PAGE第八章立體幾何初步A級基礎鞏固1.若平面α⊥平面β,直線a∥平面α,則()A.直線a⊥平面β B.直線a∥平面βC.直線a與平面β相交 D.以上都有可能解析:因為直線a∥平面α,平面α⊥平面β,所以直線a與平面β垂直、相交、平行都有可能.答案:D2.如圖所示,三棱錐P-ABC中,若平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,則()A.PD?平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析:因為PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因為平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,所以PD⊥平面ABC.答案:B3.已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,則應增加的條件是()A.m∥nB.n⊥mC.n∥αD.n⊥α解析:已知直線m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n?α,應增加條件n⊥m,才能使得n⊥β.答案:B4.如圖所示,沿Rt△ABC的中位線DE將△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱錐A-BCDE,則平面ABC與平面ACD的關系是垂直.?解析:因為AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,所以AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC.因為CD⊥BC,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD.因為BC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.5.如圖所示,已知平面α,β,α⊥β,在α與β的交線上取線段AB=4cm,AC,BD分別在α和β內(nèi),它們都垂直于交線AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的長.解:如圖所示,連接BC.因為α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,所以BD⊥平面α.因為BC?α,所以BD⊥BC.在Rt△BAC中,BC=AC2+在Rt△DBC中,CD=BC2+所以CD長為13cm.B級實力提升6.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B都是定點,則動點C運動形成的圖形是()A.一條線段 B.一條直線C.一個圓 D.一個圓,但要去掉兩個點解析:因為平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.因為BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓,但要除去A和B兩點.答案:D7.如圖所示,空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是45°.解析:如圖所示,過點A作AO⊥BD于點O.因為平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD,所以∠ADO即為AD與平面BCD所成的角.因為∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.8.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形,∠BCD=120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=2a,E為PA的中點.求證:平面EDB⊥平面ABCD.證明:如圖所示,連接AC,設AC∩BD=O,連接EO,則EO∥PC.因為PC=CD=a,PD=2a,所以PC2+CD2=PD2,所以PC⊥CD.因為平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,所以PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.因為EO?平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.9.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,側面SAB⊥底面ABCD,BC=3,AD=1,M是棱SB上靠近點S的一個三等分點.求證:(1)平面SBC⊥平面SAB;(2)AM∥平面SCD.證明:(1)四棱錐S-ABCD中,因為側面SAB⊥底面ABCD,側面SAB∩底面ABCD=AB,AB⊥BC,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面SAB.因為BC?平面SBC,所以平面SBC⊥平面SAB.(2)取棱SC上靠近點S的一個三等分點N,連接MN,DN,如圖所示.因為SMSB=SNSC=所以MN∥BC,且MN=13因為AD∥BC,所以MN∥AD.因為BC=3,AD=1,所以AD=13BC=MN所以四邊形MNDA是平行四邊形,所以AM∥ND.因為AM?平面SCD,ND?平面SCD,所以AM∥平面SCD.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.探究性問題如圖所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,AD=3,EF=2.(1)求證:AE∥平面DCF;(2)當AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為60°?(1)證明:如圖所示,過點E作EG⊥CF于點G,連接DG.由題意,得四邊形BCGE為矩形.因為四邊形ABCD為矩形,BE∥CF,所以AD∥EG,AD=BC=EG,所以四邊形ADGE為平行四邊形,所以AE∥DG.因為AE?平面DCF,DG?平面DCF,所以AE∥平面DCF.(2)解:如圖所示,過點B作BH⊥FE,交FE的延長線于點H,連接AH.因為平面ABCD⊥平面BEFC,AB⊥BC,平面ABCD∩平面BEFC=BC,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面BEFC.因為BH⊥EF,所以AH⊥EF,所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角.在Rt△EFG中,因為EG=AD=3,E