第11講：圓的方程【知識梳理】考點一、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點二、圓的一般方程的求圓心與半徑考點三：求圓的一般方程考點四：圓的定點問題考點五：點與圓的位置關(guān)系考點六、求動點的軌跡方程考點七：圓的方程綜合問題【知識梳理】知識點一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長為r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圓心為坐標(biāo)原點，半徑長為r的圓的方程是x2＋y2＝r2.知識點二圓的一般方程1．圓的一般方程當(dāng)D2＋E2－4F>0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件圖形D2＋E2－4F<0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓知識點三點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2【例題詳解】題型一、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2324高二上·江蘇南通·期末）已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓心的坐標(biāo)，利用求出點坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，得解.【詳解】由題意，設(shè)（），圓的半徑為，，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為.故選：D.2．（2324高二上·河北邯鄲·期末）已知圓過點，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由在圓上，故圓心在直線上，由在圓上，故圓心在直線上，即圓心，半徑，故方程為.故選：A.3．（2324高二上·安徽黃山·期末）圓與圓N關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性求得圓的圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于直線的對稱點是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：D題型二、圓的一般方程的求圓心與半徑4．（2324高二上·山西呂梁·期末）已知圓，則圓心和半徑分別為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定圓心坐標(biāo)及半徑.【詳解】圓的方程可化為.所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，故選：B.5．（2324高二上·福建廈門·期中）已知直線：經(jīng)過圓：的圓心，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓的普通方程找出圓心代入直線方程中即可.【詳解】因為圓：的為：，直線：經(jīng)過圓心，所以有，此時圓的方程為，，符合題意，故選：A.6．（2324高二上·江蘇蘇州·期中）圓的圓心到直線的距離為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，則圓心到直線的距離.故選：D題型三：求圓的一般方程7．（2324高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進(jìn)而得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓C的方程為，則圓心，則有，解之得,則有圓C的方程為，即故選：C8．（2223高二上·天津和平·期末）三個頂點的坐標(biāo)分別是，，，則外接圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用圓的一般方程列出方程組求解即可.【詳解】設(shè)所求圓方程為,因為，，三點都在圓上，所以，解得，即所求圓方程為：.故選：C.9．（2122高一下·江西宜春·階段練習(xí)）求過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先計算出兩圓的交點所在直線，進(jìn)而求出線段的垂直平分線，與聯(lián)立求出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓的一般方程.【詳解】與相減得：，將代入得：，即，設(shè)兩圓和的交點為，則，，則，不妨設(shè)，所以線段的中點坐標(biāo)為，因為直線的斜率為1，所以線段的垂直平分線的斜率為1，所以線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得：，故圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的方程為，整理得：故選：D題型四：圓的定點問題10．（2324高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.【詳解】圓的方程化為，由得或，故圓恒過定點．故選：D．11．（2122高二下·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為．【答案】或【分析】由已知得，從而，由此能求出定點的坐標(biāo)．【詳解】解：，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標(biāo)是或．故答案為：或.12．（2122高三下·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為【答案】【分析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，根據(jù)題意設(shè)圓心為，求出，寫出圓的方程，可得出關(guān)于、的方程組，即可得出圓所過定點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達(dá)定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為.故答案為：.題型五：點與圓的位置關(guān)系13．（2324高二上·北京順義·期中）已知圓的方程為，則點在（

