18/23準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包第一部分整閉包的定義 2第二部分整閉環(huán)的性質(zhì) 3第三部分準(zhǔn)可交換環(huán)的定義 6第四部分準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包 10第五部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的性質(zhì) 12第六部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的構(gòu)造 14第七部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的例子 16第八部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的應(yīng)用 18

第一部分整閉包的定義整閉包的定義

定義1：

定義2：

設(shè)R是一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)。R的整閉包R^#是包含R的最小的整環(huán)。

引言：

整閉包的概念在環(huán)論中至關(guān)重要。它提供了一種方法，通過(guò)添加元素來(lái)使準(zhǔn)可交換環(huán)更接近于整環(huán)。

性質(zhì)：

1.R^#是R的一個(gè)子環(huán)。

2.R^#中的每個(gè)元素都是一個(gè)代數(shù)整數(shù)，即它是一個(gè)多項(xiàng)式的根。

3.R中的每個(gè)整元都在R^#中。

4.R^#中的每個(gè)單位都是R中的單位。

5.R^#是一個(gè)局部環(huán)，即對(duì)于R^#中的任何非零元素a，要么a是可逆的，要么1-a是可逆的。

6.R^#與R同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)R是一個(gè)整環(huán)。

7.R^#的Jacobson根與R的Jacobson根一致。

構(gòu)造：

R^#可以通過(guò)以下方式構(gòu)造：

1.分式環(huán)構(gòu)造：R的分式環(huán)Q(R)是一個(gè)整環(huán)。R^#是Q(R)中所有分母在R中的元素的集合。

應(yīng)用：

整閉包在以下領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用：

1.代數(shù)整數(shù)論：整閉包用于研究數(shù)論中的代數(shù)整數(shù)。

2.環(huán)論：整閉包用于刻畫(huà)環(huán)的性質(zhì)和研究環(huán)的結(jié)構(gòu)。

3.代數(shù)幾何：整閉包用于研究代數(shù)簇的局部性質(zhì)。

4.表示論：整閉包用于構(gòu)造群的表示。

示例：

1.正整數(shù)環(huán)Z的整閉包是Z本身。

2.多項(xiàng)式環(huán)K[x]的整閉包是K(x)中所有分母為多項(xiàng)式的有理函數(shù)的集合。

3.四元數(shù)環(huán)H的整閉包是所有復(fù)雙曲四元數(shù)的集合。第二部分整閉環(huán)的性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)整閉環(huán)的性質(zhì)

1.整閉的定義：一個(gè)整環(huán)R稱為整閉環(huán)，如果對(duì)于R中的任何非零元素a和理想I，如果a|bc并且b∈I，那么a|c。

2.整閉環(huán)的等價(jià)條件：R是整閉環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的分?jǐn)?shù)域是代數(shù)閉域。

3.整閉環(huán)的性質(zhì)：整閉環(huán)具有以下性質(zhì)：

-R[x]是整閉環(huán)。

-R的整閉包是R。

-R的局部化S-1R在S非零時(shí)是整閉環(huán)。

整閉環(huán)的例子

1.整數(shù)環(huán)：整數(shù)環(huán)Z是整閉環(huán)。

2.多項(xiàng)式環(huán)：系數(shù)域?yàn)榇鷶?shù)閉域的多項(xiàng)式環(huán)K[x]是整閉環(huán)。

3.形式冪級(jí)數(shù)環(huán)：系數(shù)域?yàn)榇鷶?shù)閉域的形式冪級(jí)數(shù)環(huán)K[[x]]是整閉環(huán)。

4.代數(shù)整數(shù)環(huán)：代數(shù)數(shù)域的整數(shù)環(huán)是整閉環(huán)。

整閉環(huán)在代數(shù)幾何中的應(yīng)用

1.整閉包與規(guī)范化：代數(shù)簇的整閉包與該簇的規(guī)范化有關(guān)。

2.代數(shù)曲線上的有理點(diǎn)：代數(shù)曲線C上的有理點(diǎn)可以表示為C的整閉包中的閉點(diǎn)。

3.代數(shù)曲面的極大子集：代數(shù)曲面上極大齊次子集的同質(zhì)坐標(biāo)形成一個(gè)整閉環(huán)。

整閉環(huán)在數(shù)論中的應(yīng)用

1.素?cái)?shù)判定：一個(gè)正整數(shù)是素?cái)?shù)當(dāng)且僅當(dāng)其生成的理想在整數(shù)環(huán)中的整閉包是素理想。

