專題06二次函數(shù)壓軸題1．（2022?鹽城）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上．【分析問題】小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗，以圓心為原點，過點的橫線所在直線為軸，過點且垂直于橫線的直線為軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標(biāo)為．【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立．【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點，為正整數(shù)，以為直徑畫，是否存在所描的點在上．若存在，求的值；若不存在，說明理由．2．（2021?鹽城）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點繞著某定點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，能得到一個新的點，經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點在某函數(shù)圖象上運動時，點也隨之運動，并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形．試根據(jù)下列各題中所給的定點的坐標(biāo)、角度的大小來解決相關(guān)問題．【初步感知】如圖1，設(shè)，，點是一次函數(shù)圖象上的動點，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）點旋轉(zhuǎn)后，得到的點的坐標(biāo)為；（2）若點的運動軌跡經(jīng)過點，求原一次函數(shù)的表達(dá)式．【深入感悟】如圖2，設(shè)，，點是反比例函數(shù)的圖象上的動點，過點作二、四象限角平分線的垂線，垂足為，求的面積．【靈活運用】如圖3，設(shè)，，點是二次函數(shù)圖象上的動點，已知點、，試探究的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由．3．（2020?鹽城）以下虛線框中為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實驗中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題．（Ⅰ）在中，，，在探究三邊關(guān)系時，通過畫圖，度量和計算，收集到一組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）2.82.72.62.321.50.40.40.81.21.622.42.83.23.53.83.943.93.2（Ⅱ）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，選取上表中和的數(shù)據(jù)進行分析：①，，以為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點：②連線：觀察思考（Ⅲ）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想．當(dāng)x＝____時，最大；（Ⅳ）進一步猜想：若中，，斜邊為常數(shù)，，則BC＝____時，最大．推理證明（Ⅴ）對（Ⅳ）中的猜想進行證明．問題1，在圖①中完善（Ⅱ）的描點過程，并依次連線；問題2，補全觀察思考中的兩個猜想：（Ⅲ）；（Ⅳ）；問題3，證明上述（Ⅴ）中的猜想；問題4，圖②中折線是一個感光元件的截面設(shè)計草圖，其中點，間的距離是4厘米，厘米．．平行光線從區(qū)域射入，，線段、為感光區(qū)域，當(dāng)?shù)拈L度為多少時，感光區(qū)域長度之和最大，并求出最大值．4．（2019?鹽城）如圖所示，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于、兩點，點在點的右側(cè)，直線分別與、軸交于、兩點，其中．（1）求、兩點的橫坐標(biāo)；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的值；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸與軸交于點，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．5．（2018?鹽城）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點、兩點，且與軸交于點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于軸，并沿軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于、兩點（點在點的左側(cè)），連接，在線段上方拋物線上有一動點，連接、．（Ⅰ）若點的橫坐標(biāo)為，求面積的最大值，并求此時點的坐標(biāo)；（Ⅱ）直尺在平移過程中，面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由．6．（2022?鹽城一模）已知拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．（1）①點的坐標(biāo)為；直線的解析式為；②如圖1，若點是直線下方拋物線上的一個動點（點不與點、重合），求面積的最大值；（2）如圖2，若點是線段上一動點（不與、重合），點是線段上一點，設(shè)，當(dāng)在何范圍取值時，點總存在兩個不同的位置使；（3）如圖3，點是軸上方的拋物線上一點，若，請直接寫出點的橫坐標(biāo)為．7．（2022?建湖縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過點和點，與軸交于點、（點在點的左邊），且點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．（1）求該二次函數(shù)解析式，并判斷點是否在此函數(shù)的圖象上，并說明理由；（2）若點為此拋物線上一點，它關(guān)于軸，軸的對稱點分別為，，問是否存在這樣的點使得，恰好都在直線上？如存在，求出點的坐標(biāo)，如不存在，請說明理由；（3）若第四象限有一動點，滿足，過作軸于點，設(shè)坐標(biāo)為，，的內(nèi)心為，連接，直接寫出的最小值．8．（2022?亭湖區(qū)校級一模）已知拋物線為常數(shù)且與軸交于點．