1.1正弦定理(一)課時(shí)目標(biāo)1.熟記正弦定理的內(nèi)容；2.能夠初步運(yùn)用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC中，A＋B＋C＝______，eq\f(A,2)＋eq\f(B,2)＋eq\f(C,2)＝eq\f(π,2).2．在Rt△ABC中，C＝eq\f(π,2)，則eq\f(a,c)＝________，eq\f(b,c)＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．4．正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即______，這個(gè)比值是________________．一、填空題1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c等于________．2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為____________．3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，則△4．在△ABC中，若sinA>sinB，則角A與角B的大小關(guān)系為________．5．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，則B等于______________．6．在△ABC中，AC＝eq\r(6)，BC＝2，B＝60°，則C＝___________________________.7．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，C＝150°，BC＝1，則AB＝________.8．在△ABC中，b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，則a＝________.9．在△ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于________．二、解答題11．在△ABC中，已知a＝2eq\r(2)，A＝30°，B＝45°，解三角形．12．在△ABC中，已知a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為________．14．在銳角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求eq\f(a,b)的取值范圍．1．利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角．(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角．2．已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無解，可能一解或兩解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況．A為銳角a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥b無解一解(直角)兩解(一銳角，一鈍角)一解(銳角)A為直角或鈍角a≤ba≤b無解一解(銳角)§1.1正弦定理(一)答案知識梳理1．π2.sinAsinB4.eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)三角形外接圓的直徑2R作業(yè)設(shè)計(jì)1．1∶eq\r(3)∶22．2eq\r(6)解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(4,sin45°)＝eq\f(b,sin60°)，∴b＝2eq\r(6).3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b4．A>B解析由sinA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.5．45°解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2)sin60°,\r(3))＝eq\f(\r(2),2).∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析由正弦定理得eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(6),sin60°)，∴sinA＝eq\f(\r(2),2).∵BC＝2<AC＝eq\r(6)，∴A為銳角．∴A＝45°.∴C＝75°.7.eq\f(\r(10),2)解析∵tanA＝eq\f(1,3)，A∈(0°，180°)，∴sinA＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，∴AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(1×sin150°,\f(\r(10),10))＝eq\f(\r(10),2).8．1解析由正弦定理，得eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(1,sinB)，∴sinB＝eq\f(1,2).∵C為鈍角，∴B必為銳角，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(π,6).∴a＝b＝1.9．30°解析∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化簡得：sinA＝eq\f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq\f(\r(3),3)，∴A＝30°.10．120°解析∵c＝eq\r(3)a，∴sinC＝eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sin(180°－30°－C)＝eq\r(3)sin(30°＋C)＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinC＋\f(1,2)cosC))，即sinC＝－eq\r(3)cosC.∴tanC＝－eq\r(3).又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．解∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(2\r(2)sin45°,sin30°)＝eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2\r(2)sin105°,sin30°)＝eq\f(2\r(2)sin75°,\f(1,2))＝2＋2eq\r(3).12．解a＝2eq\r(3)，b＝6，a<b，A＝30°<90°.又因?yàn)閎sinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，所以本題有兩解，由正弦定理得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，故B＝60°或120°.當(dāng)B＝60°時(shí)，C＝90°，c＝eq\r(a2＋b2)＝4eq\r(3)；當(dāng)B＝120°時(shí)，C＝30°，c＝a＝2eq\r(3).所以B＝60°，C＝90°，c＝4eq\r(3)或B＝120°，C＝30°，c＝2eq\r(3).13.eq\f(π,6)解析∵sinB＋cosB＝eq\r(2)sin(eq\f(π,4)＋B)＝eq\r(2).∴sin(eq\f(π,4)＋B)＝1.又0<B<π，∴B＝eq\f(π,4).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq\f(1,2).又a<b，∴A<B，∴A＝eq\f(π,6).14．解在銳角三角形ABC中，A，B，C<90°，即eq\b\lc\{\rc\(\a\