2.代數(shù)數(shù)論：整閉環(huán)在研究代數(shù)數(shù)和其他代數(shù)數(shù)論對(duì)象中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。

3.類域論：整閉環(huán)在類域論中用于構(gòu)造阿貝爾擴(kuò)張。

整閉環(huán)在表示論中的應(yīng)用

1.表示論的幾何解釋：有限群的表示論可以通過(guò)整閉環(huán)的研究得到幾何解釋。

2.群環(huán)的整閉包：群環(huán)R[G]的整閉包是一個(gè)與G相關(guān)的整閉環(huán)。

3.群作用的幾何：群作用的幾何性質(zhì)可以通過(guò)整閉環(huán)的研究得到描述。

整閉環(huán)的進(jìn)一步研究

1.代數(shù)閉包：代數(shù)閉環(huán)的整閉包是對(duì)代數(shù)閉域的研究的推廣。

2.整閉環(huán)的分類：研究不同類型的整閉環(huán)及其性質(zhì)。

3.非交換整閉環(huán)：探索非交換環(huán)中整閉環(huán)的性質(zhì)和應(yīng)用。準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包之整閉環(huán)的性質(zhì)

定義

整閉環(huán)是指一個(gè)所有素理想都是極大理想的環(huán)。換句話說(shuō)，在整閉環(huán)中，任何理想要么是單位理想，要么包含一個(gè)素理想。

性質(zhì)

整閉環(huán)具有以下重要性質(zhì)：

1.整元環(huán)

整閉環(huán)一定是整元環(huán)，即不包含非零因子零因子。換句話說(shuō)，整閉環(huán)中任何非零元素都不能表示為兩個(gè)非單位元素的乘積。

2.主理想環(huán)

整閉環(huán)一定是主理想環(huán)，即環(huán)中每個(gè)理想都可以表示為某個(gè)元素的倍數(shù)構(gòu)成的集合。

3.唯一分解域

整閉環(huán)中每個(gè)非零非單位元素都可以唯一分解為素元素的乘積，且分解結(jié)果中素元素的順序和冪次都唯一。

4.諾特環(huán)

整閉環(huán)一定是諾特環(huán)，即滿足升鏈條件的環(huán)。換句話說(shuō)，環(huán)中任何理想的升鏈最終都會(huì)穩(wěn)定。

5.無(wú)冪零元素

整閉環(huán)中不含非零冪零元素，即沒(méi)有非零元素的某個(gè)冪為零。

6.一維環(huán)

由域擴(kuò)充得到的整閉環(huán)是一維環(huán)，即環(huán)的所有非零理想都同構(gòu)于域或域的有限次擴(kuò)域。

7.正則環(huán)

局部整閉環(huán)一定是正則環(huán)，即環(huán)中每個(gè)極大理想的余環(huán)都是域。

8.科恩-麥考利環(huán)

整閉環(huán)是科恩-麥考利環(huán)，即環(huán)中每個(gè)素理想的局部化都是正則環(huán)。

9.嵌入整閉包

每個(gè)環(huán)都可以嵌入到某個(gè)整閉環(huán)中，稱為該環(huán)的整閉包。

10.判定準(zhǔn)則

以下幾個(gè)條件等價(jià)于一個(gè)環(huán)是整閉環(huán)：

*該環(huán)是諾特環(huán)，且每個(gè)素理想都是極大理想。

*該環(huán)是主理想環(huán)，且所有極大理想都為素理想。

*該環(huán)滿足唯一分解性質(zhì)。

11.整閉包的性質(zhì)

*環(huán)的整閉包是唯一的，至同構(gòu)。

*環(huán)的整閉包是包含該環(huán)的最小整閉環(huán)。

*環(huán)的整閉包是該環(huán)的正則擴(kuò)展。

*環(huán)的整閉包的素譜與該環(huán)的素譜存在自然一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

