1第二章數(shù)量關系數(shù)量關系主要測查應試者理解、把握事物間量化關系和解決數(shù)量關系問題的技能主要涉及數(shù)字和數(shù)據(jù)關系的分析、推理、判斷、運算。第一節(jié)數(shù)字推理在解答數(shù)字推理題時，需要注意的是以下兩點：一是反應要快；二是掌握恰當?shù)姆椒ê鸵?guī)律。一般而言，先考察前面相鄰的兩三個數(shù)字之間的關系，在中假設出一種符合這個數(shù)字關系的規(guī)律，并迅速將這種假設應用到下一個數(shù)字與前一個數(shù)字之間的關系上，如果得到驗證，就說明假設的規(guī)律是正確的，由此可以直接推出答案；如果假設被否定，就馬上改變思路，提出另一種數(shù)量規(guī)律的假設。另外，有時從后往前推，或者“中間開花”向兩邊推也是有效的。即使一些表面看起來很復雜的數(shù)列，只要我們對其進行細致的分析和研究，就會發(fā)現(xiàn)，將相鄰的兩個數(shù)相加或相減、相乘或相除之后，它們也不過是通過一些簡單的排列規(guī)律復合而成的。只要掌握它們的排列規(guī)律，善于開動腦筋，就會獲得理想的效果。在做一些復雜的題目時，要有一個基本思路：嘗試錯誤。很多數(shù)字推理題不太可能一眼就看出規(guī)律、找到答案，而是要經(jīng)過兩三次的嘗試，逐步排除錯誤的假設，最后才能找到正確的規(guī)律。另外還有一些關鍵點需掌握：①培養(yǎng)數(shù)字、數(shù)列敏感度是應對數(shù)字推理的關鍵，例如，看到數(shù)列數(shù)字比較多就要馬上想到多重數(shù)列等；②熟練掌握各種基本數(shù)列（自然數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列等③熟練掌握各種數(shù)列的變式；④掌握最近幾年的最新題型并進行大量的習題訓練。一、數(shù)字推理兩大思維技巧2“單數(shù)字發(fā)散”即從題目中所給的某一個數(shù)字出發(fā)，尋找與之相關的各個特征數(shù)字，從而找到解析試題的“靈感”的思維方式?！皢螖?shù)字發(fā)散”基本思路：從“基準數(shù)字”發(fā)散并牢記具有典型數(shù)字特征的數(shù)字（即“基準數(shù)字”將題干中數(shù)字與這些“基準數(shù)字”聯(lián)系起來，從而洞悉解題的思路?！耙驍?shù)分解發(fā)散”基本思路：牢記具有典型意義的數(shù)字的“因數(shù)分散”，在答題時通過分解這些典型數(shù)字的因子，從而達到解題的目的。常用冪次數(shù)如表1.1、表1.2所示。表1.1平方數(shù)底數(shù)123456789平方149496481底數(shù)平方225256289324361400表1.2立方數(shù)底數(shù)123456789立方1864216343512729常用冪次數(shù)記憶：①對于常用的冪次數(shù)字，考生務必將其牢記在心，這不僅僅對于數(shù)字推理的鑰匙很重要，對數(shù)學運算及至資料分析試題的迅速、準確解答都有著至關重要的作用。②很多數(shù)字的冪次數(shù)都是相通的。比如729=36=93=272，256=28=44=162等。③“21~29”的平方數(shù)是相聯(lián)系的，以25為中心，24與26、23與27、22與28、21與29，它們的平方數(shù)分別相差100、200、300、400。常用階乘數(shù)見表1.3.n！=1×2×3×4…x(n-1)×n表1.3常用階乘數(shù)數(shù)字3126241207205040403203628803200以內(nèi)質(zhì)數(shù)表（特別留意劃線部分）如表1.4所示。23574143476167838997“質(zhì)數(shù)表”記憶如下：①“2，3，5，7，11，13，17，19”這幾個質(zhì)數(shù)作為一種特殊的“基準數(shù)”，是質(zhì)數(shù)數(shù)列的“旗幟”，公務員考試中對于質(zhì)數(shù)數(shù)列的考核往往集中在這幾個數(shù)字上。②83，89，97是100以內(nèi)最大的3個質(zhì)數(shù)，換言之80以上、100以下的其他自然數(shù)均是合數(shù)，特別需要留意91是一個合數(shù)（91=7×13）。③像91這樣較大的合數(shù)的“質(zhì)因數(shù)分解”，也是公務員考試中經(jīng)常會設置的障礙，牢記200以內(nèi)一些特殊數(shù)字的分解有時可以起到意想不到的效果，可將其看作一種特殊意義上的“基準數(shù)”。