淄博實驗中學2018級(高三)第一學期第二次模塊考試2021.01

數(shù)學答案

一、選擇題(共12個小題，每小題5分，共60分.其中1-8為單選，四個選項中有且只有一個是正確的；9-12

為多選，全選對得滿分，選對但不全得3分，有選錯者不得分)

1、集合A=[xeN^用列舉法可以表示為()

3-x

A.{1,2,4,9}B.{1,2,4,569}

C.{-6,—3,—2,—1,3,6}D.{-6,—3,—2,—1,2,3,6}

答案是B

2.若土盧(〃,b￡R)與(1+爐是相等復(fù)數(shù)，則4+白的值為()

A.2B.-2C.-3D.3

答案是B

3.函數(shù)外)=1門一火的圖象存在與直線x+2y=0垂直的切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(—8,2]B.(—8,-2)C.(-2,+8)D.(2,+~)

解析由題意知與直線x+2y=0垂直的切線的斜率是2,所以尸(x)=2在(0,十8)上有解.

?"'(彳)=：一。=2在(0,+8)上有解，則〃=：—2.

因為彳>0,所以[-2>—2,所以a的取值范圍是(-2,+8).答案c.

x-2

4.已知〃：A=\x\--<0^^：3={不以一。<0},若P是q的必要不充分條件，則實數(shù)。的取值范圍是()

1-xJ

A.(2,+00)B.[2,4-00)C.(-00,1)D.(YO』]

答案是D

5.己知函數(shù)/㈤=3cos(a)x+>)+1(3>0,即|V3其圖象與直線N相鄰兩個交點的距離為手若綱>1

對任意大€(-羽恒成立，則(P的取值范圍為()

解：???函數(shù)/(X)=3COS(3X+?)+1(3>0,|S|<￡),其圖象與直線片4相鄰兩個交點的距離為

23

***3=3.若對任意XW(―恒成立，則XE(―時，cos(3x+3)>0恒成立,

由cos(3x+<p)>0得2A/r——<3x+(p<2kn+—,kEZ,即—<x<—￡kEZf

N/363363

7T>JT(p

所以(一.5G(一合，合乎所以一號一求得-三>工0,滿足1初〈》故選：C.

XZaOOOO?3*r4

6-6-7

【詳解】由題意，函數(shù)/(力=之等的定義域為(—,0)(0,+8),關(guān)于原點對稱,

X

且〃一力=21=2。=一亡等二二一/(力所以函數(shù)"可是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點中心對稱，排除C；

(-x)x

又由當X￡(0,4)時，/(x)>0排除A,D.故選：B.

22

口FC\---=1(<7>Z?,Z?>0)r

7、勺，4是雙曲線a-b-的左、右焦點，過左焦點’的直線，與雙曲線C的左、右兩支

分別交于A,8兩點，若|Aq=忸司=|4周，則雙曲線的離心率為(D)

A.2B.75C.V6D.J7

,、2

8.已知函數(shù)/(力=2020/+]+sinx,貝fl

/(lnl)±“In2)+/(ln3)+…+〃ln2020)+/(ln撲小撲…+小圭)=()

A.4038B.4039C.4040D.4041

272

【詳解】=--------+sinx,則/(x)+/(-x)=------------+sinx+------------+sin(-x)

')2020,+1八…')2020*2020-+11)

=____2____?_2__x_2__0_2_0='2八

2020,+12020v+l

、/仇；卜…+/(ln

(1

/(lnl)+/(ln2)+/(ln3)+-4-/(ln2020)+/In-+2020；

\2)

=14/(ln2)+/fln^l+r/(ln3)+/fln^l+...+r/(ln2020)+Xln^

=2019x2+1=4039故選：B

9在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，

每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，A、B、C、。四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒有發(fā)生大

規(guī)模群體感染標志的是（AC）

A.4地：中位數(shù)為2,極差為5B.8地：總體平均數(shù)為2,眾數(shù)為2

C.C地：總體平均數(shù)為2,總體方差為3D.D地：總體平均數(shù)為1,總體方差大于0.