（1）點的坐標(biāo)為；對稱軸為（用含的代數(shù)式表示）；（2）無論取何值，拋物線都過定點（與點不重合），則點的坐標(biāo)為；（3）若，且自變量滿足時，圖象最高點的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的表達(dá)式；（4）將點與點之間的函數(shù)圖象記作圖象（包含點、，若將在直線下方的部分保持不變，上方的部分沿直線進行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象，若圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，求的值．9．（2022?鹽城二模）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中、為常數(shù)．（1）用含有字母的代數(shù)式表示拋物線頂點的橫坐標(biāo)；（2）點，、為坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點，連接、兩點．①若拋物線的頂點在線段上，求的值；②若拋物線與線段有且只有一個公共點，求的取值范圍．10．（2022?濱?？h一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點、兩點，與軸交于點，連接，直線交軸于點．為直線上方拋物線上一動點，過點作軸的垂線，分別交直線、于點、．（1）求拋物線的表達(dá)式：（2）當(dāng)點落在拋物線的對稱軸上時，求的面積：（3）①若點為軸上一動點，當(dāng)四邊形為矩形時，求點的坐標(biāo)；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點，滿足，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)．11．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點、，作出如下定義：若點是點繞點旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點是點關(guān)于點的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于，則稱點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點，在點，，，，中，是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點的是．（2）已知點，點在直線上，若點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)的取值范圍．（3）點是軸上的動點，，，點是以為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足．若直線上存在點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出的取值范圍．12．（2022?建湖縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點，直線恰好經(jīng)過、兩點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點為第三象限拋物線上一點，連接，過點作，垂足為，若，求點的坐標(biāo)；（3）設(shè)是拋物線上的一個動點，連結(jié)、，若，求點的坐標(biāo)．13．（2022?亭湖區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過點，，與軸正半軸交于點，且，拋物線的頂點為，直線經(jīng)過，兩點，與對稱軸交于點．（1）求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點是直線上方拋物線上的動點，連接，，得到，求出面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）直線交線段于點，若以點，，為頂點的三角形與相似，求的值；（4）點在對稱軸上，滿足，求出點的坐標(biāo)．14．（2022?射陽縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸的交點為，過點作直線垂直于軸．（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）若點，，都在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為；（3）將拋物線在軸左側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形．點，，，為圖形上任意兩點．①當(dāng)時，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，求的取值范圍．15．（2022?東臺市模擬）如圖，已知點，點，直線過點交軸于點，交軸于點，拋物線經(jīng)過點、、，連接、．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）為直線上方的拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)；（4）為線段上的動點，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段運動到點，再以每秒個單位長度的速度沿線段運動到點，又以每秒1個單位長度的速度沿線段向點運動，當(dāng)點運動到點后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點的坐標(biāo)．16．（2022?亭湖區(qū)校級三模）閱讀感悟：“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同一個問題有“數(shù)”、“形”兩方面的特性，解決數(shù)學(xué)問題，有的從“數(shù)”入手簡單，有的從“形”入手簡單，因此，可能“數(shù)”“形”或“形”“數(shù)”，有的問題需要經(jīng)過幾次轉(zhuǎn)化．這對于初、高中數(shù)學(xué)的解題都很有效，應(yīng)用廣泛．解決問題：已知，點為二次函數(shù)圖象的頂點，直線分別交軸正半軸和軸于點，．（1）判斷頂點是否在直線上，并說明理由；（2）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點，，且，結(jié)合圖象，求的取值范圍；（3）如圖2，點坐標(biāo)為，點在內(nèi)，若點，，，都在二次函數(shù)圖象上，試比較與的大小．17．（2022?濱?？h模擬）如圖1，直線與、軸分別相交于、兩點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點、、的拋物線叫做直線的關(guān)聯(lián)拋物線，而直線叫做拋物線的關(guān)聯(lián)直線．