第十三章特征值與特征向量第十三章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容方陣的特征值與特征向量相似矩陣及其性質(zhì)矩陣的特征值與特征向量是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分.數(shù)學(xué)中的矩陣對角化、微分方程的求解、動力系統(tǒng)問題及工程技術(shù)中的震動問題、圖像處理、穩(wěn)定性問題等都可以歸結(jié)為方陣的特征值與特征向量問題.本章主要討論矩陣的特征向量、特征值和及特征值和特征向量的應(yīng)用.

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量圖13-1向量的位置變換

對于空間中向量的同一個位置變換，在不同的基底下，用于表示的矩陣也是不相同的.這些表示位置變換的矩陣之間如何進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化？如何在這些矩陣中獲取表示空間轉(zhuǎn)換的最佳矩陣？解決這些問題的落腳點就是特征值與特征向量.第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征值與特征向量其幾何意義如圖13-2所示：第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

圖13-2矩陣描述的線性變換

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定義13.1.1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量圖13-3所有的特征向量和零向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征方程第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征值與特征向量的性質(zhì)

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量推論13.1.1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.2三角矩陣的主對角線的元素是其特征值.

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.3

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.4

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量該定理的證明可以用數(shù)學(xué)歸納法，在此不予證明.第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.5

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量推論8.1.5-1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量對于空間中向量的同一個位置變換，在不同的基底下，用于表示的矩陣也是不相同的，而這些不同的矩陣，彼此之間就是相似矩陣.相信讀者都聽過一句詩:“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.站在不同的角度去看廬山，人們看到的景象是不同的.那么，對于一個表示向量空間變換的矩陣而言，是否應(yīng)該選擇一個合適的基底，使我們可以用一個最佳矩陣來表示某一個向量空間變換呢？這個最佳的矩陣就是本節(jié)要討論的對角矩陣.第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

相似矩陣的概念及性質(zhì)第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)圖13-4用不同的基描述同一個向量圖13-5不同基底描述下的線性變換通過引例可知，對于同一個線性變換，由于我們選擇的基底不同，因此表征其線性變換的矩陣就不同.為了更好地說明不同基底下表征線性變換的矩陣之間的關(guān)系，我們引入如下定義：第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

定義13.2.1

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)上述過程如圖13-6所示：第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)圖13-6相似矩陣間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.1

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.2

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.3

若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，從而A與B的特征值也相同.

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)推論13.2.1

由上面的分析可知，兩個相似矩陣是空間中向量的同一個位置變換在兩組基下對應(yīng)的矩陣.那么，對于一個描述線性變換的矩陣而言，是否應(yīng)該選擇一個合適的基底，使我們可以用一個最佳矩陣矩陣來描述一個線性變換呢？這個最佳矩陣就是對角矩陣，因為利用對角矩陣描述線性變換具有一些優(yōu)勢第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)方陣的相似對角化

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定義13.2.2

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.4

推論13.2.2

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)1.方陣的