12.應(yīng)用

整閉環(huán)在代數(shù)幾何和數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用，例如：

*Zariski拓?fù)涞亩x和研究。

*代數(shù)曲線的分類和性質(zhì)。

*數(shù)論中的整性問(wèn)題。第三部分準(zhǔn)可交換環(huán)的定義關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)準(zhǔn)可交換環(huán)

1.準(zhǔn)可交換環(huán)是一個(gè)可交換的環(huán)，其中任何兩個(gè)元素的任意次冪都可交換。

2.換句話說(shuō)，對(duì)于環(huán)中的任何元素a和b，滿足a^nb^m=b^ma^n，其中n和m是任意正整數(shù)。

3.準(zhǔn)可交換環(huán)的一個(gè)重要特征是，它們的元素可以按其可換性進(jìn)行分類。

整閉包

1.整閉包是準(zhǔn)可交換環(huán)的擴(kuò)展，其中每個(gè)元素都是整元素。

2.整元素是一個(gè)元素，它可以表示為其他兩個(gè)元素的乘積，其中這兩個(gè)元素都是整元素。

3.整閉包的目的是確定環(huán)中所有整元素的集合，這可以用于解決各種代數(shù)問(wèn)題。

局部化

1.局部化是準(zhǔn)可交換環(huán)的一種技術(shù)，允許使用局部化的概念來(lái)研究環(huán)的性質(zhì)。

2.局部化涉及將環(huán)擴(kuò)展到其分式域，從而創(chuàng)建更大的環(huán)，其中某些元素可以表示為分式。

3.局部化有助于理解環(huán)的結(jié)構(gòu)和研究其各種子結(jié)構(gòu)，如理想和子環(huán)。

擴(kuò)張

1.擴(kuò)張是將一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)擴(kuò)展到一個(gè)更大的準(zhǔn)可交換環(huán)的過(guò)程。

2.擴(kuò)張可以通過(guò)添加元素或添加運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而創(chuàng)建具有不同性質(zhì)的新環(huán)。

3.擴(kuò)張的概念對(duì)于研究環(huán)族和確定不同環(huán)之間的關(guān)系至關(guān)重要。

同調(diào)代數(shù)

1.同調(diào)代數(shù)是一種研究環(huán)和模的研究領(lǐng)域，利用代數(shù)拓?fù)渲械耐{(diào)論概念。

2.同調(diào)群可以用來(lái)研究環(huán)的同倫群，并提供有價(jià)值的結(jié)構(gòu)信息。

3.同調(diào)代數(shù)在現(xiàn)代代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，包括交換環(huán)、群環(huán)和表示論。

代數(shù)幾何

1.代數(shù)幾何是將代數(shù)與幾何相結(jié)合的一個(gè)領(lǐng)域，其中使用環(huán)和代數(shù)簇來(lái)研究幾何對(duì)象。

2.準(zhǔn)可交換環(huán)在代數(shù)幾何中起著至關(guān)重要的作用，因?yàn)樗鼈兪谴鷶?shù)簇的坐標(biāo)環(huán)。

3.理解準(zhǔn)可交換環(huán)的性質(zhì)和行為對(duì)于解決代數(shù)幾何中的各種問(wèn)題至關(guān)重要。準(zhǔn)可交換環(huán)的定義

引言

在抽象代數(shù)中，準(zhǔn)可交換環(huán)是一種非交換環(huán)，但具有類似交換環(huán)的某些重要性質(zhì)。準(zhǔn)可交換環(huán)在代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，在理解環(huán)論的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)方面也發(fā)揮著關(guān)鍵作用。

定義

設(shè)R為一個(gè)環(huán)。則稱R為準(zhǔn)可交換環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：

1.R中所有非零元素的交換子群（即形如xy-yx的元素構(gòu)成的群）都是有限群。

2.R中所有極大理想都是主理想。

3.R中所有相交唯一素理想的交集是零理想。

理解定義

這三個(gè)條件刻畫(huà)了準(zhǔn)可交換環(huán)的關(guān)鍵特征：

*有限交換子群：它指出R中的元素幾乎可以交換，因?yàn)樗鼈兊慕粨Q子群是有限的，因此它們交換的次數(shù)有限。

*主極大理想：它表明R中的極大理想是由單個(gè)元素生成的，類似于交換環(huán)中的素理想。

*唯一素理想交集為零：它表明任何兩個(gè)在R中相交的素理想要么相等，要么它們的交集為零。

性質(zhì)