（1）已知直線，求直線的關(guān)聯(lián)拋物線的表達(dá)式；（2）若拋物線，求它的關(guān)聯(lián)直線的表達(dá)式；（3）如圖2，若直線，為中點，為中點，連接，為中點，連接．若，求直線的關(guān)聯(lián)拋物線的表達(dá)式；（4）在（3）的條件下，將直線繞著點旋轉(zhuǎn)得到新的直線，若點，與點，分別是拋物線與直線上的點，當(dāng)時，，請直接寫出的取值范圍．18．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，在左側(cè)，且，與軸交于點．（1）求點坐標(biāo)，并判斷的正負(fù)性；（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸與直線相交于點，已知，直線與軸交于點，連接．若的面積為16，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．19．（2022?射陽縣校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，已知二次函數(shù)的圖象過點，頂點為，連接、．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若是的中點，點在線段上，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，當(dāng)為等邊三角形時，求的長度；（3）若點在線段上，，點、在的邊上，且滿足與全等，求點的坐標(biāo)．20．（2022?射陽縣校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，頂點為，直線與拋物線交于點，點．（1）求拋物線頂點的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．①當(dāng)時，求拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）的整點坐標(biāo)；②當(dāng)拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點時，求的取值范圍．21．（2022?亭湖區(qū)校級三模）已知拋物線，其中為實數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點，求的值；（2）若拋物線經(jīng)過點，，試說明；（3）當(dāng)時：二次函數(shù)的函數(shù)值恒成立，求的取值范圍．22．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，設(shè)拋物線的頂點為．過點作軸，垂足為．為線段上一動點，為軸上一點，且．（1）求拋物線的解析式；（2）①當(dāng)點與點重合時，求的值；②在①的條件下，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)并平移，得到△，點，，的對應(yīng)點分別是點，，，若的兩個頂點恰好落在拋物線上，直接寫出點的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點在線段上運動時，求的變化范圍．23．（2022?射陽縣校級三模）【了解概念】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，組成圖形的各點中，與點連線段最短的點叫做點于這個圖形的短距點，這條最短線段的長度叫做點這個圖形的短距．【理解運用】（1）已知點，以原點為圓心，1半徑作，則點于的短距點的坐標(biāo)是；（2）如圖，點，等邊三角形的頂點的坐標(biāo)為，頂點在第一象限，判斷點于的短距點的個數(shù)，并說明理由；【拓展提升】（3）已知，，，點在第一象限內(nèi)，且，，若點到四邊形的短距大于2，請直接寫出的取值范圍．24．（2022?射陽縣校級三模）已知拋物線．（1）求拋物線的對稱軸；（2）過點作軸的垂線，與拋物線交于不同的兩點，（不妨設(shè)點在點的左側(cè)）．①當(dāng)時，求線段的長；②當(dāng)時，若，求的值；③當(dāng)時，若，直接寫出的取值范圍．專題06二次函數(shù)壓軸題1．（2022?鹽城）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上．【分析問題】小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗，以圓心為原點，過點的橫線所在直線為軸，過點且垂直于橫線的直線為軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標(biāo)為或．【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立．【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點，為正整數(shù)，以為直徑畫，是否存在所描的點在上．若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】見解析【詳解】【分析問題】解：根據(jù)題意，可知：所描的點在半徑為5的同心圓上時，其縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)，點的坐標(biāo)為或．【解決問題】證明：設(shè)所描的點在半徑為為正整數(shù)）的同心圓上，則該點的縱坐標(biāo)為，該點的橫坐標(biāo)為，該點的坐標(biāo)為，或，．，，該點在二次函數(shù)的圖象上，小明的猜想正確．【深度思考】解：設(shè)該點的坐標(biāo)為，，的圓心坐標(biāo)為，，．又，均為正整數(shù)，，，存在所描的點在上，的值為4．2．（2021?鹽城）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點繞著某定點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，能得到一個新的點，經(jīng)過進一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點在某函數(shù)圖象上運動時，點也隨之運動，并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形．試根據(jù)下列各題中所給的定點的坐標(biāo)、角度的大小來解決相關(guān)問題．【初步感知】如圖1，設(shè)，，點是一次函數(shù)圖象上的動點，已知該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）點旋轉(zhuǎn)后，得到的點的坐標(biāo)為；（2）若點的運動軌跡經(jīng)過點，求原一次函數(shù)的表達(dá)式．