9.5三定問(wèn)題及最值（精練）1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解【解析】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)椋瑒t直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

3．（2006·湖南·高考真題）已知，拋物線，且的公共弦過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．(1)當(dāng)軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線上；(2)是否存在m、p的值，使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，焦點(diǎn)不在直線上；(2)存在，或，且.【解析】（1）由題意得橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)軸時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱，由拋物線方程得，要使，需，此時(shí)直線的方程為，代入，得，所以，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，得，此時(shí)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該焦點(diǎn)不在直線上；（2）假設(shè)存在m、p的值，使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上，由（1）知直線的斜率存在，所以可設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，由，得，所以，因?yàn)榈慕裹c(diǎn)恰在直線上，所以，所以，所以，所以，因?yàn)檫^(guò)，的焦點(diǎn)，所以，所以，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以，所以，所以代入得，所以滿足條件的m、p存在，此時(shí)或，且.4．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與軸的交點(diǎn)分別為，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，是的中點(diǎn)，，，解得：，，，橢圓的方程為：.（2）由（1）得：，，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，，，，，即，，又，，，即，整理可得：；①若直線的斜率存在，設(shè)直線，由得：，其中，，，代入式得：，整理可得：，或，當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)點(diǎn)，如圖所示，

此時(shí)點(diǎn)與在軸的同一側(cè)，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，直線，恒過(guò)點(diǎn)，符合題意，如圖所示，

②若直線的斜率不存在，則，由得：，解得：或，此時(shí)直線的方程為或，又直線與橢圓不相交，故舍去，滿足條件，，恒過(guò)點(diǎn).綜上所述：直線恒過(guò)定點(diǎn).5．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，圓：，圓M與圓外切，且與圓內(nèi)切．(1)求圓心M的軌跡C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)1【解析】（1）由題意設(shè)圓M的半徑為r，則，，所以，故圓心M的軌跡是以，為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以，，則，所以C的方程為．

（2）設(shè)，，，直線AB的方程為．將代入，整理得，，即，則，，所以，故．又原點(diǎn)O到直線AB的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即（*）時(shí)，等號(hào)成立．由，得，代入，整理得，即（**）．而，由（*）可知，代入（**）式得．故的值為1.

6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點(diǎn)，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由題意知，，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，即，解得，，，因此，橢圓的方程為．（2）解：如下圖所示：不妨設(shè)、，由圖可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，則，則，聯(lián)立可得，，可得，即，解得，由韋達(dá)定理可得，解得，所以，，易知、，由于在直線上，設(shè)，又由于在直線上，則，所以，，.7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的離心率，短軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)Q，如果，，那么是否為定值？若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）由題意得，解得，，故橢圓C的方程為；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，，,則，，，，此時(shí)，，；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為，聯(lián)立可得，設(shè)，，聯(lián)立可得，則，，因?yàn)?，，所以，，所以?/p>

8．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的焦距為4，左右頂點(diǎn)分別為，，橢圓上異于，的任意一點(diǎn)P，都滿足直線，的斜率之積為．(1)若橢圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線MN的垂線并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)Q．那么，是否存在實(shí)數(shù)k，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【解析】（1）由題意得：，，，，①∵點(diǎn)P在C上，∴代入①式，∴，∴,∵，∴，，橢圓C方程，設(shè)，，，

設(shè)：聯(lián)立得，，，.∴，中點(diǎn)在l上，，∴.（2）設(shè)聯(lián)立得，，，，聯(lián)立得，則，∴，∵為定值，設(shè)為，∴，∴，，∴存在，使得為定值.

9（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，最小值為【解析】（1）解：不妨設(shè)的坐標(biāo)為，則，則，又、，則.故可得，可得，故可得橢圓的方程為.（2）解：因?yàn)椋?、均為非零向量，則.當(dāng)點(diǎn)、均為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，則；若直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，同理可得，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，的面積存在最小值，且最小值為.10．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；(2)已知P，Q是橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，．過(guò)點(diǎn)B作直線PQ的垂線，垂足為H．問(wèn)：在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在定點(diǎn)使為定值，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由題意，可得，則橢圓方程為；（2）若直線斜率為，則直線斜率為，而，所以，，聯(lián)立與橢圓，則，整理得，所以，則，故，聯(lián)立與橢圓，則，整理得，所以，則，故，綜上，，，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，所以，即直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，若，則且，且，故直線過(guò)定點(diǎn)；若，則且，且，故直線過(guò)定點(diǎn)；綜上，直線過(guò)定點(diǎn)，又于，易知軌跡是以為直徑的圓上，故的中點(diǎn)到的距離為定值，所以，所求定點(diǎn)T為.

11．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的直線交于，交于點(diǎn)，且滿足？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)【解析】（1）∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨取，則；因?yàn)橹校?，所以的?nèi)心在軸，設(shè)直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；（2）∵橢圓和弦均關(guān)于軸上下對(duì)稱．若存在定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上∴設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，則①∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，均在直線上，，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點(diǎn)滿足題意

11．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，，圓，是圓內(nèi)或圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)的軌跡為曲線，若直線與曲線相切，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，依題意圓的半徑，又兩圓相內(nèi)切，所以圓心距，所以，根據(jù)橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，消去并整理得，因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，整理得，因?yàn)榕c直線垂直，所以的方程為，由，解得，即，所以，所以，

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，則直線的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則垂線方程為，此時(shí)或，則，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，則垂線方程為，此時(shí)或，則，

綜上可得為定值.12．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎狿為圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段PN的垂直平分線交線段PC于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓上，且M在第一象限，過(guò)點(diǎn)M作圓的切線交Q點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)的周長(zhǎng)為定值【解析】（1）由題意得：圓，則圓心，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則為線段的垂直平分線，則，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即，，則，所以點(diǎn)軌跡方程為：；

（2）設(shè)，由題意可得，則，故，故，同理可得，因?yàn)?，所以，同理可得，所以，即的周長(zhǎng)為定值.