10.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，下列說法正確的是（）

A.若工=1+1,則｛4｝的通項公式q=2〃—1

B.若用=3"-1,則｛勺｝是等比數(shù)列

C.若｛《｝是等差數(shù)列，則良=9里

D.若｛〃〃｝是等比數(shù)列，且q>0,9>0,則耳心3>5；

答案：BC

11.已知函數(shù)/（x）=夕-公2為常數(shù)），則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.若〃力僅有1個零點，則a的范圍為（0,二）

B.時，x=1是/（x）的極小值點

【解析】對A:若“力="-公2僅有1個零點，即y=a與g（x）=J■僅有1個交點，由g（x）=w，得

,⑺J則g（x）在（_8,o）上單調(diào)遞增，在這個區(qū)間內(nèi)的值域為（0,+8）,

XX

-2、X

g（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在（2,+00）上單調(diào)遞增，在此區(qū)間內(nèi)的值域為y,+OO，故y=a與g（x）=W僅

_4Jx

2

有1個交點，則0<〃<J,故A正確

........\BN\|5dI

設(shè)|A廠|=射，則忸個==="解得忸c|=,,|NC|=g,.?.tanZCBN=g,

4

又ZCBN=ZCFO=^AFx,故直線AB的斜率為

4

故答案為：-

15（改編）算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形為長方形，周為木框，內(nèi)貫直柱,俗稱"檔"，

檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，運算時定位后撥珠計

算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如圖，若撥珠的三檔從左至右依次定位：百

位檔、十位檔、個位檔，則表示數(shù)字518.若在百、十、個位檔中隨機選擇一檔撥一顆上珠，再隨機選擇兩個檔位

各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字為奇數(shù)的概率為.5

9

16.已知函數(shù)=若x=2是函數(shù)/（x）的唯一一個極值點，則實數(shù)k的取值范圍為

【答案】（-co,e]

［詳解］由題可得exx2-2xex/21A

因為彳=2是函數(shù)””的唯一一個極值點，所以x=2是導函數(shù)廣（x）的唯一根，所以攵=0在（0,+8）上無

X

變號零點.設(shè)g（x）=交,則g，當不?點1）時,gz（x）＜0,g（x）在（0,1）上單調(diào)遞減

XX

當X￡（l,+oo）時，g＜x）＞0,g（x）在（1,物）上單調(diào)遞增所以g（x）dn=g（l）=e，

結(jié)合g（x）=《與y=R的圖像可知，若％=2是函數(shù)/（力的唯一極值點，則左Ve

X

故實數(shù)k的取值范圍為（—*].

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.如果數(shù)列｛q｝滿足%=:，且“"7一“〃:4一"向（〃之2）.

254_]4+1

12"

（1）求證：數(shù)列〈一｝是等差數(shù)列（2）令勿=一,求數(shù)列｛包｝的前幾項和7；

aaaa21]

(1)由題易知為*0.當〃N2時，由已知得1一一-=—-1,.\2=-^-4-^,—=—+—,

%%+i%4+i凡4+1

???當7t￡N?時，數(shù)列是等差數(shù)列.

(2)設(shè)，」-?的公差為d.又?.?〃=,:.—=2,—=5,d=----=3,

aa

an]25%gi\

112”

,—二3〃-1,=----.可得a=—=(3n-1)-2n.

a

n3n-lan

???數(shù)列也｝的前〃項和7；=2X2+5X22+8X23+L+(3n-l)-2\①

27；,=2X22+5X23+8X24++(3〃-1>2叫②

②一①可得7；=-4-302+23+2"+L+2")+(3〃-1)-2川

=-4—3><2)+(31).2〃+i=8+(3n-4)-2,,+I.

18.在A4BC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,F

b-csinA+sinC

(I)求角A的大??；

(II)若AABC為銳角三角形,且Q=4,求△ABC周長的取值范圍.