準(zhǔn)可交換環(huán)具有以下性質(zhì)：

*它們是諾特環(huán)，這意味著它們的理想鏈具有上升條件。

*它們是雅各布森環(huán)，這意味著它們的素理想滿足鏈條件。

*它們的局部化在每個(gè)素理想處都是準(zhǔn)可交換的。

*它們的商環(huán)關(guān)于極大理想也是準(zhǔn)可交換的。

特征

準(zhǔn)可交換環(huán)不一定是交換環(huán)，但它們具有以下特征：

*它們沒(méi)有非零冪零元素。

*它們的nil理想是零理想。

*它們的中心是一個(gè)域或除環(huán)。

例子

*整數(shù)環(huán)Z是準(zhǔn)可交換的。

*多項(xiàng)式環(huán)R[x]，其中R是一個(gè)域，是準(zhǔn)可交換的。

*矩陣環(huán)M2(Z)是準(zhǔn)可交換的。

*分式環(huán)域K(x)是準(zhǔn)可交換的。

應(yīng)用程序

準(zhǔn)可交換環(huán)在數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，包括：

*代數(shù)數(shù)論：它們用于研究數(shù)體和整環(huán)。

*代數(shù)幾何：它們用于研究局部環(huán)和仿射簇的幾何性質(zhì)。

*環(huán)論：它們用于研究環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，以及分類環(huán)的類型。

*代數(shù)拓?fù)洌核鼈冇糜谘芯咳涵h(huán)和穩(wěn)定同倫群。

總之，準(zhǔn)可交換環(huán)是抽象代數(shù)中一類重要的非交換環(huán)，具有類似交換環(huán)的某些關(guān)鍵性質(zhì)。它們?cè)跀?shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，并為理解環(huán)論的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)提供了寶貴的見(jiàn)解。第四部分準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：準(zhǔn)可交換環(huán)

1.定義：一個(gè)環(huán)R是準(zhǔn)可交換環(huán)，如果R中任意兩個(gè)元素的乘積交換性不成立，但對(duì)于任意a,b∈R，存在n≥0使得(ab-ba)^n=0。

2.性質(zhì)：準(zhǔn)可交換環(huán)不一定是可交換環(huán)，但它比非交換環(huán)具有更好的交換性；并且準(zhǔn)可交換環(huán)的冪零根基是一個(gè)理想，稱為冪零根基。

3.模理論中的應(yīng)用：準(zhǔn)可交換環(huán)在模理論中具有重要應(yīng)用，它可以用來(lái)刻畫(huà)有限生成模的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

主題名稱：整閉包

準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包

定義

設(shè)R是一個(gè)環(huán)。R的整閉包，記為IntR，是R中所有元素的積為整數(shù)的最小環(huán)擴(kuò)張。

性質(zhì)

*整性：IntR是一個(gè)整環(huán)，即每個(gè)非零非單位元都是有限個(gè)不可約元素的積。

*閉合性：R的每個(gè)元素都在IntR中。

*極大性：IntR是包含R的所有整環(huán)擴(kuò)張中最大的。

*單位保留：IntR的單位元與R的單位元相同。

*冪等性：對(duì)于IntR中的任何元素a，a^2=a。

*擴(kuò)張R：IntR總是非平凡地?cái)U(kuò)展R，除非R本身就是一個(gè)整環(huán)。

*同構(gòu)：如果S是R的另一個(gè)整閉包，那么S同構(gòu)于IntR。

構(gòu)造

可以通過(guò)以下步驟構(gòu)造IntR：

1.從R中生成由所有元素的積組成的理想L。

2.將R擴(kuò)張到商環(huán)R/L。

3.IntR是R/L的整數(shù)化，即R/L中所有非零非單位元都是不可約元素的最小環(huán)擴(kuò)張。

例子

*整數(shù)環(huán)Z的整閉包是Z本身。

*多項(xiàng)式環(huán)F[x]（F是域）的整閉包是F[x]本身。

*域K中的冪級(jí)數(shù)環(huán)K[[x]]的整閉包是K[[x]]本身。

整閉域

如果一個(gè)域的整閉包是它本身，則該域稱為整閉域。整閉域是代數(shù)數(shù)論和域論中的重要對(duì)象。

嵌入定理

定理：設(shè)R是一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)，S是它的一個(gè)整環(huán)擴(kuò)張。如果S中的每個(gè)元素都可以表示為R中元素的商，則S嵌入到IntR中。

