4.3等比數(shù)列4.3.1等比數(shù)列的概念課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義；2.能在具體的問(wèn)題情境中發(fā)現(xiàn)關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．1.數(shù)學(xué)運(yùn)算———能計(jì)算等比數(shù)列的基本量；2.邏輯推理———能通過(guò)定義證明等比數(shù)列；3.數(shù)學(xué)建?！苡玫缺葦?shù)列解決實(shí)際問(wèn)題.第1課時(shí)等比數(shù)列的概念自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一等比數(shù)列的概念1.等比數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第①2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做②等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的③公比，公比通常用字母q表示（顯然q≠0）.2.等比中項(xiàng)的定義：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2=④ab要點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1.首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=要點(diǎn)三等比數(shù)列的圖像和性質(zhì)1.類似于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，由an=a1q?qn可知，當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an自主思考1.1,1,2,4是等比數(shù)列嗎？常數(shù)列是不是等比數(shù)列？答案：提示1,1,2,4中從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比不是同一個(gè)常數(shù)，故不是等比數(shù)列；只有非零常數(shù)列才是等比數(shù)列，公比為1.2.任何兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b是否都存在等比中項(xiàng)？答案：提示設(shè)等比中項(xiàng)為G，則由a,G,b成等比數(shù)列，得Ga3.若公比q>1，如何確定等比數(shù)列的單調(diào)性？答案：提示當(dāng)a1>0,q>1時(shí)，等比數(shù)列{an}4.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an答案：提示等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn?1，當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，名師點(diǎn)睛1.注意正確理解等比數(shù)列的定義（1）理解等比數(shù)列的定義必須注意兩個(gè)“要素”,即首項(xiàng)和公比,1,3,9與3,9,27是不同的等比數(shù)列,故僅僅知道anan?1=q（（2）注意等比數(shù)列的定義“從第2項(xiàng)起”,因?yàn)榈缺葦?shù)列求比具有順序性,都是用后一項(xiàng)比前一項(xiàng),這里包含了等比數(shù)列的首項(xiàng),所以等比數(shù)列至少含有三項(xiàng);若數(shù)列僅僅“從第3項(xiàng)起”（或第4項(xiàng),依次類推）,才滿足an2.等比數(shù)列的遞推公式：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,第n項(xiàng)為an,后一項(xiàng)為an+1,由等比數(shù)列的定義,容易得到等比數(shù)列的遞推公式：an+1an=q．所以要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,只要證明對(duì)于任意的正整數(shù)3.在等比數(shù)列{an}4.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an5.等比數(shù)列的單調(diào)性（1）等差數(shù)列的單調(diào)性只由公差決定,與等差數(shù)列不同,判斷等比數(shù)列的單調(diào)性,既要確定首項(xiàng)的符號(hào),又要關(guān)注公比的取值范圍.（2）各項(xiàng)都為正數(shù)或都為負(fù)數(shù)的非常數(shù)等比數(shù)列才能確定其單調(diào)性,公比小于0的等比數(shù)列不具有單調(diào)性.6.等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)（1）在等比數(shù)列{a（2）在等比數(shù)列{an}（3）若數(shù)列{an}（4）兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{（5）在等比數(shù)列{an}中,若m,n,p,q∈N?特殊地,若m+n=2ω,則aman=a（6）與有窮等比數(shù)列{an}互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一等比數(shù)列的概念自測(cè)自評(píng)1.（2021廣東普寧高二上聯(lián)考）在等差數(shù)列{an}中,若a3+A.-6B.6C.±6D.36答案：C解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(a2+a9+a14)?(a3+a2.（2021山東泰安高二期末）在公差不為0的等差數(shù)列{an}中,aA.84B.86C.88D.98答案：B解析：設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的公差為d,由a1,a23.