實際問題與一元一次方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點梳理】要點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗、答．要點詮釋：（1）“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當(dāng)有不符合的解時，及時指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．要點二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型1．和、差、倍、分問題（1）基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．2．行程問題（1）三個基本量間的關(guān)系：路程=速度×?xí)r間

（2）基本類型有：①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：第一，同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．3．工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．4．調(diào)配問題尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮．5．利潤問題(1)(2)標(biāo)價＝成本(或進(jìn)價)×(1＋利潤率)(3)實際售價＝標(biāo)價×打折率(4)利潤＝售價－成本(或進(jìn)價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售．6．存貸款問題（1）利息=本金×利率×期數(shù)（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))（3）實得利息=利息-利息稅（4）利息稅=利息×利息稅率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×7.數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．8．方案問題選擇設(shè)計方案的一般步驟：（1）運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．【典型例題】類型一、和差倍分問題例1．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

等量關(guān)系為：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.【變式】某班舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個班有多少學(xué)生?一共展出了多少張郵票?類型二、行程問題1.車過橋問題例2.某橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度．注：火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)：(1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長．(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長－車長．由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個火車在橋上的速度．【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？2.相遇問題（相向問題）例3．小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進(jìn).已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12點，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程.【變式】甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時開出，相向而行，途中相遇后繼續(xù)沿原路線行駛，在分別到達(dá)對方車站后立即返回，兩車第二次相遇時距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.3.追及問題（同向問題）例4．一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時快30千米，但轎車行駛一小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結(jié)果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度．4.航行問題（順逆風(fēng)問題）例5．盛夏，某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時．已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千米/時，求A、B兩地間的距離．【點評】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時構(gòu)建方程求解．5.環(huán)形問題例6．環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個人的速度.

相等關(guān)系為：最快的人騎的路程-最慢人騎的路程=20千米.