應(yīng)用

*整閉包可用于構(gòu)造代數(shù)數(shù)論中的整數(shù)環(huán)。

*整閉域是研究域擴(kuò)張和代數(shù)數(shù)的工具。

*整閉包在交換代數(shù)和同調(diào)代數(shù)中也有應(yīng)用。

進(jìn)一步的主題

*諾特環(huán)的整閉包：諾特環(huán)的整閉包具有特殊的性質(zhì)，稱為諾特整環(huán)。

*笛卡爾乘積的整閉包：兩個(gè)環(huán)的笛卡爾乘積的整閉包是這兩個(gè)環(huán)的整閉包的笛卡爾乘積。

*整擴(kuò)張：一個(gè)域擴(kuò)張L/K稱為整擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)L的整閉包等于K的整閉包和L的交集。第五部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的性質(zhì)關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)【整環(huán)的定義】：

1.整環(huán)是一個(gè)沒(méi)有零因子且每個(gè)元素都整除1的交換環(huán)。

2.整環(huán)中不存在非平凡的零因子，即對(duì)于環(huán)中的任意元素a和b，如果ab=0，則a=0或b=0。

3.整環(huán)中每個(gè)元素都整除1，即對(duì)于環(huán)中的任意元素a，存在元素b，使得ab=1。

【整閉包的概念】：

準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的性質(zhì)

準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包是一個(gè)研究準(zhǔn)可交換環(huán)的一個(gè)重要課題。整閉包是指將一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)擴(kuò)展到一個(gè)整環(huán)的過(guò)程，它刻畫(huà)了準(zhǔn)可交換環(huán)的代數(shù)性質(zhì)。準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包擁有許多重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)揭示了準(zhǔn)可交換環(huán)與整環(huán)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并為準(zhǔn)可交換環(huán)的研究提供了新的視角。

基本性質(zhì)

1.存在唯一性：對(duì)于每個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)，存在唯一一個(gè)整閉包，它稱為該準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包。

2.擴(kuò)張性：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包是一個(gè)比原環(huán)更大的環(huán)。

3.同態(tài)映射：準(zhǔn)可交換環(huán)到其整閉包的自然映射是同態(tài)映射。

4.嵌入性：準(zhǔn)可交換環(huán)嵌入到其整閉包中。

代數(shù)性質(zhì)

1.整元：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包中的元素稱為整元。整元滿足如下性質(zhì)：

-積閉合：兩個(gè)整元的乘積仍然是整元。

-商閉合：一個(gè)整元除以一個(gè)非零整元的商仍然是整元。

2.主理想整環(huán)：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包是一個(gè)主理想整環(huán)，即每個(gè)理想都可以表示成一個(gè)單一元素生成的理想。

3.分解定理：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包中的每個(gè)非零元素都可以分解為不可約元素的乘積。

環(huán)論性質(zhì)

1.整除性：在準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包中，整除性具有以下性質(zhì)：

-唯一因式分解：每個(gè)非零元素都可以唯一分解為不可約元素的乘積（至順序不同）。

-最大公約數(shù)：兩個(gè)元素的最大公約數(shù)存在且唯一，并且可以表示為兩個(gè)元素的線性組合。

2.局部化：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的每個(gè)非零元素都可以逆轉(zhuǎn)，從而形成一個(gè)局部環(huán)。

3.有限生成：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包是一個(gè)有限生成的環(huán)，即它可以由有限個(gè)元素生成。

其他性質(zhì)

1.環(huán)同態(tài)：準(zhǔn)可交換環(huán)及其整閉包之間的環(huán)同態(tài)保持整元性。

2.理想的提升：準(zhǔn)可交換環(huán)中的每個(gè)理想都可以提升到其整閉包中。

3.局部化的整閉包：準(zhǔn)可交換環(huán)局部化的整閉包等于局部化的整閉包。

4.完全環(huán)：準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包是一個(gè)完全環(huán)，即每個(gè)非零模都可以表示為有限個(gè)極大理想的交集。

