第08講：拓展一：分離變量法解決導數(shù)問題目錄TOC\o"1-2"\h\u類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 1角度1：完全分離參數(shù)法 1角度2：部分分離參數(shù)法 3類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍 4角度1：完全分離參數(shù)法 4角度2：部分分離參數(shù)法 5高頻考點類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·四川廣元·階段練習）已知函數(shù)，其中，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.例題2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例題3．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．練透核心考點1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）若不等式恒成立，則a的取值范圍是.2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，當且時，不等式在上恒成立，求的最大值.（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（23-24高二下·湖南長沙·開學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若，證明：當時，；(3)若在有兩個零點，求a的取值范圍.例題3．（23-24高三上·陜西安康·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.練透核心考點1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)若方程（m為常數(shù)）有兩個根，求實數(shù)m的范圍.3．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.角度2：部分分離參數(shù)法典型例題例題1．（2024高三上·河南·專題練習）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求的值.練透核心考點1．（23-24高三上·北京·開學考試）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，判斷在零點的個數(shù)，并說明理由．第08講：拓展一：分離變量法解決導數(shù)問題目錄TOC\o"1-2"\h\u類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍 1角度1：完全分離參數(shù)法 1角度2：部分分離參數(shù)法 7類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍 11角度1：完全分離參數(shù)法 11角度2：部分分離參數(shù)法 16高頻考點類型一：恒成立（存在問題）求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·四川廣元·階段練習）已知函數(shù)，其中，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】恒成立求參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)轉化為求函數(shù)的最值問題求解即可.【詳解】函數(shù)，因為在恒成立，所以，在恒成立，在恒成立，令，所以，，得，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：例題2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)的極小值為，無極大值；(2)【分析】（1）利用導數(shù)，先判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函數(shù)的極值；（2）首先不等式化簡為恒成立，再利用參變分離，轉化為最值問題，即可求解.【詳解】（1），令，得，，和的關系，如下表所示，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極小值為，無極大值；（2）不等式恒成立，即恒成立，即，，恒成立，所以，，設，，，其中，設，，所以在單調(diào)遞增，因為，，所以存在，使，即，即，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，由，可得，所以，所以.例題3．（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若函數(shù)在處取得極值，且對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，進而得出，；再根據(jù)點斜式方程即可求解.（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)；再分和兩種情況，在每一種情況中借助導數(shù)即可解答.（3）先根據(jù)函數(shù)在處取得極值得出；再將問題“對，恒成立”轉化為“對，恒成立”；最后構造函數(shù)，并利用導數(shù)求出即可解答.【詳解】（1）當時，，，則，.所以在處的切線方程為，即.（2）由可得：函數(shù)定義域為，.當時，，此時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當時，令，解得；令，解得，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上可得：當時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得.此時，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在處取得極值，故.所以.因為對，恒成立，所以對，恒成立.令，則.令，解得；令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.則，解得：.所以實數(shù)b的取值范圍為練透核心考點1．（23-24高二下·江蘇蘇州·階段練習）若不等式恒成立，則a的取值范圍是.【答案】【分析】分類討論去解析式中的絕對值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值，從而即可得解.【詳解】若不等式恒成立，也就是恒成立，函數(shù)，定義域為，當時，，，在為減函數(shù)，此時；當時，，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，綜上可知，則a的取值范圍是.故答案為：.2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，當且時，不等式在上恒成立，求的最大值.【答案】3【分析】依題意參變分離可得在上恒成立，則，令，，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．【詳解】當時，，又不等式在上恒成立，則在上恒成立，所以，令，，則，令，，則，在上單調(diào)遞增，，存在唯一，使，所以，當時即，當時即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，即，所以，所以，又，．3．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，在上恒成立，求整數(shù)k的最大值.【答案】3【分析】分離參數(shù)，問題轉化為()．設()，利用導數(shù)求出的最小值，得解.【詳解】由題意，在上恒成立，即()．設()，則，令()，則，所以，在上為增函數(shù)．因為，，，所以在上有唯一實數(shù)根，使得.當時，，即；當時，，即.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，且，所以.由，得整數(shù)k的最大值為3.角度2：部分分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知關于的不等式解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，設，，作出兩函數(shù)的圖象，結合圖象分，分別求解即可.【詳解】因為，所以.設，，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；又因為是過點的直線，如圖所示：

由此可得當時，的解集中有若干個不同的正整數(shù)解，不滿足題意；當時，要使不等式的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，

當過點時，取最小值，因為，此時，當過點時，取最大值，因為，此時，所以的取值范圍為.故選：D.例題2．（22-23高二下·浙江杭州·階段練習）若關于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將不等式轉化為，構建，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，根據(jù)題意利用數(shù)形結合，列式求解即可.【詳解】因為，且，可得，構建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且，由題意可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.

