四基：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)【建議用時(shí)：40分鐘】《第2章等式與不等式》【2.3.1平均值不等式及其應(yīng)用】一、選擇題（每小題6分，共12分）1、《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A． B．C． D．2、設(shè)，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．二、填充題（每小題10分，共60分）3、如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是_4、設(shè)x>0，則3－3x－eq\f(1,x)的最大值是5、有下面四個(gè)不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有個(gè)；6、某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量與時(shí)間的關(guān)系大致滿足，則該商場(chǎng)前t天平均售出[如前天的平均售出為]的月餅最少為7、已知，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是8、若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是三、解答題（第9題12分，第10題16分）9、已知常數(shù)，和變量，滿足，，的最小值為，求：10、在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價(jià)為100元/．設(shè)矩形的長(zhǎng)為．（1）設(shè)總造價(jià)（元）表示為長(zhǎng)度的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．【附錄】相關(guān)考點(diǎn)考點(diǎn)一算術(shù)平均值幾何平均值對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值；考點(diǎn)二平均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；考點(diǎn)三定理對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；【教師版】《第2章等式與不等式》【2.3.1平均值不等式及其應(yīng)用】一、選擇題（每小題6分，共12分）1、《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）A． B．C． D．【提示】注意；數(shù)形結(jié)合地理解；由圖形可知：，在直角中，由射影定理可求，結(jié)合即可得出結(jié)論．【答案】A【解析】取圓心為O點(diǎn)，連接OF由圖形可知：，在直角中，根據(jù)射影定理可得：，所以因?yàn)椋?，所以，，，所以，；故選：A；【考點(diǎn)】平均值不等式；本題既給出了平均值不等式的幾何證法，又呈現(xiàn)了一種新題型：無(wú)字證明題；2、設(shè)，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【提示】依據(jù)不等式性質(zhì)進(jìn)行恒等變形或利用基本不等式比較大小即可；【答案】B；【解析】因?yàn)?，，所以，，又，所以，；故選：B；【考點(diǎn)】平均值不等式；本題考查利用基本不等式比較大小，注意（1）各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）各項(xiàng)相等時(shí)才有等號(hào)；（3）時(shí)，；即兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，大于等于它們的調(diào)和平均數(shù)；當(dāng)然，結(jié)合本題是“選擇題”的特點(diǎn)，也可以取“特殊值”比較。二、填充題（每小題10分，共60分）3、如果a>0，那么a＋eq\f(1,a)＋2的最小值是_【答案】4；【解析】因?yàn)閍>0，所以a＋eq\f(1,a)＋2≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2＝2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立；【考點(diǎn)】平均值不等式；平均值不等式可以用來(lái)求最值，但要注意條件的滿足：一正、二定、三相等；4、設(shè)x>0，則3－3x－eq\f(1,x)的最大值是【提示】注意：平均值不等式的前提、條件、應(yīng)用；【答案】3－2eq\r(3)【解析】因?yàn)?，x>0，∴3x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x))＝2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，等號(hào)成立，所以，－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq\r(3)，則3－3x－eq\f(1,x)≤3－2eq\r(3)；【考點(diǎn)】平均值不等式；本題是平均值不等式求最值與不等式性質(zhì)的交匯；5、有下面四個(gè)不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有個(gè)；【提示】注意：平均值不等式的前提、條件、應(yīng)用，會(huì)根據(jù)需要變形；【答案】2【解析】①因?yàn)椋猿闪?，所以①正確．②因?yàn)?，所以②正確；③當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)有，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，，所以③錯(cuò)誤；④ab＜0時(shí)，不成立；其中恒成立的個(gè)數(shù)是2個(gè)；【考點(diǎn)】平均值不等式與定理；本題是平均值不等式與定理的理解、恒等變形與應(yīng)用的交匯；6、某商場(chǎng)中秋前30天月餅銷售總量與時(shí)間的關(guān)系大致滿足，則該商場(chǎng)前t天平均售出[如前天的平均售出為]的月餅最少為【答案】；【解析】平均銷售量，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即平均銷售量的最小值為；【考點(diǎn)】平均值不等式的應(yīng)用；本題是平均值不等式求最值時(shí)保證等號(hào)成立；7、已知，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是【提示】注意：利用平均值不等式求最值的解題步驟；【答案】；【解析】因?yàn)?，，，所以．因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，整理得，解得，即．【考點(diǎn)】平均值不等式的應(yīng)用；本題是平均值不等式與解不等式的交匯；8、若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是【提示】注意：依據(jù)不等式性質(zhì)進(jìn)行“適當(dāng)”變形；【答案】；【解析】，，，解得，，的最大值是．【考點(diǎn)】平均值不等式與定理；本題是平均值不等式與定理的綜合應(yīng)用，最值得注意保證等號(hào)成立；三、解答題（第9題12分，第10題16分）9、已知常數(shù)，和變量，滿足，，的最小值為，求：，的值．【答案】，或，．【解析】∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為；又，∴，解得，或，；【考點(diǎn)】平均值不等式；平均值不等式可以用來(lái)求最值，但要注意條件的滿足：一正、二定、三相等；如：若變數(shù)，則若（常數(shù)），則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值；若（常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值；10、在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級(jí)居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個(gè)面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價(jià)為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價(jià)為100元/．設(shè)矩形的長(zhǎng)為．（1）設(shè)總造價(jià)（元）表示為長(zhǎng)度的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低為元．【解析】（1）由矩形的長(zhǎng)為，則矩形的寬為，則中間區(qū)域的長(zhǎng)為，寬為，則定義域?yàn)?，則，整理得，．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，所以當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低為元．【考點(diǎn)】平均值不等式與一元二次函數(shù)；本題的求解：首先得正確建模，明確實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量的限制；其次得通過(guò)恒等變形構(gòu)建與平均值不等式的聯(lián)系；結(jié)合不等式性質(zhì)求解后，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求給與回答或給出解決問(wèn)題的方案?！靖?/p>