解：(I)因為F=由正弦定理可得F==，即為爐+。2-小=兒

b-cainA^sinCb-ca+c

由余弦定理可得。。54=筆也=；，因為A6(0，〃)，所以4=*

(II)在A8C中由正弦定理得彘=島=短，又a=4,

所以b=—sinB,c=—sinC=—sin(空—B),

333\3J

所以b+c=苧sinB+苧sin(專一B)=sinB+日cos3)=8sin(B+'),

0<5<^1r

2

因為△ABC為銳角三角形，所以2n/且

32

所以,V8V]且B手三,所以；<B+^<等且8+^p所以/<sin(8+%)V1,

所以b+ce(4V3,8),所以△ABC周長a+b+c的取值范圍是(4+46,12).

19(12分)如圖，在四棱錐P—A3C。中，PC1底面ABCD，AB=AD=\,AB〃CD,AB工AD，點E為PC

的中點.平面A8E交側(cè)棱PD于點尸，四邊形48E/為平行四邊形.

(1)求證：平面PBO_L平面P8C；

1

(2)若與平面尸A8所成角的正弦值為求二面角A-P5-C的余弦值.

解；(1)證明；四邊形AB￡尸為平行四邊形，"J

:.AB呼,又AB//CD..EF//CD,又點E為Z/PC的中點

:.C￡)2=E呼...............1分////\*

二在直角梯形ABCD中，AB=AD=I,CD=2可得、\c

連接BD,易得BD=BC=&BD2+BC2=DC2/----------，

y

dBD上BC又PC,底面ABCD,BDu平面ABCD

BD1平面PBCBDU平面PBD,.二平面PBD1平面PBC

(2)由(1)知CD=2,.?.在直角梯形中可得NDCB=45°又PC1底面ABCD

.?.以C為原點，CD為x軸,CP為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示則A(2J0),B(lJ0),O(2Q0)設(shè)

尸(0,0,力(力>0)

BA=(1,0,0),BP=(-1,-1,h),DP=(-2,0,〃),BD=(1,TO)

BD1平面PBC.?.平面PBC的法向量可取3o=(]70)

設(shè)平面ABP法向量為〃=(x,yz)由3.%二。，得卜二。

'aBP=O,[-x-y^hz=O

可取Cl=(0,h,1)|cos<~DP,d>|==:解得h=V2

.0.T=(0,V2,1)COS<->,—>=~r^~7=—由題意可知為鈍二面角

av/aBDV2-V33

故所求二面角的余弦值為一苧

20、已知橢圓。：「+4=1(。>人>0)的左右焦點分別為耳，鳥，且橢圓C過點Mx^,-y，離心率e=3,

\/

點P在橢圓。上，延長尸耳與橢圓C交于點Q,點R是叫的中點.

(1)求橢圓。的方程.

(2)若點0是坐標原點，記。耳。與尸耳&的面積之和為S,試求S的最大值.

33i

-7-*---r=1

/4/22

【詳解】（1）由《a2=b2+c2得：a=2,b=5。=1，，橢圓C的方程為二十匕

43

c1t

e----

a2

（2）連接OR,PO,O,R分別為耳思，尸用的中點，.、OR〃珍,

??PF】R與尸大。同底等高，「S■■陽=S%。,

..S=S7QFQ+SvPF\E=S'PQQ.

①當直線PQ的斜率不存在時?，其方程為X=-1,此時

s-Lxlx2-3

◎PQO-3

22

②當直線P。的斜率存在時，設(shè)其方程為：y=Z（x+l）,

設(shè)P（N，y）,。（和%），顯然直線PQ不與x軸重合，即2生0；

(y=&(x+i)

2

聯(lián)立x2),2得：(3+4-)電+8心+4/-12=0,A=144(^+l)>0,

T+T=

8Z422—12

則笠+再二一-----r，X.Xj=------

3+4公123+44

12(1+巧

|P0|=Jl+公|%一司='1+左2+1)―4%］工2=

3+4公

」k

又點。到直線PQ的距離d=-F=^=

,/2(公+1)

5=—|PQ\?(7=6J-------y,令a=3+4A2G(3,+QO),

2(3+4左2y

(〃3)(a+l)_3與二十1，

則5=6.