（多選）下列關(guān)于等比數(shù)列的敘述正確的是()A.等比數(shù)列至少含有三項(xiàng)B.常數(shù)列一定為等比數(shù)列C.等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不能為零D.若數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù),則數(shù)列為等比數(shù)列答案：A;C4.(★)已知2和3?k的等比中項(xiàng)是k,則實(shí)數(shù)k的值為,4?k與9?k答案：6;±36解析：由2和3?k的等比中項(xiàng)是k,得6?k=k2,則實(shí)數(shù)k=6或k=0（舍去）,所以4?解題感悟關(guān)于等比數(shù)列概念的注意事項(xiàng)（1）確定等比數(shù)列的兩個(gè)基本量,即明確等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比是解題的關(guān)鍵.（2）注意應(yīng)用等比中項(xiàng)的定義得出的兩個(gè)等比中項(xiàng)是否均符合題意.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與應(yīng)用精講精練類型1求通項(xiàng)公式例1（2021江蘇蘇州高二期中）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,答案：∵a1a3=a22,∴當(dāng)a1=4,a變式1–1若本例條件變?yōu)椋阂阎缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,答案：∵a2a3a4=即6q當(dāng)q=12,當(dāng)q=?13,類型2由通項(xiàng)公式求基本量例2已知等比數(shù)列{an}中,an=3?2n?1,則公比q=答案：2;6解析：由題意得公比q=an+1an=3?2n3?變式2–1若本例條件不變,解不等式an答案：解法一：由an=3?2n?1,an≤1024得3?2解法二：由an=3?2n?1,所以不等式an≤1024的解集為解題感悟1.若已知等比數(shù)列中的任意不同的兩項(xiàng),都可利用方程的思想求出a1和q2.掌握計(jì)算等比數(shù)列公比的重要公式qn?m當(dāng)n?m為大于1的奇數(shù)時(shí)，q=n?manam遷移應(yīng)用1.（2021浙江金華曙光中學(xué)高二上期中）已知等比數(shù)列{an}A.19C.13答案：D2.已知{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=1答案：12;1解析：由通項(xiàng)公式及已知得a1q=2①,a1q4=13.在320與5之間添加5個(gè)數(shù),使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,求所添加的5個(gè)數(shù).答案：依題意,得a1所以添加的5個(gè)數(shù)為160、80、40、20、10或-160、80、-40、20、-10.探究點(diǎn)三等比數(shù)列的判斷或證明精講精練例（2021廣東惠州高二質(zhì)檢）已知數(shù)列{an}（1）求證：數(shù)列{a（2）求數(shù)列{a答案：（1）證明：根據(jù)題意,得an+1=2a∴a∴數(shù)列{a（2）由（1）得an∴a變式若本例條件不變,判斷數(shù)列{a答案：∵a∴a∴an+1＞解題感悟判斷或證明數(shù)列為等比數(shù)列的常用方法（1）定義法：an+1an=q（q為常數(shù)且（2）通項(xiàng)公式法：an=a1qn?1（（3）等比中項(xiàng)法：若對(duì)于任意連續(xù)非零三項(xiàng)an?1,an,an+1，都有a遷移應(yīng)用1.（2021貴州貴陽(yáng)高二期中）設(shè)n∈N?,則“數(shù)列{aA.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A解析：若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q∴a∴數(shù)列{an2}是等比數(shù)列,若數(shù)列∴“數(shù)列{an}2.(★)已知a1=2,an＞0,點(diǎn)(（1）證明數(shù)列{lg（2）求數(shù)列{a答案：（1）證明：由點(diǎn)(an,an+1an+1∴l(xiāng)g即lg(1+又lg(1+∴{lg(1+a（2）由（1）知，lg(1+得lg(1+∴1+a∴a評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.若數(shù)列{an}滿足aA.1B.-1C.3D.-3答案：B2.如果?1,a,b,c,?9成等比數(shù)列,那么()A.b=3,ac=9B.b=?3,ac=9C.b=3,ac=?9D.b=?3,ac=?9答案：B3.已知等比數(shù)列{an}滿足對(duì)任意n∈A.1B.-2C.2或12D.2或?答案：D4.等比數(shù)列{an}中,a2=3,a4=27,則答案：±9;3n?1或?(?3解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,解得q2=9,所以當(dāng)q=3時(shí),a1當(dāng)q=?3時(shí),a15.已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3?(答案：∵a∴b∴bn+1bn=(12)3素養(yǎng)演練邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算——數(shù)列通項(xiàng)公式在“數(shù)陣”問(wèn)題中的應(yīng)用1.