【深入感悟】如圖2，設(shè)，，點是反比例函數(shù)的圖象上的動點，過點作二、四象限角平分線的垂線，垂足為，求的面積．【靈活運用】如圖3，設(shè)，，點是二次函數(shù)圖象上的動點，已知點、，試探究的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由．【答案】見解析【詳解】【初步感知】（1）如圖1，，，軸，，由旋轉(zhuǎn)可得：軸，，；故答案為：；（2），由題意得，，在原一次函數(shù)圖象上，設(shè)原一次函數(shù)解析式為，則，解得：，原一次函數(shù)解析式為；【深入感悟】設(shè)雙曲線與二、四象限角平分線交于點，則：，解得：，．①當(dāng)時，過點作軸于，連接，過點作于點，如圖2，，，，，在和△中，，△，，即．②當(dāng)時，過點作軸于點，過點作于點，如圖3，，，，，，在和△中，，△，，綜上所述，的面積為．【靈活運用】的面積有最小值，如圖4，連接，，將，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，，作軸于點，，，，，，，為等邊三角形，此時與重合，即，連接，，，在△和中，，△，，，作軸于，在△中，，，，，，此時的函數(shù)表達(dá)式為：，設(shè)過且與平行的直線解析式為，，當(dāng)直線與拋物線相切時取最小值，則，即，，當(dāng)△時，得，，設(shè)與軸交于點，連接，，．3．（2020?鹽城）以下虛線框中為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實驗中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題．（Ⅰ）在中，，，在探究三邊關(guān)系時，通過畫圖，度量和計算，收集到一組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）2.82.72.62.321.50.40.40.81.21.622.42.83.23.53.83.943.93.2（Ⅱ）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，選取上表中和的數(shù)據(jù)進行分析：①，，以為坐標(biāo)，在圖①所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點：②連線：觀察思考（Ⅲ）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想．當(dāng)x＝____時，最大；（Ⅳ）進一步猜想：若中，，斜邊為常數(shù)，，則BC＝____時，最大．推理證明（Ⅴ）對（Ⅳ）中的猜想進行證明．問題1，在圖①中完善（Ⅱ）的描點過程，并依次連線；問題2，補全觀察思考中的兩個猜想：（Ⅲ）；（Ⅳ）；問題3，證明上述（Ⅴ）中的猜想；問題4，圖②中折線是一個感光元件的截面設(shè)計草圖，其中點，間的距離是4厘米，厘米．．平行光線從區(qū)域射入，，線段、為感光區(qū)域，當(dāng)?shù)拈L度為多少時，感光區(qū)域長度之和最大，并求出最大值．【答案】見解析【詳解】問題1：函數(shù)圖象如圖所示：問題（Ⅲ）觀察圖象可知，時，有最大值．（Ⅳ）猜想：．故答案為：2，．問題3：設(shè)，，在中，，，，，，關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，△，，，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，有最大值．問題4：延長交的延長線于，過點作于，過點作于交于．在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，四邊形為矩形，，，四邊形是矩形，，，在中，，由問題3可知，當(dāng)時，的值最大，此時，時，的最大值為，此時．4．（2019?鹽城）如圖所示，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于、兩點，點在點的右側(cè)，直線分別與、軸交于、兩點，其中．（1）求、兩點的橫坐標(biāo)；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的值；（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸與軸交于點，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）點、的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分別為1和2；（2）或或；（3）見解析【詳解】（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：，解得：和2，故點、的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分別為1和2；（2），①當(dāng)時，即：，解得：（舍去；②當(dāng)時，，解得：或；故的值為：或或；（3）存在，理由：①當(dāng)點在軸上方時，過點作于點，將的圖形放大見右側(cè)圖形，過點作的角平分線交于點，過點作于點，過點作軸于點，圖中：點、點，則，，設(shè)：，則，則，，，由勾股定理得：，即：，解得：，在中，，解得：，此時，則，故：舍去正值，故；②當(dāng)點在軸下方時，同理可得：，解得：或，此時，，故舍去，故的值為：或．5．（2018?鹽城）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點、兩點，且與軸交于點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于軸，并沿軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于、兩點（點在點的左側(cè)），連接，在線段上方拋物線上有一動點，連接、．（Ⅰ）若點的橫坐標(biāo)為，求面積的最大值，并求此時點的坐標(biāo)；（Ⅱ）直尺在平移過程中，面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）將、代入，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為．（2）當(dāng)點的橫坐標(biāo)為時，點的橫坐標(biāo)為，此時點的坐標(biāo)為，，點的坐標(biāo)為，．設(shè)直線的表達(dá)式為，將，、，代入，得：，解得：，直線的表達(dá)式為．如圖②，過點作軸交直線于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，，．，當(dāng)時，的面積取最大值，最大值為8，此時點的坐標(biāo)為，．