專題08圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為圓弧型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【模型解讀】模型1、運動軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點M，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？如圖，連結AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動點Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動態(tài)翻折中）如圖，若P為動點，但AB=AC=AP，則B、C、P三點共圓，則動點P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對定角（或直角）模型1）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧。【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質求解。例1．（2023.江蘇九年級期中）如圖，中，于點是半徑為2的上一動點，連結，若是的中點，連結，則長的最大值為（）A．3 B． C．4 D．例2.（2023.廣西九年級期中）如圖，，點O在線段上，，的半徑為1，點P是上一動點，以為一邊作等邊，則的最小值為_____．例3．（2023·山東·九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點F與點C的最小距離為________．例4．（2022·廣西貴港·三模）如圖，在△ABC中，，，，點D在AC邊上，且，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點C的對應點為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．例5．（2021·山東威海·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________________．例6．（2022秋·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點E滿足，則線段長的最大值為．課后專項訓練1．（2022·山東濟南·一模）正方形ABCD中，AB=4，點E、F分別是CD、BC邊上的動點，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，的直徑，點C為中點，弦經(jīng)過點C，且．點F為上一動點，連接．于點G．若，在點F運動過程中，線段的長度的最小值為．

3．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預測）等腰直角中，，，點是平面內一點，，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，當填度數(shù)度時，可以取最大值，最大值等于．4．（2023春·廣東深圳·九年級專題練習）如圖，點G是內的一點，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．5．（2023·江蘇泰州·九年級專題練習）如圖，在矩形中，，，P為的中點，連接．在矩形外部找一點E，使得，則線段的最大值為．6．（2022秋·北京東城·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，點是邊的中點，將繞點C逆時針方向旋轉得到，點是邊上的一動點，則長度的最大值與最小值的差為．7．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD內有一點P，AD＝2，點M是AB的中點，且∠PMA＝2∠PAD．連接PD，則PD的最小值為．8．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點在的左側，交軸于點，點是線段的中點，點是線段上一個動點，沿折疊得，則線段的最小值是______．9．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內點P到點O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為______．10．（2020·江蘇連云港市·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點、，則面積的最小值為________．11．（2022·重慶·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是________．12．（2022·廣東東莞·一模）如圖，在正方形中，，E是對角線的中點，點F為所在直線上方一點，連接，若，則長的最大值為．13．（2023·天津九年級期中）如圖，⊙O的直徑AB為2，C為⊙O上的一個定點，∠ABC＝30°，動點P從A出發(fā)，沿半圓弧向B點運動（點P與點C在直徑AB的異側），當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于點D，連接AD，則線段AD的最大值為_________．14．（2023·浙江九年級課時練習）如圖1，在中，，以點B為圓心，半徑作圓．點Р為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）若點P在上時，①在圖2中畫出；②連接，求的長；（3）點P在運動過程中，是否有最大值或最小值？若有，請直接寫出取得最大值或最小值時的度數(shù)；若沒有，請說明理由．15．（2023·陜西西安·校考模擬預測）問題提出（1）如圖1，內接于，，，則的半徑為．問題探究（2）如圖2，已知矩形，，，是矩形內一點，且，連接，求的最小值．解決問題（3）如圖3，小樂家有一個四邊形菜地，他打算種植油菜花，為了提高產(chǎn)量，他計劃改造四邊形菜地，在改造的過程中始終要滿足米，，，且，求改造后四邊形菜地面積的最大值．16．（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形，，以A為圓心，2為半徑作半圓A，交所在直線于點M，N．點E是半圓A上仟意一點．連接，把繞點B順時針旋轉90°到的位置，連接，．(1)求證：；(2)當與半圓A相切時，求弧的長；(3)直接寫出面積的最大值．17．（2022秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習）在一次數(shù)學探究活動中，張老師設計了一份活動單：已知線段，使用作圖工具作．嘗試操作后思考：這樣的點唯一嗎？點的位置有什么特征？你有什么感悟？某學習小組通過操作、觀察、討論后匯報：點的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點、除外），……小華同學畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D①）．(1)小華同學提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②面積的最大值為___________；(2)經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)，小明同學所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖①所示的弓形外部，我們記為，請你利用圖①證明．(3)請你運用所學知識，結合以上活動經(jīng)驗，解決問題：如圖②，已知矩形的邊長，，點在直線的左側，且，則線段長的最小值為___________．18．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖1，在中，，，，以點為圓心，為半徑作圓．點為上的動點，連接，作，使點落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點在上時，連接，求的長；（3）點在運動過程中，是否有最大值或最