四省名校2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點，若其歐拉線方程為，則頂點C的坐標(biāo)是A. B.C. D.2．已知定義在上的偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.3．“學(xué)生甲在河北省”是“學(xué)生甲在滄州市”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.5．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A. B.C. D.6．冪函數(shù)的圖象過點，則（）A. B.C. D.7．當(dāng)時，在同一平面直角坐標(biāo)系中，與的圖象是（）A. B.C. D.8．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)A(為坐標(biāo)原點)的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：①對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個；②函數(shù)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；③正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；④函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形A.①④ B.①③④C.②③ D.①③9．已知，大小關(guān)系正確的是A. B.C. D.10．“”是函數(shù)滿足：對任意的，都有”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，則集合的子集個數(shù)為___________.12．已知函數(shù)，使方程有4個不同的解：，則的取值范圍是_________;的取值范圍是________.13．函數(shù)的定義域是______________14．若直線與互相垂直，則點到軸的距離為__________15．若，則=_________.16．函數(shù)的定義域為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）求值：；（2）已知，化簡求值：18．已知函數(shù)，（其中）（1）求函數(shù)的值域；（2）如果函數(shù)在恰有10個零點，求最小正周期的取值范圍19．如圖，在四棱錐中,平面,,為棱上一點.（1）設(shè)為與的交點,若,求證:平面；（2）若,求證：20．已知函數(shù).（1）判斷奇偶性；（2）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性并證明；（3）在（2）的條件下，若實數(shù)滿足，求的取值范圍.21．某水果經(jīng)銷商決定在八月份（30天計算）銷售一種時令水果．在這30天內(nèi)，日銷售量h（斤）與時間t（天）滿足一次函數(shù)h=t+2，每斤水果的日銷售價格l（元）與時間t（天）滿足如圖所示的對應(yīng)關(guān)系．（Ⅰ）根據(jù)提供的圖象，求出每斤水果的日銷售價格l（元）與時間t（天）所滿足的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）設(shè)y（元）表示銷售水果的日收入（日收入=日銷售量×日銷售價格），寫出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求這30天中第幾天日收入最大，最大值為多少元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C(m，n),由重心坐標(biāo)公式得重心為,代入歐拉線方程得：①AB的中點為，，所以AB的中垂線方程為聯(lián)立，解得所以三角形ABC的外心為，則，化簡得：②聯(lián)立①②得：或，當(dāng)時，BC重合，舍去，所以頂點C的坐標(biāo)是故選A.【點睛】本題主要考查了直線方程的各種形式，重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題.2、D【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出解集【詳解】由題意，畫出的圖象如圖，等價于，或，由圖可知，不等式的解集為故選：D3、B【解析】直接利用充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】因為若“學(xué)生甲在滄州市”則“學(xué)生甲一定在河北省”，必要性成立；若“學(xué)生甲在河北省”則“學(xué)生甲不一定在滄州市”，充分性不成立，所以“學(xué)生甲在河北省”是“學(xué)生甲在滄州市”的必要不充分條件，故選：B4、C【解析】由函數(shù)，求得對稱軸的方程為，結(jié)合題意，得到或，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得對稱軸的方程為，要使得函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以或，解得或故選：C.5、A【解析】根據(jù)所給的二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于零，得到二次函數(shù)的圖象是一個開口向上的拋物線，根據(jù)對稱軸，考查二次函數(shù)的變化區(qū)間，得到結(jié)果【詳解】解：函數(shù)的二次項的系數(shù)大于零，拋物線的開口向上，二次函數(shù)的對稱軸是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故選A【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】將點代入中，求解的值可得，再求即可.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以有：，即.所以，故，故選：C.7、B【解析】由定義域和，使用排除法可得.【詳解】的定義域為，故AD錯誤；BC中，又因為，所以，故C錯誤，B正確.故選：B8、D【解析】根據(jù)定義分析，優(yōu)美函數(shù)具備的特征是，函數(shù)關(guān)于圓心（即坐標(biāo)原點）呈中心對稱.