假設(shè)存在，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，利用待定系數(shù)法易知，直線的表達(dá)式為．設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，，，．，當(dāng)時，的面積取最大值，最大值為8．假設(shè)成立，即直尺在平移過程中，面積有最大值，面積的最大值為8．6．（2022?鹽城一模）已知拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點．（1）①點的坐標(biāo)為；直線的解析式為；②如圖1，若點是直線下方拋物線上的一個動點（點不與點、重合），求面積的最大值；（2）如圖2，若點是線段上一動點（不與、重合），點是線段上一點，設(shè)，當(dāng)在何范圍取值時，點總存在兩個不同的位置使；（3）如圖3，點是軸上方的拋物線上一點，若，請直接寫出點的橫坐標(biāo)為．【答案】（1）①點的坐標(biāo)為，直線的解析式為；②當(dāng)時，面積的最大值；（2）；（3）【詳解】（1）①點的坐標(biāo)為，直線的解析式為；②當(dāng)時，面積的最大值．（2）如圖2，過點作軸于，直線的解析式為，點是線段上一個動點，設(shè)，且，則，，，，，，，，，中，，，，，，點總存在兩個不同的位置使，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，△，解得：，滿足的條件為：．（3）點橫坐標(biāo)為．如圖3，設(shè)，過點作軸于，連接，作的平分線交軸于，過點作軸交于，則，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，軸，軸，，，，，，，，，，，，，是軸上方的拋物線上一點，為銳角，點在第一象限的拋物線上，，，解得：，，不符合題意，舍去，點橫坐標(biāo)為．7．（2022?建湖縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象過點和點，與軸交于點、（點在點的左邊），且點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．（1）求該二次函數(shù)解析式，并判斷點是否在此函數(shù)的圖象上，并說明理由；（2）若點為此拋物線上一點，它關(guān)于軸，軸的對稱點分別為，，問是否存在這樣的點使得，恰好都在直線上？如存在，求出點的坐標(biāo)，如不存在，請說明理由；（3）若第四象限有一動點，滿足，過作軸于點，設(shè)坐標(biāo)為，，的內(nèi)心為，連接，直接寫出的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象過點和點，，解得，，點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，，把代入，得：，在此拋物線上；（2）設(shè)直線的解析式為，，，，解得，直線的解析式為，假設(shè)此拋物線上存在這樣的點，使得它關(guān)于軸，軸的對稱點，恰好都在直線上，，，，解得，故所求點的坐標(biāo)為或；（3）如圖1，連接．，，作的外接圓，連接，，，，過點作軸于點，軸，，，的內(nèi)心為，，分別平分，，，，，，在和中，，，，是的外接圓，，，，，軸，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時，取得最小值，的最小值為．8．（2022?亭湖區(qū)校級一模）已知拋物線為常數(shù)且與軸交于點．（1）點的坐標(biāo)為；對稱軸為（用含的代數(shù)式表示）；（2）無論取何值，拋物線都過定點（與點不重合），則點的坐標(biāo)為；（3）若，且自變量滿足時，圖象最高點的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的表達(dá)式；（4）將點與點之間的函數(shù)圖象記作圖象（包含點、，若將在直線下方的部分保持不變，上方的部分沿直線進行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象，若圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，求的值．【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）若圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，的值為或．【詳解】（1）令，則，；拋物線的對稱軸為直線，故答案為：；；（2）拋物線，又無論取何值，拋物線都過定點（與點不重合），，，當(dāng)時，，，故答案為：；（3），拋物線開口方向向下．由（1）知：拋物線的對稱軸為直線，①若，則，與矛盾，不合題意；②若，則，此時，拋物線的頂點為圖象最高點，即當(dāng)時，函數(shù)的值為2，，解得：或（不合題意，舍去）．；③若，則，此時，點是滿足時，圖象的最高點，，此種情況不存在，綜上，滿足條件的拋物線的表達(dá)式為；（4），將點沿直線進行翻折后得到的對稱點的坐標(biāo)為，點到直線的距離為1．①當(dāng)時，圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，此時，拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為，，解得：，或（不合題意，舍去），；②當(dāng)時，圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，此時，拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為，，解得：或．，．不合題意，舍去．綜上，若圖象上僅存在兩個點到直線的距離為2，的值為或．9．（2022?鹽城二模）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中、為常數(shù)．（1）用含有字母的代數(shù)式表示拋物線頂點的橫坐標(biāo)；（2）點，、為坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點，連接、兩點．①若拋物線的頂點在線段上，求的值；②若拋物線與線段有且只有一個公共點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②拋物線與線段有且只有一個公共點時，的取值范圍是或或【詳解】（1）的圖象經(jīng)過點，即當(dāng)時，，，，對稱軸，拋物線頂點的橫坐標(biāo)為；（2）①拋物線的頂點在線段上，且點，、，頂點縱坐標(biāo)為1，且，當(dāng)時，，即，整理得：，解得：，檢驗，當(dāng)時，，；②對稱軸，當(dāng)時，對稱軸在點的右側(cè)，即，拋物線與線段有且只有一個公共點，點，、，當(dāng)時，，即，解得：，當(dāng)時，，即，解得：，，當(dāng)，且時，對稱軸在點的左側(cè)，即，拋物線開口向下，且過點，當(dāng)時，，即，解得：，，；由①知，當(dāng)時，拋物線頂點恰好在線段上，當(dāng)時，拋物線與線段有且只有一個公共點，綜上所述，拋物線與線段有且只有一個公共點時，的取值范圍是或或．