常用經(jīng)典因數(shù)分解如表1.5所示。表1.5常用經(jīng)典因數(shù)分解91=7×13111=3×37119=7×17133=7×19117=9×13147=7×21153=9×17161=7×23171=9×19209=19×11有了上述“基準數(shù)”的知識儲備，在解題中即可以此為基礎用“單數(shù)字發(fā)散”思維解題。“多數(shù)字聯(lián)系”概念定義：即從題目中所給的某些數(shù)字組合出發(fā)，尋找其間的聯(lián)系，從而找到解析例題的“靈感”的思維方式?！岸鄶?shù)字聯(lián)系”基本思路：把握數(shù)字之間的共性；把握數(shù)字之間的遞推關系。例如：題目中出現(xiàn)了數(shù)字1，4，9，則從1，4，9出發(fā)我們可以聯(lián)想到：50，41，32，49=（4-1）2=（4-1）×39=4×2+1=1×5+4二、基本數(shù)列及其變式常數(shù)數(shù)列，如：3，3，3，3，3，3，3，3，3，…。等差數(shù)列，如：3，5，7，9，11，13，15，17，…。等比數(shù)列，如：3，6，12，24，48，96，192，…。質(zhì)數(shù)型數(shù)列，如：2，3，5，7，11，13，17，19，…。合數(shù)數(shù)列，如：4，6，8，9，10，12，14，15，…。周期數(shù)列，如：對稱數(shù)列，如：簡單遞推數(shù)列：各、差、積、商，如：37，23，14，9，5，4，1，…。2，3，6，18，108，1944，…。256，32，8，4，2，2，1，2，…。A.8B.9C.11D.12【解析】這是一道質(zhì)數(shù)數(shù)列，2，3，5，7均為質(zhì)數(shù)，故應選C。5例題222，24，27，32，39，()A.40B.42C.50D.52【解析】用后一個數(shù)減去前一個數(shù)得出：2，3，5，7，它們的差形成了一個質(zhì)數(shù)數(shù)列，依此規(guī)律應是11+39=50，正確答案是C。等差數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的差值相等，整列數(shù)字是依次遞增、遞減或恒為常數(shù)的一組數(shù)字。等差數(shù)列中相鄰數(shù)字之差為公差，通常用字母d來表示，等差數(shù)列的通項公式為：an=a1+(n-1)dn為自然數(shù)，例如：2，4，6，8，10，12，…。等差數(shù)列的特點是數(shù)列各項依次遞增或遞減，各項數(shù)字之間的變化幅度不大。二級等差數(shù)列：后一項減去前一項得到第二個新數(shù)列是一個等差數(shù)列。多級等差數(shù)列：一個數(shù)列經(jīng)過兩次以上（包括兩次）的后項減去前項的變化后，所得到的新數(shù)列是一個等差數(shù)列。等差數(shù)列是數(shù)字推理題目中最基礎的題型。例題12，5，11，20，32，()A.43B.45C.47D.49【解析】此題考查二級等差數(shù)列。第（n+1）項減去第n項，可以得出一個新數(shù)列：3，6，9，12，這是一個以3為公差的等差數(shù)列，新數(shù)列的下個數(shù)字是12+3=15，因此，原數(shù)列的未知項為32+15=47。故選C。例題20，4，16，40，80，()A.160B.128C.136D.140【解析】此題考查三級等差數(shù)列。原數(shù)列的后一項減去前一項得到第一個新數(shù)列為4，12，24，40，新數(shù)列的后一項減去前一項得到第二個新數(shù)列為8，12，16，因此第二個新數(shù)列的下一項為20，第一個新數(shù)列的下一項為60，則未知項為80+60=140。故選D。等比數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的比為常數(shù)的數(shù)列，這個比值被稱為公比，用字母q來表示。等比數(shù)列的通項公式為a=aq-1(q≠0,n為自然數(shù))。例如：5，10，20，40，80，…。等比數(shù)列的概念構(gòu)建與等差數(shù)列的概念構(gòu)建基本一致，所以要對比學習與記憶。注意等比數(shù)列中不可能出現(xiàn)“0”這個常數(shù)，若數(shù)列中有“0”肯定不是等比數(shù)列。