【詳解】對①，中心對稱圖形有無數(shù)個，①正確對②，函數(shù)是偶函數(shù)，不關(guān)于原點成中心對稱.②錯誤對③，正弦函數(shù)關(guān)于原點成中心對稱圖形，③正確.對④，充要條件應(yīng)該是關(guān)于原點成中心對稱圖形，④錯誤故選D【點睛】仔細(xì)閱讀新定義問題，理解定義中優(yōu)美函數(shù)的含義，找到中心對稱圖形，即可判斷各項正誤.9、C【解析】利用“”分段法比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】由于，，，即，故選C.【點睛】本小題主要考查指數(shù)式、對數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】當(dāng)時，在上遞減，在遞減，且在上遞減，任意都有，充分性成立；若在上遞減，在上遞增，任意，都有，必要性不成立，“”是函數(shù)滿足：對任意的，都有”的充分不必要條件，故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】先求出然后直接寫出子集即可.【詳解】，，所以集合的子集有，.子集個數(shù)有2個.故答案為：2.12、①.②.【解析】先畫出分段函數(shù)的圖像，依據(jù)圖像得到之間的關(guān)系式以及之間的關(guān)系式，分別把和轉(zhuǎn)化成只有一個自變量的代數(shù)式，再去求取值范圍即可.【詳解】做出函數(shù)的圖像如下：在單調(diào)遞減：最小值0；在單調(diào)遞增：最小值0，最大值2；在上是部分余弦型曲線：最小值，最大值2.若方程有4個不同的解：，則不妨設(shè)四個解依次增大，則是方程的解，則，即；是方程的解，則由余弦型函數(shù)的對稱性可知.故，由得即當(dāng)時，單調(diào)遞減，則故答案為：①；②13、【解析】由題意可得，從而可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足即，所以函數(shù)的定義域為故答案為：14、或.【解析】分析：由題意首先求得實數(shù)m的值，然后求解距離即可.詳解：由直線垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：，，當(dāng)時點到軸的距離為0，當(dāng)時點到軸的距離為5，綜上可得：點到軸的距離為或.點睛：本題主要考查直線垂直的充分必要條件，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.15、【解析】分析和的關(guān)系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】∵，∴.故答案為：.16、【解析】根據(jù)偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)、對數(shù)真數(shù)大于零列不等式組，解不等式組求得函數(shù)的定義域.【詳解】依題意，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為.【點睛】本小題主要考查具體函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由指數(shù)和對數(shù)的運算公式直接化簡可得；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡目標(biāo)式，然后分子分母同時除以，將已知代入可得.【詳解】（1）原式（2）原式，∵，∴原式18、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和與差的正弦函數(shù)、二倍角公式化簡，將化為只含有一個三角函數(shù)的形式，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)求解；（2）將在恰有10個零點變?yōu)樵谠谇∮?0個解的問題，列出相應(yīng)不等式即可求解.【小問1詳解】，由，得，可知函數(shù)的值域為，【小問2詳解】令，即，所以函數(shù)在恰有10個零點，即在在恰有10個解，設(shè)的最小正周期為,則,解得,即最小正周期的取值范圍時.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）只需證得，即可證得平面；（2）因為平面，平面，所以，即可證得平面，從而得證.試題解析：（1）在與中，因為，所以，又因為，所以在中,有，則.又因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以.又因為,平面,平面,，所以平面，平面，所以20、（1）奇函數(shù)（2）增函數(shù)，證明見解析（3）【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，再判斷的關(guān)系，即可得出結(jié)論；（2）任取且，利用作差法比較的大小即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，即可得解，注意函數(shù)的定義域.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)；小問2詳解】解：函數(shù)是上單調(diào)增函數(shù)，證：任取且，則，因為，所以，，，所以，即，所以函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)；【小問3詳解】解：由（2）知函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為.21、（I）；（II）見解析.【解析】（Ⅰ）利用已知條件列出時間段上的函數(shù)的解析式即可．（Ⅱ）利用分段函數(shù)的解析式求解函數(shù)的最值即可【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)0＜t≤10，l=30，當(dāng)10＜t≤30時，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為l（t）=kt+b，則，解得k=-1，b=40，∴l(xiāng)（t）=-t+40，∴每斤水果的日銷售價格l（元）與時間t（天）所滿足的函數(shù)關(guān)系式l