10．（2022?濱?？h一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點、兩點，與軸交于點，連接，直線交軸于點．為直線上方拋物線上一動點，過點作軸的垂線，分別交直線、于點、．（1）求拋物線的表達(dá)式：（2）當(dāng)點落在拋物線的對稱軸上時，求的面積：（3）①若點為軸上一動點，當(dāng)四邊形為矩形時，求點的坐標(biāo)；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點，滿足，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）的面積是；（3）①；②，【詳解】（1）拋物線與軸交于點、兩點，拋物線的表達(dá)式為：，即；（2）如圖：點落在拋物線的對稱軸上，為拋物線的頂點，，，，在中，令得，由，得直線的表達(dá)式為，把代入得，，，，，答：的面積是；（3）①過點作于點，如圖：過點，，解得，直線的表達(dá)式為：，，設(shè)，則，四邊形為矩形，，，又，，，，而，，，解得，，，，，，即，，，；②取的中點，如圖：，點在的垂直平分線上，又，，，，要使最小，只需最小，當(dāng)點、、共線時，的周長最小，此時，點即為的垂直平分線與直線的交點，，，，在中，令得：，解得，，．11．（2022?鹽城一模）對于平面內(nèi)的兩點、，作出如下定義：若點是點繞點旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點是點關(guān)于點的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于，則稱點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點，在點，，，，中，是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點的是．（2）已知點，點在直線上，若點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)的取值范圍．（3）點是軸上的動點，，，點是以為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足．若直線上存在點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1），；（2）；（3）【詳解】（1）如圖，，，，，點不是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點；，作軸于點，，，，點是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點；，作軸于點，則，，，，不是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點；，，作軸于點，則，，，是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點；綜上所述，在點，，，中，是點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點的是，，故答案為：，．（2）在軸上取點，當(dāng)直線經(jīng)過點時，可得，當(dāng)直線經(jīng)過點時，則，解得：，當(dāng)時，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)銳角時，點一定可以落在某條直線上，過點作直線，垂足在第四象限時，如圖，則，，，當(dāng)時，取得最小值，，，．（3）根據(jù)題意，點關(guān)于點的銳角旋轉(zhuǎn)點在半圓上，設(shè)點在半圓上，點在半圓上（將半圓繞點旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域為圖3（1）中陰影部分，如圖3（2）中，陰影部分與直線相切于點，，，過點作軸于點，過點作于點，，，，，，，，即，解得，如圖3（3）中，陰影部分與相切于點，，，則，，，解得，觀察圖象可知，．12．（2022?建湖縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點，直線恰好經(jīng)過、兩點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點為第三象限拋物線上一點，連接，過點作，垂足為，若，求點的坐標(biāo)；（3）設(shè)是拋物線上的一個動點，連結(jié)、，若，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3），或，【詳解】（1）令，則，，令，則，，將點，代入，，，；（2）過點作軸于，設(shè)，，，，，，，，，，，解得：，（舍，；（3）設(shè)，如圖2，過點作交于點，在上截取，，，，，，時，或，，，在中，，，，，在中，，，解得，，，，，，解得（舍或或，點坐標(biāo)為，或，．13．（2022?亭湖區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過點，，與軸正半軸交于點，且，拋物線的頂點為，直線經(jīng)過，兩點，與對稱軸交于點．（1）求拋物線及直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點是直線上方拋物線上的動點，連接，，得到，求出面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）直線交線段于點，若以點，，為頂點的三角形與相似，求的值；（4）點在對稱軸上，滿足，求出點的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線：；直線：；（2）當(dāng)時，的面積有最大值3，此時；（3）的值為3或2；（4）點坐標(biāo)為或【詳解】（1），，，，，將點，，代入，，解得，；直線的解析式為，，解得，直線的解析式為；（2），，，過點作軸交于點，設(shè)，則，，，當(dāng)時，的面積有最大值3，此時；（3），，，，，，設(shè)，，，當(dāng)時，，，，，解得或，或，點在上，或（舍；當(dāng)時，，，解得，，解得或，，或，，或（舍；綜上所述：的值為3或2；（4），，，，以為圓心4為半徑做圓，圓與直線的交點為點，設(shè)，，解得（舍或，；以為圓心4為半徑作圓，圓與直線的交點為，，解得或（舍，；綜上所述：點坐標(biāo)為或．14．（2022?