當?shù)缺葦?shù)列的公比是負數(shù)時，這個數(shù)列就會是正數(shù)負數(shù)交替出現(xiàn)。例題1102,96,108,84,132,()A.36B.64C.70D.72【解析】后一個數(shù)減去前一個數(shù)，96-102=-6，108-96=12，84-108=-24.132-84=48，即相鄰兩項的差呈公比為-2的等比數(shù)列，故空缺處為132-48×2=36，答案是A。6例題27，7，9，17，43，()A.119B.117C.123D.121【解析】7791743（123）2618（54）公比為3的等比數(shù)列答案是C。和差數(shù)列是指前兩項相加或者相減的結(jié)果等于下一項。和差數(shù)列的變式是指相鄰兩項相加或者相減的結(jié)果經(jīng)過變化之后得到下一項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)（如1、2、3、4、5等或者相鄰兩項相加之和（之差）與項數(shù)之間具有某種關系；或者其相鄰兩項相加（相減）得到某一等差數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列等形式。例題10，1，1，2，4，7，13，()A.22B.23C.24D.25【解析】13=7+4+2，7=4+2+1，4=2+1+1，2=1+1+0，也就是說后一項等于前一項加上前兩項之和。那么所填數(shù)字為13+7+4=24，因此，答案為C。例題285，5219，14A.28B.33C.37D.41【解析】該數(shù)列是典型的差數(shù)列。該數(shù)列規(guī)律為：前期減去后項等于第三項，85-52=33，33-19=14，即空缺項為33。故選B。例題36，7，3，0，3，3，6，9，()A.5B。6C.7D.8【解析】該數(shù)列的規(guī)律為相鄰兩項的和的個位數(shù)字為后一項6+9=15，個位數(shù)字是5。故選A。例題422，35，56，90234A.162B.156C.148D,145【解析】通過分析得知，此數(shù)列前兩項之和減去1正好等于第三項，即22+35-1=56，35+56-1=90，由此推知，空缺項應為56+90=145，又因為90+145-1=234，符合推理，故正確答案為D。積商數(shù)列是指前兩項相乘或者相除的結(jié)果等于下一項。這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)；或者每兩項乘與項數(shù)之間具有某種關系。例題11，3，3，92437A.12B.27C.124D.169【解析】1×3=3（第三項3×3=9（第四項3×9=27（第五項9×27=243（第六項所以，答案為27，即B。例題22，4，12，48，()A.96B.120C.240D.480【解析】題干各數(shù)依次乘自然數(shù)數(shù)列2，3，4得下一個數(shù)。2×2=4；4×3=12，12×4=48；48×5=240，答案為C。2128A.B.14C.9D.【解析】約分。約分后都等于7，由此可知符合條件的只有A。3C.D.【解析】觀察分子分母數(shù)字特征5+7=12，7+12=19，12+19=31，分母為19+31=50，前一項的分母是后一項的分子，因此，答案為，即為C。例題139，62，91，126，149，178，()A.205B.213C.221D.226【解析】該數(shù)列是分段組合數(shù)列。后項減去前項可得數(shù)列23，29，35，23，29178，新數(shù)列是一個分段組合數(shù)列，以23，29，35循環(huán)，則空缺處應為213。故選B。例題2243，217，206，197，171，()A.160B.158C.162D.156【解析】這是一個分段組合數(shù)列，相鄰兩項中前項減去后項得一新數(shù)列：26，11，9，26，171可知該新數(shù)列為分段組合數(shù)列，171=11，即未知項應為171－1=160.故選A。三、冪數(shù)列及其變式平方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的平方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差，等比，8也可能是其他規(guī)律。