

AD

上截取

DH

＝

BD

，連結(jié)

EH

，

FH

.

∵

AD

是

BC

邊上的中線，∴

BD

＝

CD

＝

DH

.

1234∵

DE

平分∠

ADB

，∴∠

BDE

＝∠

HDE

.

又∵

DE

＝

DE

，∴△

BDE

≌△

HDE

(S.A.S.).∴

BE

＝

HE

.

同理可證△

CDF

≌△

HDF