通過(guò)研究準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的性質(zhì)，數(shù)學(xué)家們獲得了準(zhǔn)可交換環(huán)的深入理解，并揭示了準(zhǔn)可交換環(huán)與整環(huán)之間的密切聯(lián)系。這些性質(zhì)在代數(shù)幾何、數(shù)論和表示論等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。第六部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的構(gòu)造關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：可交換性

1.準(zhǔn)可交換環(huán)的交換環(huán)化：通過(guò)擴(kuò)張標(biāo)量場(chǎng)，將準(zhǔn)可交換環(huán)表示為可交換環(huán)的商環(huán)。

2.整閉包的性質(zhì)：可交換環(huán)的整閉包繼承了環(huán)的交換性，即也是可交換環(huán)。

3.極大理想的交換性：準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包中的極大理想總是可交換的。

主題名稱：整性

準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的構(gòu)造

定義：

*準(zhǔn)可交換環(huán)(ACC)：一個(gè)環(huán)R，使得對(duì)于任何a,b∈R，存在元素r∈R，滿足a^2r=b^2。

*整閉包：對(duì)于一個(gè)環(huán)R，其整閉包R'是一個(gè)環(huán)，滿足：

1.R是R'的子環(huán)。

2.R'是一個(gè)整環(huán)。

3.R中任何非零非可逆元素在R'中成為可逆的。

構(gòu)造準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包：

給定一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)R，其整閉包R'的構(gòu)造如下：

1.定義R'的元素：R'的元素由形式為a/b的元素組成，其中a,b∈R，且b是非零非可逆元素。

2.定義R'中的加法和乘法：

-加法：(a/b)+(c/d)=(ad+bc)/bd。

-乘法：(a/b)*(c/d)=(ac)/(bd)。

3.證明R是R'的子環(huán)：

-加法封閉：顯然，R中元素的和仍屬于R。

-乘法封閉：顯然，R中元素的積仍屬于R。

-加法單位：R'中的單位元為1/1，它等于R中的單位元1。

-加法逆：對(duì)于任何a/b∈R'，其加法逆為-a/b。

-乘法結(jié)合律、交換律和分配律：這些運(yùn)算律對(duì)于R和R'都成立。

4.證明R'是一個(gè)整環(huán)：

-交換律：顯然，R'中的元素滿足交換律。

-結(jié)合律：顯然，R'中的元素滿足結(jié)合律。

-分配律：顯然，R'中的元素滿足分配律。

-單位元：R'中的單位元為1/1，它等于R中的單位元1。

-零元：R'中的零元為0/1，它等于R中的零元0。

-逆元：對(duì)于任何非零非可逆元素a/b∈R'，其逆元為b/a。

5.證明R中任何非零非可逆元素在R'中成為可逆的：

-設(shè)a/b∈R是一個(gè)非零非可逆元素，即a^2r=b^2對(duì)于某個(gè)r∈R。

-令c=br。則c∈R，且(a/b)*(bc/a)=(a/b)*(c/a)=1/1。

-因此，a/b在R'中是可逆的，其逆元為bc/a。

結(jié)論：

通過(guò)以上構(gòu)造，可以驗(yàn)證R'滿足整閉包的定義，即R是R'的子環(huán)，R'是一個(gè)整環(huán)，R中的任何非零非可逆元素在R'中成為可逆的。因此，R'是R的整閉包。第七部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的例子準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的例子

定義：

給定一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)R，它的整閉包是集合Q，其中Q是R的擴(kuò)張域，并且R在Q中整閉。

1.整數(shù)環(huán)

*例子：整數(shù)環(huán)Z

*整閉包：有理數(shù)域Q

2.多項(xiàng)式環(huán)

*例子：系數(shù)域?yàn)閗的多項(xiàng)式環(huán)k[X]

*整閉包：k(X)有理函數(shù)域

3.Laurent級(jí)數(shù)環(huán)

*例子：系數(shù)域?yàn)閗的Laurent級(jí)數(shù)環(huán)k((X))