）A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)該點到圓心的距離與圓的半徑進(jìn)行比較即可.【詳解】圓心為，半徑為，因為，所以在圓外，故選：C14．（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數(shù)）外，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點在圓外代入圓的方程可得，再由圓的一般方程中可得，最后求交集即可.【詳解】由題意知，故，又由圓的一般方程，可得，即，即或，所以實數(shù)的范圍為.故選：C.15．（2324高二上·湖北荊門·期末）已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先將圓的一般化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合點在圓外，得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，，又點在圓外，所以，，或，所以m的取值范圍為．故選：D.題型六、求動點的軌跡方程16．（2324高二上·浙江嘉興·期末）已知點為圓：外一動點，過點作圓的兩條切線，，切點分別為，，且，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得四邊形為正方形，，，然后結(jié)合兩點間的距離公式即可求解．【詳解】設(shè)，因為，與圓相切，所以，，，，又，所以四邊形為正方形，所以，則，即動點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以動點的軌跡方程為．故選：A．17．（2324高二上·廣東梅州·期末）已知定點為圓的動點，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)線段中點的坐標(biāo)為，且點，結(jié)合中點公式求得，代入即可求解.【詳解】設(shè)線段中點的坐標(biāo)為，且點，又由，可得，解得，又由，可得，即，故選：A18．（2324高二上·河北滄州·期末）已知平面上兩定點A，B，滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱作阿氏圓．利用上述結(jié)論，解決下面的問題：若直線與x，y軸分別交于A，B兩點，點M，N滿足，，，則直線MN的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出點M，點N是兩個圓的公共點，所以將兩圓直接作差即可得到公共弦所在直線方程.【詳解】由題得，，設(shè)，∵，∴點M在圓：上．∵，∴，整理得，∴點M也在圓：上，同理點N也在這兩個圓上，∴MN是這兩圓的公共弦，兩圓方程作差，得，即直線MN的方程為，故選：A．題型七：圓的方程綜合問題19．（2324高二上·湖北十堰·期末）已知直線，圓．(1)求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；(2)若圓與關(guān)于直線對稱，求的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由，設(shè)的方程，從而可求解.（2）設(shè)的圓心，由與關(guān)于直線對稱得，從而可求解.【詳解】（1）將的方程轉(zhuǎn)化為，可知的圓心為，半徑為4．因為，所以可設(shè)的一般式方程為，將代入，解得，故的一般式方程為．（2）設(shè)的圓心為，由與關(guān)于直線對稱，可得，解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．20．（2324高二上·河南南陽·期末）已知直線過定點A.(1)求點A的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，與的交點為，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）將化為，解方程組，即可得出答案；（2）聯(lián)立方程組，得出B點坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓心以及半徑，即可得出答案.【詳解】（1）可化為，令，得，所以，直線過定點.（2）當(dāng)時，，聯(lián)立方程組，解得，即.因為，所以線段的中點，即圓心的坐標(biāo)為，所以，，故以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21．（2324高二上·山西太原·期中）已知圓心為C的圓經(jīng)過點和點兩點，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知線段MN的端點M的坐標(biāo)，另一端點N在圓C上運(yùn)動，求線段MN的中點G的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圓心為C的圓經(jīng)過點和點兩點，可知圓心過線段的垂直平分線，將其與直線聯(lián)立可求得圓心C，再求半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)線段MN的中點，由G為線段MN的中點可得，代入圓C的方程，即可得到G的軌跡方程.【詳解】（1）因為圓C經(jīng)過點和點兩點，所以圓心C在線段的垂直平分線上，即上，聯(lián)立可解得，即，所以圓C的半徑為則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)線段MN的中點，又M的坐標(biāo)，且G為線段MN的中點，所以，又N在圓C上運(yùn)動，可得，化簡可得，所以，線段MN的中點G的軌跡方程.【專項訓(xùn)練】一、單選題22．（2324高二上·新疆·期末）圓心為且過原點的圓的一般方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡即可求得該圓的一般方程.【詳解】原點與的距離為，則圓心為半徑為的圓的方程為，則該圓的一般方程是故選：D23．（2324高二上·廣東·期末）已知方程表示一個圓，則實數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程表示圓的條件可得結(jié)果.【詳解】因為方程表示一個圓，所以，即，所以或，故選：C.24．（2324高二上·廣西玉林·期末）若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，直線方程為，或，將點代入上式，解得直線的方程為或.故選：C.25．（2324高二上·貴州六盤水·期末）已知曲線，則“”是“曲線是圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)圓的定義列出不等式即可求解.【詳解】因為，所以，若曲線是圓，所以，所以或，所以“”是“曲線是圓”的充分不必要條件.故選：A.26．（2324高二上·廣東江門·期末）方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由計算即可得.【詳解】，即.故選：D.27．（2324高二上·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷.【詳解】若方程表示圓，則，解得，又，所以或，即程表示的圓的個數(shù)為.故選：B28．（2324高二上·廣東汕尾·期末）已知點，動點到點的距離是它到點的距離的2倍，則動點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)是所求軌跡上的任意一點，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)是所求軌跡上的任意一點，因為，且，可得，整理得，即所求軌跡方程為.故選：B.29．（2024·四川綿陽·二模）已知曲線與x軸交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，則過A，B，C（A，B，C均不重合）三點的圓的半徑不可能為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】設(shè)出圓的方程，利用給定條件用m表示圓的半徑，并求出半徑的取值范圍即得.