射陽縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸的交點為，過點作直線垂直于軸．（1）當(dāng)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）若點，，都在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為；（3）將拋物線在軸左側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形．點，，，為圖形上任意兩點．①當(dāng)時，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）①見解析；②的取值范圍為【詳解】（1）當(dāng)時，拋物線的解析式為：，拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）拋物線的對稱軸為，，拋物線開口向下，時函數(shù)取得最大值，離對稱軸距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，，且點，，都在拋物線上，，故答案為：；（3）①．理由：當(dāng)時，二次函數(shù)解析式是，對稱軸為軸；所以圖形上的點的橫縱坐標(biāo)和，滿足隨的增大而減??；，；②時，，，時，，，為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點，下面討論當(dāng)變化時，軸與點，的相對位置：如圖，當(dāng)軸在點左側(cè)時（含點，經(jīng)翻折后，得到點，的縱坐標(biāo)相同，，不符題意；如圖，當(dāng)軸在點右側(cè)時（含點，經(jīng)翻折后，點，的縱坐標(biāo)相同，，不符題意；如圖4，當(dāng)軸在點，之間時（不含，，經(jīng)翻折后，點在下方，點，重合，在上方，，符合題意．此時有，即．綜上所述，的取值范圍為．15．（2022?東臺市模擬）如圖，已知點，點，直線過點交軸于點，交軸于點，拋物線經(jīng)過點、、，連接、．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）為直線上方的拋物線上一點，且，求點的坐標(biāo)；（4）為線段上的動點，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段運動到點，再以每秒個單位長度的速度沿線段運動到點，又以每秒1個單位長度的速度沿線段向點運動，當(dāng)點運動到點后停止，請直接寫出上述運動時間的最小值及此時點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）見解析；（3），；（4）此時坐標(biāo)為【詳解】（1）直線過點，交軸于點，，解得：，，將、代入，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為；（2）為直角三角形，且，理由如下：點，點，點，，，，，為直角三角形，且；（3）由（2）知，，，，如圖1，延長至，使，連接，則點、關(guān)于點對稱，，，，，，，點為直線與拋物線的交點，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得：或（舍去），故點坐標(biāo)為，；（4）過作于，過作交于，連接，則，，，，，又，點運動時間，當(dāng)、、三點共線時，最小，，，，，點運動時間的最小值為，由直線的表達(dá)式得點坐標(biāo)為，，點與點重合，則點（即為直線與直線的交點，由點和得直線的表達(dá)式為，由點和得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解得：，此時坐標(biāo)為．16．（2022?亭湖區(qū)校級三模）閱讀感悟：“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同一個問題有“數(shù)”、“形”兩方面的特性，解決數(shù)學(xué)問題，有的從“數(shù)”入手簡單，有的從“形”入手簡單，因此，可能“數(shù)”“形”或“形”“數(shù)”，有的問題需要經(jīng)過幾次轉(zhuǎn)化．這對于初、高中數(shù)學(xué)的解題都很有效，應(yīng)用廣泛．解決問題：已知，點為二次函數(shù)圖象的頂點，直線分別交軸正半軸和軸于點，．（1）判斷頂點是否在直線上，并說明理由；（2）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點，，且，結(jié)合圖象，求的取值范圍；（3）如圖2，點坐標(biāo)為，點在內(nèi)，若點，，，都在二次函數(shù)圖象上，試比較與的大?。敬鸢浮恳娊馕觥驹斀狻浚?）點在直線上，理由如下：，頂點的坐標(biāo)是，把代入，得，點在直線上；（2）如圖1，直線交軸于點，點坐標(biāo)為，又在拋物線上，，解得，二次函數(shù)的解析是為，當(dāng)時，，解得，，，由圖象，得當(dāng)時，的取值范圍是或；（3）如圖2，直線與直線交于點，與軸交于，設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為：，將，代入得，解得，直線的解析式為，聯(lián)立，得方程組，解得，點，，而點坐標(biāo)為，點在內(nèi)，，，當(dāng)點，關(guān)于拋物線的對稱軸對稱時，，，且二次函數(shù)圖象開口向下，頂點在直線上，綜上：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，．17．（2022?濱?？h模擬）如圖1，直線與、軸分別相交于、兩點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，過點、、的拋物線叫做直線的關(guān)聯(lián)拋物線，而直線叫做拋物線的關(guān)聯(lián)直線．（1）已知直線，求直線的關(guān)聯(lián)拋物線的表達(dá)式；（2）若拋物線，求它的關(guān)聯(lián)直線的表達(dá)式；（3）如圖2，若直線，為中點，為中點，連接，為中點，連接．若，求直線的關(guān)聯(lián)拋物線的表達(dá)式；（4）在（3）的條件下，將直線繞著點旋轉(zhuǎn)得到新的直線，若點，與點，分別是拋物線與直線上的點，當(dāng)時，，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【詳解】（1），當(dāng)時，，；當(dāng)時，即，解得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，．設(shè)的解析式為，則，解得：，；（2），令，即，解得，，，，有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，．