練透核心考點1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)，若有且只有兩個整數(shù)使得，且，則的取值范圍是【答案】【分析】將不等式等價變形，構造函數(shù)，借助導數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，結合已知列出不等式組，求解即得.【詳解】當時，由，得，設，，求導得，由，得，當時，，為減函數(shù)，當上，，為增函數(shù)，的圖象恒過點，在同一坐標系中作出函數(shù)，的圖象，顯然，即，由于有且只有兩個整數(shù)，使得，則這兩個整數(shù)要么是2，3，不是1，要么是1，2，不能是3，當時，即，解得，此時，，顯然至少有3個整數(shù)使得對應的函數(shù)值大于0，不符合題意，因此這兩個整數(shù)是1，2，不能是3，于是，解得，所以的取值范圍是．故答案為：2．（22-23高二下·遼寧沈陽·階段練習）已知不等式的解集中有且只有個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】因為,設,,本題轉化為函數(shù)在直線上方的范圍中有且只有個整數(shù).先利用導數(shù)確定函數(shù)的圖像,再與直線的圖像結合列出不等式組求解即可.【詳解】,設,則,當,即當時,函數(shù)為增函數(shù);當,即當時,函數(shù)為減函數(shù);當時,;當時,,則滿足題意的函數(shù)的圖像與直線圖像如圖:,

所以,即,解得.故答案為:.類型二：已知零點個數(shù)求解參數(shù)范圍角度1：完全分離參數(shù)法典型例題例題1．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習）若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，得到，令，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而得出函數(shù)值的變化，即可求出結果.【詳解】令，得到，令，則，由得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，當時，，當時，，且時，，所以，當函數(shù)恰有2個零點時，，故選：A.例題2．（23-24高二下·湖南長沙·開學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若，證明：當時，；(3)若在有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件，利用導數(shù)的幾何意義，即可求出結果；（2）利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關系，求出在區(qū)間的單調(diào)性，再求出的最小值，即可證明結果；（3）通過分離常量，得到，構造函數(shù)，通過求導得到的單調(diào)性，即可求出結果.【詳解】（1）因為，所以，所以，又，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.（2）當時，，則，令，則，由，得到，當時，，當，，所以，即恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，命題得證.（3）因為，令，得到，又，所以，令，則，當時，，當時，，所以，又當時，，時，，又在有兩個零點，所以.例題3．（23-24高三上·陜西安康·階段練習）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，得到進而求出切線方程；（2），故只需當時，有且僅有一個實根，參變分離，轉化為兩函數(shù)只有1個交點，求導，得到的單調(diào)性，畫出其圖象，數(shù)形結合得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）顯然，要使方程有兩個不等的實根，只需當時，有且僅有一個實根，當時，由方程，得.令，則直線與的圖象有且僅有一個交點..又當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，又當時，，所以，即，當時，，即，所以作出的大致圖象如圖所示.

由圖象，知要使直線與的圖象有且僅有一個交點，只需或.綜上，若有兩個不等的實根，則的取值范圍為.練透核心考點1．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】(解法1)因為f′(x)＝aex－1.①當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個零點，舍去；②當a＞0時，令f′(x)＝0?x＝－lna.且當x∈(－∞，－lna)時，f′(x)＜0，此時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x∈(－lna，＋∞)時，f′(x)＞0，此時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因為f(x)有兩個不同的零點，所以f(x)min＝f(－lna)＝1＋lna＜0，解得0＜a＜.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(0，).(解法2)由f(x)＝aex－x＝0，則a＝.令g(x)＝，g′(x)＝，所以g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)＝.當x→－∞時，g(x)＜0；當x→＋∞時，g(x)＞0，根據(jù)函數(shù)的圖象，若方程a＝有兩個不同的解，則a∈(0，).2．（23-24高二下·陜西西安·階段練習）已知函數(shù)在處的切線方程為.(1)求的解析式；(2)若方程（m為常數(shù)）有兩個根，求實數(shù)m的范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線方程為，得到切點坐標，列出方程組，求得的值，即可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意轉化為與圖象有兩個交點問題，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又因為已知函數(shù)在處的切線為，即切點為，所以，解之得，，所以函數(shù)的解析式為.（2）因為，所以，令，解得，當，，在為增函數(shù)，且時，，時，，當，，在為減函數(shù)，且時，，當時，，若方程（m為常數(shù)）有兩個根，則.故實數(shù)m的范圍為..3．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間是，增區(qū)間是(2)【分析】（1）求出導函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）由（1）得出的極值及變化趨勢，利用的圖象與直線有兩個交點可得參數(shù)范圍．【詳解】（1）由已知，時，，時，，所以的減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）由（1）知時，取得極小值也是最小值，即，令，，則.由，得，由，得，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當時，取得最大值.又函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故