【詳解】依題意，設(shè)點，則是方程的兩個實根，，，顯然點，當(dāng)時，曲線過原點，點與點之一重合，不符合題意，則，設(shè)過三點的圓方程為，由，得，顯然是的兩個根，于是，又，聯(lián)立解得，又，因此，而當(dāng)或時，，所以過三點的圓的半徑的取值范圍是，BCD均可能，A不可能.故選：A二、多選題30．（2324高二上·四川宜賓·期末）已知圓經(jīng)過點、，為直角三角形，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)圓心，由題意可知，，，求出、的值，可得出圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑，由此可得出圓的方程.【詳解】設(shè)圓心，由題意可知，，即，解得，因為為直角三角形，則為直角三角形，則，即，解得，則圓的半徑為，圓心為，因此，圓的方程為或，故選：BC.31．（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知方程表示一個圓，則實數(shù)m可能的取值為（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】BC【分析】由圓的一般式，根據(jù)即可判斷的可能取值.【詳解】因為方程表示一個圓，令，所以由，化簡得，解得.故選：BC.32．（2324高二上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知圓的方程為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．實數(shù)k的取值范圍是B．實數(shù)k的取值范圍是C．當(dāng)圓的周長最大時，圓心坐標(biāo)是D．圓的最大面積是π【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，將圓的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，然后對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】將圓的方程為化為標(biāo)準(zhǔn)式為，由，解得，故A正確，B錯誤；當(dāng)時，圓的半徑最大，則圓的周長以及面積最大，此時半徑為，圓心坐標(biāo)為，則圓的面積為，故CD正確；故選：ACD33．（2122高二上·安徽蕪湖·期中）設(shè)圓，則下列命題正確的是（

）A．所有圓的面積都是 B．存在，使得圓C過點C．經(jīng)過點的圓C有且只有一個 D．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上【答案】AD【分析】對于A，直接由圓的半徑是，即得到答案；對于B，利用不等式說明圓C必定不過即可；對于C，給出和作為例子即可；對于D，說明圓心總在上即可.【詳解】對于A，由于每個圓的半徑都是，故面積都是，A正確；對于B，由于，故圓C必定不過，B錯誤；對于C，對和，均有，故，即圓C經(jīng)過點，C錯誤；對于D，圓心始終在直線上，D正確.故選：AD.34．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點P滿足，設(shè)點P所構(gòu)成的曲線為C，下列結(jié)論正確的是（

）A．C的方程為B．在C上存在點D，使得D到點的距離為3C．在C上存在點M，使得D．在C上存在點N，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)兩點坐標(biāo)以及由兩點間距離公式即可整理得點P所構(gòu)成的曲線為C的方程為；利用定點到圓上點距離的最大值和最小值即可知在C上存在點D，使得D到點的距離為3，分別設(shè)出兩點坐標(biāo)，寫出對應(yīng)表達(dá)式并與C的方程聯(lián)立解得不存在點M，使得，存在點N，使得.【詳解】對于A，設(shè)點，，由，得，化簡得，即，故A正確；對于B，由A可知曲線C的方程表示圓心為，半徑為4的圓，圓心與點的距離為，則點與圓上的點的距離的最小值為，最大值為，而，故B正確；對于C，設(shè)，由得，又，聯(lián)立方程消去得，再代入得無解，故C錯誤；對于D，設(shè)，由得，又，聯(lián)立方程消去得，再代入得，所以存在點滿足條件，故D正確．故選：ABD三、填空題35．（2324高二上·貴州畢節(jié)·期末）與圓有相同圓心，且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【分析】首先化簡已知圓的方程得圓心，進(jìn)一步由兩點間距離得半徑，由此即可得解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心，因為圓過點半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.36．（2324高二上·北京·期末）已知點和點，直角以BC為斜邊，求直角頂點A的軌跡方程.【答案】【分析】根據(jù)圓的定義可以求解，或直接設(shè)，由求解.【詳解】方法一：設(shè)點，，，，，由題意可知：，，，整理得：，三點不共線，，，應(yīng)去除.直角頂點的軌跡方程為：.方法二：設(shè)BC中點為，則，即A在以D為圓心，為半徑的圓上(不能和B、C重合)，故A的軌跡方程為.37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，點在圓上，則的最小值為．【答案】2【分析】運(yùn)用三角代換法，結(jié)合余弦函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，令，，得，，即，，則當(dāng)時，有最小值為2．故答案為：2．38．（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知、、，且動點滿足，則的最小值是.【答案】/【分析】求出點P的軌跡方程，將化為，即可確定P在線段AC上時，最小，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知、、，且動點滿足，設(shè)，則，整理得，即P點在圓上運(yùn)動，A點在圓內(nèi)，C在該圓外；由于，則當(dāng)三點共線，即P在線段AC上時，最小，最小值為，故答案為：四、解答題39．（2324高二上·湖南永州·期末）的頂點是，，．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求過點A，B，C的圓方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出直線的斜率，得到邊上的高所在直線的斜率，點斜式求出直線方程，得到答案；（2）設(shè)出圓的一般方程，待定系數(shù)法進(jìn)行求解.【詳解】（1）直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，故邊上的高所在直線的方程為，即；（2）設(shè)圓的方程為，將，，代入得，解得，故圓的方程為.40．（2324高二上·江蘇徐州·期末）已知直線，直線l過點且與垂直.(1)求直線l的方程；(2)設(shè)l分別與交于點A，B，O為坐標(biāo)原點，求過三點A，B，O的圓的方程.【答案】(1)；(