，設(shè)的解析式為，則，解得，；（3）連接、，有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，是等腰直角三角形，又，，在中，，在中，，，，當(dāng)時，，點，即．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，點．在中，，，設(shè)的解析式為，則，解得，；（4）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，．，經(jīng)過點，，即．根據(jù)題意可知，當(dāng)時，，分析與的位置關(guān)系可知，只需當(dāng)時，即可，，即，，解得：．的取值范圍是：．18．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，在左側(cè)，且，與軸交于點．（1）求點坐標(biāo)，并判斷的正負(fù)性；（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸與直線相交于點，已知，直線與軸交于點，連接．若的面積為16，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）在中，令，則，，圖像與軸交于、兩點，在左側(cè)，且，對稱軸在軸右側(cè)，，；（2）過點作軸，垂足為，則，，，設(shè)，，則，，，，，，則，，，，，，設(shè)，令，則，，，，．19．（2022?射陽縣校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，已知二次函數(shù)的圖象過點，頂點為，連接、．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若是的中點，點在線段上，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，當(dāng)為等邊三角形時，求的長度；（3）若點在線段上，，點、在的邊上，且滿足與全等，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標(biāo)為：，或，或，或或【詳解】（1）將點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得：，解得，二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2），，拋物線的對稱軸為．如圖1所示：由兩點間的距離公式得：，．是的中點，．△為等邊三角形，．又點與點關(guān)于對稱，．，，，．在中，，，，，．（3）分兩種情況：當(dāng)在邊上時，①如圖2，過作軸，垂足為，，且在線段上，，由（2）得：，點在線段上，，，，，，則，點的坐標(biāo)為，；②如圖3，過作軸于，過作軸，交于，連接，過作軸于，，，，，，，，，，同理可得：，，，，的坐標(biāo)為，；③如圖4，將沿邊翻折，使得恰好落在邊上，記為點，過作軸于，過作于，由翻折的性質(zhì)得：，，，在中，由勾股定理得：，則，，，點的坐標(biāo)為：，；當(dāng)點在上時，①過作軸，交于，連接與，軸，，，由拋物線的對稱性得：，，則，，，則，和重合，則點的坐標(biāo)為；②如圖6，由①可知：當(dāng)與重合時，與重合，此時點；綜上所述，點的坐標(biāo)為：，或，或，或或．20．（2022?射陽縣校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，頂點為，直線與拋物線交于點，點．（1）求拋物線頂點的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．①當(dāng)時，求拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）的整點坐標(biāo)；②當(dāng)拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點時，求的取值范圍．【答案】（1）拋物線的頂點的坐標(biāo)為；（2）①拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）的整點坐標(biāo)為；②滿足條件的的取值范圍為或【詳解】（1）拋物線，拋物線的頂點的坐標(biāo)為；（2）①，拋物線的解析式為（Ⅰ），直線的解析式為（Ⅱ），聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或，，，令拋物線為，直線的解析式為，當(dāng)時，，，而和之間存在整數(shù)1，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）的整點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，，而于1之間不存在整數(shù)，即拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包含邊界）的整點坐標(biāo)為；②聯(lián)立拋物線與直線的解析式得，，解得，或，，，令拋物線為，直線的解析式為，當(dāng)時，當(dāng)時，，，而，，點必在區(qū)域內(nèi)，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點，點，不在區(qū)域內(nèi)，且，，即，當(dāng)時，，，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點，不在區(qū)域內(nèi)，，，，即：；當(dāng)時，當(dāng)時，，，而，，點必在區(qū)域內(nèi)，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點，點，不在區(qū)域內(nèi)，且，，即，當(dāng)時，，，拋物線與直線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)有且只有1個整點，不在區(qū)域內(nèi)，，，，即：；即：滿足條件的的取值范圍為或．21．（2022?亭湖區(qū)校級三模）已知拋物線，其中為實數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點，求的值；（2）若拋物線經(jīng)過點，，試說明；（3）當(dāng)時：二次函數(shù)的函數(shù)值恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）見解析；（3）當(dāng)時，二次函數(shù)的函數(shù)值恒成立，的取值范圍為．【詳解】（1）將點代入中，得：，解得：；（2）拋物線經(jīng)過點，，，，，，，二次函數(shù)二次項系數(shù)不為0，即，即，，即；（3）二次函數(shù)為，對稱軸，當(dāng)時，，當(dāng)時，，①若