*整閉包：k(X)((1/X))有理函數(shù)域

4.代數(shù)整數(shù)環(huán)

*例子：復(fù)數(shù)中的代數(shù)整數(shù)環(huán)O

*整閉包：復(fù)數(shù)域C

5.域的有限擴(kuò)張

*例子：有限域F的有限擴(kuò)張域K

*整閉包：K本身

6.局部環(huán)

*例子：局部環(huán)(R,m)

*整閉包：其分式域

7.維特環(huán)

*例子：維特環(huán)W(k)

*整閉包：其分式域W(k)(X)

8.正則環(huán)

*例子：正則環(huán)R

*整閉包：其分式域

9.交換代數(shù)中的例子

*仿射代數(shù)：仿射代數(shù)是有限多個(gè)多項(xiàng)式的交集定義的集合。在Zariski拓?fù)湎?，仿射代?shù)是準(zhǔn)可交換環(huán)。其整閉包是仿射代數(shù)集在復(fù)數(shù)域中的閉包。

*投影代數(shù)：投影代數(shù)是多項(xiàng)式環(huán)的商環(huán)。它也是準(zhǔn)可交換環(huán)。其整閉包是投影代數(shù)集在復(fù)數(shù)域中的閉包。

*梯形代數(shù)：梯形代數(shù)是有限生成代數(shù)的余環(huán)。它也是準(zhǔn)可交換環(huán)。其整閉包是梯形代數(shù)集在復(fù)數(shù)域中的閉包。

10.幾何中的例子

*仿射簇：仿射簇是仿射代數(shù)在復(fù)數(shù)域中的閉集。它對(duì)應(yīng)于仿射代數(shù)的整閉包。

*投影簇：投影簇是投影代數(shù)在復(fù)數(shù)域中的閉集。它對(duì)應(yīng)于投影代數(shù)的整閉包。

*梯形簇：梯形簇是梯形代數(shù)在復(fù)數(shù)域中的閉集。它對(duì)應(yīng)于梯形代數(shù)的整閉包。第八部分準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的應(yīng)用關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)代數(shù)幾何

1.準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包在代數(shù)幾何中扮演重要角色，尤其是在研究代數(shù)簇的性質(zhì)時(shí)。

2.整閉包提供了一種將多項(xiàng)式方程組與幾何對(duì)象聯(lián)系起來(lái)的方法，從而可以用代數(shù)手段解決幾何問(wèn)題。

3.此外，整閉包在定義和研究簇上的代數(shù)簇等概念中至關(guān)重要。

交換代數(shù)

1.準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包在交換代數(shù)中是基本概念，用于研究環(huán)的局部化性質(zhì)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

2.通過(guò)整閉包，可以把一個(gè)準(zhǔn)可交換環(huán)分解成一個(gè)有限個(gè)整閉環(huán)的并集，這有助于理解環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。

3.整閉包還與環(huán)的有限生成性、基環(huán)擴(kuò)張以及環(huán)上模的同調(diào)論等問(wèn)題密切相關(guān)。

數(shù)論

1.準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包在數(shù)論中應(yīng)用廣泛，例如在研究整數(shù)環(huán)的性質(zhì)時(shí)。

2.整閉包可以用來(lái)構(gòu)造唯一的分解域，它對(duì)研究數(shù)論中理想和素理想的概念至關(guān)重要。

3.此外，整閉包在研究數(shù)論函數(shù)和丟番圖逼近等問(wèn)題中也有應(yīng)用。

同調(diào)代數(shù)

1.準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包與同調(diào)代數(shù)中的平坦化定理有關(guān)，該定理描述了在交換環(huán)擴(kuò)張的情況下，鏈復(fù)形的行為。

2.整閉包提供了理解平坦化定理的關(guān)鍵工具，并有助于將同調(diào)論從交換代數(shù)擴(kuò)展到更一般的設(shè)置。

3.整閉包在同調(diào)代數(shù)中還用于研究譜序列和導(dǎo)出范疇，以及與拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)幾何的聯(lián)系。準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包的應(yīng)用

準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包在代數(shù)幾何、數(shù)論和模論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。以下是其一些重要的應(yīng)用：