【變式】兩人沿著邊長為90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲從A以65m/min的速度，乙從B以72m/min的速度行走，如圖所示，當(dāng)乙第一次追上甲時，在正方形的哪一條邊上?類型三、工程問題例7．一個蓄水池有甲、乙兩個進(jìn)水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池?相等關(guān)系：甲、乙開2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1．【變式】收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預(yù)計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計時間提早1小時完成，求這塊水稻田的面積．類型四、配套問題（比例問題、勞動力調(diào)配問題）例8．某工程隊每天安排120個工人修建水庫，平均每天每個工人能挖土5m3或運土3m3，為了使挖出的土及時被運走，問：應(yīng)如何安排挖土和運土的工人?【變式】某商店選用A、B兩種價格分別是每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果后出售，為使這種雜拌糖果的售價是每千克25元，要配制這種雜拌糖果100千克，問要用這兩種糖果各多少千克？類型五、利潤問題例9．以現(xiàn)價銷售一件商品的利潤率為30%，如果商家在現(xiàn)有的價格基礎(chǔ)上先提價40%，后降價50%的方法進(jìn)行銷售，商家還能有利潤嗎？為什么？【變式1】某個商品的進(jìn)價是500元，把它提價40%后作為標(biāo)價.如果商家要想保住12%的利潤率搞促銷活動，請你計算一下廣告上可寫出打幾折？【變式2】張新和李明相約到圖書大廈去買書，請你根據(jù)他們的對話內(nèi)容(如圖所示)，求出李明上次所買書籍的原價．類型六、存貸款問題例10．爸爸為小強存了一個五年期的教育儲蓄，年利率為2.7％，五年后取出本息和為17025元，爸爸開始存入多少元.類型七、數(shù)字問題例11．一個三位數(shù)，十位上的數(shù)是百位上的數(shù)的2倍，百位、個位上的數(shù)的和比十位上的數(shù)大2，又個位、十位、百位上的數(shù)的和是14，求這個三位數(shù).【變式】一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大4，這個兩位數(shù)又是這兩個數(shù)字的和的4倍，求這個兩位數(shù).類型八、方案設(shè)計問題例12．為鼓勵學(xué)生參加體育鍛煉．學(xué)校計劃拿出不超過1600元的資金再購買一批籃球和排球．已知籃球和排球的單價比為3:2，單價和為80元．(1)籃球和排球的單價分別是多少元?(2)若要求購買的籃球和排球的總數(shù)量是36個，且購買的籃球數(shù)量不少于26個．請?zhí)骄坑心膸追N購買方案?【變式】某校組織10位教師和部分學(xué)生外出考察，全程票價為25元，對集體購票，客運公司有兩種優(yōu)惠方案可供選擇：方案一：所有師生按票價的88%購票；方案二：前20人購全票，從第21人開始，每人按票價的80%購票．(1)若有30位學(xué)生參加考察，問選擇哪種方案更省錢?(2)參加考察的學(xué)生人數(shù)是多少時，兩種方案車費一樣多?【課堂練習(xí)】1．某校用56m長的籬笆圍成一個長方形的生物園，要使長為16m，則寬為________m．2．小明和他父親的年齡之和為54，又知父親年齡是小明年齡的3倍少2歲，則他父親的年齡為____歲．3.甲、乙二人在長為400米的圓形跑道上跑步，已知甲每秒鐘跑9米，乙每秒鐘跑7米．（1）當(dāng)兩人同時同地背向而行時，經(jīng)過________秒鐘兩人首次相遇；（2）兩人同時同地同向而行時，經(jīng)過________秒鐘兩人首次相遇．4．某項工作甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成，若甲先干一天，然后，甲、乙合作完成此項工作，若設(shè)甲一共做了x天，乙工作的天數(shù)為________，由此可列出方程________________．5.A、B兩地相距216千米，甲、乙分別在A、B兩地，若甲騎車的速度為15千米/時，乙騎車的速度為12千米/時。（1）甲、乙同時出發(fā)，背向而行，問幾小時后他們相距351千米？（2）甲、乙相向而行，甲出發(fā)三小時后乙才出發(fā)，問乙出發(fā)幾小時后兩人相遇？（3）甲、乙相向而行，要使他們相遇于AB的中點，乙要比甲先出發(fā)幾小時？（4）甲、乙同時出發(fā)，相向而行，甲到達(dá)B處，乙到達(dá)A處都分別立即返回，幾小時后相遇？相遇地點距離A有多遠(yuǎn)？6.甲乙兩車間共120人，其中甲車間人數(shù)比乙車間人數(shù)的4倍少5人.（1）求甲、乙兩車間各有多少人？（2）若從甲、乙兩車間分別抽調(diào)工人，組成丙車間研制新產(chǎn)品，并使甲、乙、丙三個車間的人數(shù)比為13∶4∶7，那么甲、乙兩車間要分別抽調(diào)多少工人？7.有一件工程，由甲、乙兩個工程隊共同合作完成，工期不得超過一個月，甲獨做需要50天才能完成，乙獨做需要45天才能完成，現(xiàn)甲乙合作20天后，甲隊有任務(wù)調(diào)離，由乙隊單獨工作，問此工程是否能如期完工。8.某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母。1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？9.整理一批圖書，由一個人做要40h完成?，F(xiàn)計劃由一部分人先做4h,然后增加2人與他們一起做8h,完成這項工作。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？10.商品原價200元，九折出售，賣價是元.11.商品進(jìn)價是150元，售價是180元，則利潤是元.利潤率是__________.12.某商品原來每件零售價是a元,現(xiàn)在每件降價10%,降價后每件零售價是元.13.某種品牌的彩電降價20%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺原價應(yīng)為元.14.某商品按定價的八折出售，售價是14.8元，則原定售價是.15.某商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服,其中一件盈利25﹪，另一件虧損25﹪，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?16.隨州某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為960元。其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%。這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？某文具店有兩個進(jìn)價不同的計算器都賣64元，其中一個盈利60%，另一個虧本20%.這次交易中的盈虧情況.18.某商場把進(jìn)價為1980元的商品按標(biāo)價的八折出售，仍獲利10%,則該商品的標(biāo)價為元.19.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2005年漲價30%后，2007降價70%至a元，則這種藥品在2005年漲價前價格為元.20.某次男籃聯(lián)賽常規(guī)賽最終積分榜隊名比賽場次勝場負(fù)場積分前進(jìn)1410424東方1410424光明149523藍(lán)天149523雄鷹147721遠(yuǎn)大147721衛(wèi)星1441018鋼鐵1401414問題１：從這張表格中，你能得到什么信息？問題2：這張表格中的數(shù)據(jù)