下表是一個(gè)“數(shù)陣”：1（）（）（）…a1j…（）1（）（）…a2j…（）（）（）1…a3j……ai1ai2ai3ai4…aij……其中每行都是公差不為0的等差數(shù)列,每列都是等比數(shù)列,aij表示位于第i行第j（1）寫(xiě)出a45（2）寫(xiě)出aij答案：（1）設(shè)第一、二、三行的公差分別為d,m,n,則可得到前三行前四列的表如下：11+d1+2d1+3d1?m11+m1+2m1?3n1?2n1?n1答案：由每列都是等比數(shù)列,得(1?m)2=1?3n①,(1+d)(1?2n)=1②,(1+2m所以m=12,n=14,d=1,代入表中可得,每列的公比為所以a41（2）由（1）得,ai1所以aij=a當(dāng)i=1時(shí),j=1=2當(dāng)i=2時(shí),j=2=2當(dāng)i=3時(shí),j=4=2當(dāng)i=2020時(shí),j=2所以第2020個(gè)1在“數(shù)陣”中所在的位置是第2020行第22019素養(yǎng)探究：以數(shù)列為素材的新情境、新定義問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn),也是難點(diǎn),認(rèn)真審題,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的常規(guī)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).解答本題的關(guān)鍵：（1）設(shè)出前三行數(shù)列的公差,利用等比數(shù)列的概念和性質(zhì)建立方程求解;（2）通過(guò)觀察、歸納、猜想,得到數(shù)列的項(xiàng)的規(guī)律,進(jìn)而得到問(wèn)題的答案．遷移應(yīng)用1.已知實(shí)數(shù)數(shù)列{an}中,a1=1,a6=32,an+12=a答案：2127解析：由an+12=anan+2,得數(shù)列{a由題圖可知,圖中的第一行,第二行,第三行,…分別占了數(shù)列{a每一行占的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成了以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,則圖中前11行共占了數(shù)列{an}因?yàn)锳(12,7)表示第12行的第7個(gè)數(shù),所以A(12,7)表示的是數(shù)列{an}課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.下列式子不能表示等比數(shù)列的是()A.an=2B.C.a1=1,a答案：D2.在等比數(shù)列{an}中,若aA.32B.23C.?23D.答案：C3.給定公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an},設(shè)bA.是等差數(shù)列B.是公比為q的等比數(shù)列C.是公比為q3D.既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列答案：C4.等比數(shù)列的首項(xiàng)為98,末項(xiàng)為13,公比為A.3B.4C.5D.6答案：B5.在等比數(shù)列{an}中,若aA.9B.10C.12D.-12答案：C6.（多選）已知等比數(shù)列{aA.a3=?4B.C.an=(?2)答案：A;B;D解析：由等比數(shù)列的公比為2,首項(xiàng)為-1,得數(shù)列的通項(xiàng)公式an7.（多選）下列關(guān)于等比數(shù)列{aA.若{an}B.若an+12=C.若an+12≠D.若{an}答案：A;C解析：若{an}是等比數(shù)列,則必有an+1an=an+2an+1,得8.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0,a1=16d,若ak答案：5解析：因?yàn)閍1=16d,ak是a1即[a1+(k?1)d解得k=5或k=?3（舍去）.9.等比數(shù)列{an}：?13答案：(?3)解析：等比數(shù)列{an}中,a1=?10.（2021山東濟(jì)寧高二期中）若在1和36之間添加一個(gè)實(shí)數(shù)G,使1,G,36成等比數(shù)列,則G=;若在1和36之間添加三個(gè)實(shí)數(shù)x,H,y,使1,x,H,y,36成等比數(shù)列,則H=.答案：±6;6解析：若在1和36之間添加一個(gè)實(shí)數(shù)G,使1,G,36成等比數(shù)列,則G2=36,解得若在1和36之間添加三個(gè)實(shí)數(shù)x,H,y,使1,x,H,y,36成等比數(shù)列,則1,H,36仍然成等比數(shù)列,得H2=36,解得當(dāng)H=?6時(shí),1,x,?6不是等比數(shù)列（因?yàn)閤2所以H=6.易錯(cuò)警示注意等比中項(xiàng)的概念,中間的實(shí)數(shù)是兩端同號(hào)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng),否則容易增解.素養(yǎng)提升練11.（2021山東臨沂高二期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且SnA.若{an}B.若{an}C.若{an}D.若{an}答案：D解析：an若{an}是等差數(shù)列,因?yàn)閝≠0且q≠1,所以k=0;反之,若k=0,則S若{an}是等比數(shù)列,所以a反之,若t=0,則an=k(q?1)qn?1,12.（多選）（2020山東棗莊八中高二期中）若數(shù)列{an}對(duì)任意n≥2(n∈N)A.{aB.{aC.{aD.{a答案：A;B;D解析：因?yàn)?a所以an?a即an?a①當(dāng)an≠0,a②當(dāng)an=0或an?113.（2020山西大學(xué)附中高二上期中）已知a＞0,b＞0,若a,2,b成等比數(shù)列,則a+4b的最小值為.答案：8解析：由a＞0,b＞0,a,2,b成等比數(shù)列,得ab=4,所以a+4b≥2a?4b=4ab14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S（1）求a2（2）求證：數(shù)列{S答案：（1）∵a1+2a2當(dāng)n=2時(shí),a1當(dāng)n=3時(shí),a1（2）證明：∵a∴當(dāng)n≥2時(shí),a1①-②得na=na∴?Sn+2∴S∵S∴S故{