26ra

、I39

6;G(3,4-00),

a

z

r3-

sG2

0,2-

上

綜xL-,則s的最大值為5.

21.(12分)已知函數(shù)/(*)=(工+.)限，g(x)\f+x(〃<0且a為常數(shù)).

(1)當。=0時，求函數(shù)/(工)的最小值；

(2)若存在xe(l,2］使得/(力之8(切一21-2成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)f(x)的定義域為(0,30),當a=0時，f(x)的導數(shù)/(x)=l+hu:

令/(/)>0,解得令廣(%)<0,解得0<x<g.從而/(力在(0《)單調(diào)遞減，在Q,+oo)單調(diào)遞增.所以，

當x=J■時，*刈取得最小值-L

ee

(2)令尸(x)=/(x)-g(x)+2fl+2=(x+a)lav-^x2-x+2a+2\\<x<2),

那么,存在工￡(1,2］使得f(x)Zg(x),只須產(chǎn)(力皿NO即可,

Fr(x)=lnx+--ar,且尸'(1)=0,

i己G(x)=尸'(彳)=］11丫+@—0￥,(1vxW2),G'(x)=，一二一a，

XXX

由已知。40,所以對于任意xw(l,2］,都有G(X)」一與一〃>o恒成立，

XX

所以G(x)=F(x)=Inx+g-ar,(lvxW2)為增函數(shù)，

又因為G⑴=/(卜(，所以G(*=尺>>0在。,2］上恒成立，所以尸(x)在(1,2］上單調(diào)遞增，故

%(彳)=產(chǎn)(2)=(2+a)ln2-2a-2+2a+2=(2+a)ln2,

由(2+a)ln220,解得-2?a?0,

所以，當-2?aM0時,存在xe(l,2］使得/(力之g(jv)—加一2成立.

22.隨著5G商用進程的不斷加快，手機廠商之間圍繞5G用戶的爭奪越來越激烈，5G手機也頻頻降價飛入尋常百

姓家.某科技公司為了打開市場，計劃先在公司進行“抽獎免費送5G手機”優(yōu)惠活動方案的內(nèi)部測試，測試成功

后將在全市進行推廣.

(1)公司內(nèi)部測試的活動方案設(shè)置了第i(ieM)次抽獎中獎的名額為3i+2,抽中的用戶退出活動，同時補充

新的用戶，補充新用戶的名額比上一次中獎用戶的名額少2個.若某次抽獎，剩余全部用戶均中獎，則活動結(jié)束.參

加本次內(nèi)部測試第一次抽獎的有15人，甲、乙均在其中.

①請求甲在第一次中獎和乙在第二次中獎的概率分別是多少？

②請求甲參加抽獎活動次數(shù)的分布列和期望？

(2)由于該活動方案在公司內(nèi)部的測試非常順利,現(xiàn)將在全市進行推廣.報名參加第一次抽獎活動的有20萬用戶,

該公司設(shè)置了第次抽獎中獎的概率為#二每次中獎的用戶退出活動，同時補充相同人數(shù)的新

用戶，抽獎活動共進行2〃(〃￡乂)次.已知用戶丙參加了第一次抽獎，并在這2〃次抽獎活動中中獎了，在此條

9

件下，求證：用戶丙參加抽獎活動次數(shù)的均值小于；.

22.【詳解】(1)①甲在第一次中獎的概率為P|

乙在第二次中獎的概率為〃

2=—X———.X123

②設(shè)甲參加抽獎活動的次數(shù)為X,則X=1,2,3,J_1610

P

33939

P(X=l)4=g；P-2)—_10*_8—_16

"1513"