代數(shù)幾何

*局部環(huán)的秩定理：整閉包可以用來(lái)構(gòu)造局部環(huán)的秩。秩等于整閉包中的極大理想個(gè)數(shù)。

*無(wú)窮擴(kuò)張的局部環(huán)：準(zhǔn)可交換環(huán)的整閉包可以用來(lái)構(gòu)造無(wú)窮擴(kuò)張的局部環(huán)，用于研究代數(shù)曲線和曲面。

*Dedekind環(huán)的理想類群：整閉包可以用來(lái)刻畫(huà)Dedekind環(huán)的理想類群。環(huán)的整閉包完整表示其理想類群。

數(shù)論

*整數(shù)環(huán)：整數(shù)環(huán)是準(zhǔn)可交換環(huán)的一個(gè)重要例子。其整閉包是代數(shù)整數(shù)環(huán)，用于研究算術(shù)幾何。

*p-進(jìn)整數(shù)環(huán)：p-進(jìn)整數(shù)環(huán)是準(zhǔn)可交換環(huán)的另一個(gè)重要例子。其整閉包是亨澤爾環(huán)，用于研究局部域和代數(shù)數(shù)論。

*類域論：整閉包在類域論中起著至關(guān)重要的作用。它用于構(gòu)造伽羅瓦擴(kuò)張和確定環(huán)類數(shù)。

模論

*格羅滕迪克拓?fù)洌赫]包可以用來(lái)構(gòu)造準(zhǔn)可交換環(huán)上的格羅滕迪克拓?fù)?，用于研究環(huán)的譜。

*局部化：整閉包可以用來(lái)定義環(huán)的局部化，用于研究其代數(shù)和幾何性質(zhì)。

*平坦環(huán)：整閉包可以用來(lái)刻畫(huà)平坦環(huán)。環(huán)是平坦環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)其整閉包是平坦環(huán)。

此外，準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包還有其他廣泛的應(yīng)用，例如：

*代數(shù)K理論：整閉包用于定義代數(shù)K群和研究環(huán)的分類。

*同調(diào)代數(shù)：整閉包用于構(gòu)造同調(diào)模塊和研究環(huán)的同調(diào)性質(zhì)。

*可交換代數(shù)：整閉包用于研究可交換代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示。

*表示論：整閉包用于研究群的表示理論和構(gòu)造群環(huán)。

綜上所述，準(zhǔn)可交換環(huán)整閉包在代數(shù)幾何、數(shù)論和模論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。它為這些領(lǐng)域的許多基本結(jié)果和理論奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞關(guān)鍵要點(diǎn)主題名稱：整閉包的定義

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.代數(shù)閉包的推廣：整閉包是代數(shù)閉包在交換環(huán)上的推廣，是交換環(huán)中具有代數(shù)完備性的更一般概念。

2.定義：一個(gè)環(huán)R的整閉包S是R的一個(gè)子環(huán)，它包含R的所有元素，并滿足以下性質(zhì)：如果a∈S，b∈R且a|b，則b∈S。

3.存在性和唯一性：對(duì)于任何交換環(huán)R，它的整閉包S總是存在且唯一。

主題名稱：整閉包的性質(zhì)

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.環(huán)擴(kuò)張：整閉包是R到S的一個(gè)環(huán)擴(kuò)張，即S包含R且S的乘法和加法運(yùn)算與R中的相同。

2.代數(shù)完備性：整閉包是代數(shù)完備的，即它包含R中所有多項(xiàng)式的根。

3.算術(shù)性質(zhì)：整閉包遵循許多算術(shù)性質(zhì)，例如gcd和lcm的存在性以及可整除性和素因子分解的唯一性。

主題名稱：整閉包的構(gòu)造

關(guān)鍵要點(diǎn)：

1.有限生成擴(kuò)張：整閉包可以通過(guò)有限生成擴(kuò)張來(lái)構(gòu)造，即S是R的一個(gè)由有限多個(gè)元素生成的分歧擴(kuò)張。

2.局部化：在某些情況下，整閉包可以通過(guò)局部化來(lái)構(gòu)造，即將R中的某個(gè)元素s局部化得到一個(gè)新的環(huán)，其整閉包就是