13．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M，N在C上，且.證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)橢圓的方程為：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得：，解得：，橢圓的方程為：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，整理可得：①，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立得：，由得：，則，，，，代入①式化簡(jiǎn)可得：，即，或，則直線方程為或，直線過(guò)定點(diǎn)或，又和點(diǎn)重合，故舍去，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)，即，又，解得或（舍去），此時(shí)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).

14．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓與直線相交于兩點(diǎn)，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（其中表示兩點(diǎn)連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，，則，所以，依題意可知，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）易得，設(shè)直線，代入，得，則，設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以的內(nèi)切圓面積.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.

15．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓上的點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值，0【解析】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，設(shè)滿足，則，又，則，所以橢圓的方程.（2）直線，代入橢圓，可得，由于直線交橢圓于兩點(diǎn)，所以，整理得.設(shè)，由于點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，于是有，，又，于是有故直線的斜率與直線的斜率之和為0.

16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別做的切線，兩切線交于點(diǎn).在以下兩個(gè)條件①②中選擇一個(gè)條件，證明另外一個(gè)條件成立.①直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；②點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)()(2)答案見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)?，所以曲線是以、為焦點(diǎn)，以為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支,所以，即，又因?yàn)?，所以，得，所以曲線的方程為().（2）若選擇①證明②成立.依題意，在雙曲線右支上，此時(shí)直線的斜率必不為，設(shè)直線方程為，，不妨設(shè)在第一象限，在第四象限.因?yàn)椋?，且，求?dǎo)得，所以過(guò)點(diǎn)的直線方程為，化簡(jiǎn)為①，同理②，聯(lián)立方程①②得,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)?、點(diǎn)在直線上，所以，所以，所以的橫坐標(biāo).即點(diǎn)在定直線上.若選擇②證明①成立.不妨設(shè)在第一象限，在第四象限.設(shè)，因?yàn)椋?，且，求?dǎo)得，所以過(guò)點(diǎn)的直線方程為，化簡(jiǎn)為①，同理②聯(lián)立方程①②得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由題意，，即③.因?yàn)?，所以過(guò)直線的方程為，化簡(jiǎn)，整理得由③式可得,易知，即直線過(guò)定點(diǎn).17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積是定值；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）將代入雙曲線中，，解得，故雙曲線方程為，下面證明上一點(diǎn)的切線方程為，理由如下：當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因?yàn)?，，所以，?lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)為，切線方程為，滿足，綜上：上一點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，故為過(guò)點(diǎn)的切線方程，雙曲線的兩條漸近線方程為，聯(lián)立與，解得,聯(lián)立與，解得,直線方程為，即，故點(diǎn)到直線的距離為，且，故的面積為，為定值；（2）若直線斜率不存在，此時(shí)直線與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，不滿足條件，故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與聯(lián)立得，由，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故，解?設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由得，，變形得到，將代入，解得，將代入中，解得，則，故點(diǎn)恒在一條定直線上.18（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考二模）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線、分別是雙曲線的漸近線，過(guò)分別作和的平行線和，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）解：由題意得，，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，同理可得，，由可得，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：由（1）得、、，若直線與軸重合，則、為雙曲線的頂點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)、，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，解得，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，可得，所以，，因?yàn)?，解得，因此，點(diǎn)在定直線上.19．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知和是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，直線PO與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定直線為【解析】（1）設(shè)，，所以，即，由題意知，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓的方程，得，所以，則，由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，設(shè)，由P，S，三點(diǎn)共線，得，由P，N，三點(diǎn)共線，得，則．所以直線OP的斜率為，則直線OP的方程為，聯(lián)立直線OP與直線的方程，可得，解得，所以點(diǎn)在一條定直線上，該定直線的方程為．20．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且.(1)求C的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)為雙曲線C右支上異于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線與雙曲線左支交于點(diǎn)S.雙曲線的右頂點(diǎn)為，直線，分別與圓O：相交，交點(diǎn)分別為異于點(diǎn)D的點(diǎn)M，N，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)，如果不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)2(2)過(guò)定點(diǎn)【解析】（1）如圖所示，

延長(zhǎng)IP到A且，延長(zhǎng)到B且，由，得，∴I是的重心，，同理，，即，又，，，，又I是的內(nèi)心，則，由，得，又，則，即；（2）弦MN過(guò)定點(diǎn),

由已知右頂點(diǎn)，結(jié)合（1）得，，，所以雙曲線方程為.則，，設(shè)點(diǎn)，直線ST的方程為：，聯(lián)立，得，則，，，，則，即，也就是，∴MN為圓O的直徑，故弦MN恒過(guò)圓心.21．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)椋獾茫海?）因?yàn)?，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)?，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．22．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【解析】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.23．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).24（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，離心率為.（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．25．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.26．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