例如：1，4，9，16，25，36…。典型平方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列（自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等）的平方。平方數(shù)列變式：這一數(shù)列不是簡單的平方數(shù)列，而是在此基礎上進行“加減乘除某一常數(shù)”變化的數(shù)列。例題11，4，16，49，121，()A.256B.225C.196D.169【解析】以上各數(shù)分別為1，2，4，7，11的平方，而這幾個數(shù)之間的差為1，2，3，4，可以推出下一個差為11+5=16，應選項為16的平方即256.答案為A。例題214，20，54，76，()A.104B.116C.126D.144【解析】該數(shù)列是平方數(shù)列的變式。其規(guī)律：14=32+5，20=52－5，54=72+5，76=92－5，未知項應為112+5，即為126。故選C。立方數(shù)列是指數(shù)列中的各項數(shù)字均可轉(zhuǎn)化為某一數(shù)字的立方，且這些新數(shù)字又構(gòu)成新的規(guī)律，可能是等差，等比，也可能是其他規(guī)律。例如：1，8，27，64，125…。典型立方數(shù)列分為幾種基本數(shù)列（自然數(shù)數(shù)列、奇數(shù)數(shù)列、質(zhì)數(shù)數(shù)列、等差數(shù)列等）的立方。立方數(shù)列的變式是指在立方數(shù)列的基礎上進行某種變化后得到的新數(shù)列，這種變化通常是指“加減乘除某一常數(shù)”的變化。例題0，9，26，65，124，()A.186B.215C.216D.217故正確答案為D。例題20，2，10，30，()A.68B.74C.60D.70【解析】該數(shù)列為立方數(shù)列的變式。原數(shù)列可變形為03+0=0，13+1=2，23+2=10，33+3=30，因此，未知項為43+4=68。故選A。例題11，32，81，54，251A.5B.6C.10D.129【解析】本題是一個降冪數(shù)列。題目中所給數(shù)列各項可以依次改寫為冪數(shù)列的形式：16，25，34，43，5270，可見這個冪數(shù)列的底數(shù)分別是1，2，3，4，57，是一個公差為1的等差數(shù)列；指數(shù)分別是6，5，4，3，2， (),0，是一個公差為－1的等差數(shù)列。答案選B。例題21，4，3，1，1/5，1/36，()A.1/81B.1/25C.1/216D.1/343【解析】本題是一個降冪數(shù)列。題目中所給數(shù)列各項可以依次改寫為冪數(shù)列的形式：13，22，31，40，5-1，6-2，(), 可見這個冪數(shù)列的底數(shù)分別是1，2，3，4，5，6是一個公差為1的等差數(shù)列；指數(shù)分別是3，2，1，0，-1，-2是一個公差為-1的等差數(shù)列。答案為7-3，選D。四、多重數(shù)列例題111，12，12，18，13，2842，15，()A.1555B.1460C.1455D.1560【解析】隔項找規(guī)律。奇數(shù)項11，12，1315之間的差額為1，2，3，4，5，偶數(shù)項12，18，28，42之間的差額為6，10，14，二級等差4，所以應選項為42+18=60。答案為B。例題21，1，8，16，7，21，4，16，2，()A.10B.20C,30D.40【解析】兩項一組，1=1×1，16=8×2，21=7×3，16=4×4，所以答案為2×5=10，答案為A。五、特殊規(guī)律數(shù)列例題125，58，8111417A.56B.1114C.67D.1315【解析】把一個數(shù)字一分為二拆開來看，找出規(guī)律，2，5，8，11，14；5，8，11，14，17。括弧為11和14的結(jié)合。答案為B。例題2853，752，561，154A.235B.952C.358D.352【解析】百位數(shù)與十位數(shù)的差的絕對值等于個位數(shù)。答案為D。N!=1×2×3×4×…×(n－1)×n常用階乘數(shù)：階乘：125241207205040403203628803628800例題13，4，8，26，122，()A.722B.727C.729D.731【解析】這里用到階乘基準數(shù)字。3=1！+2；4=2！+2；8=3！+2；26=4！+2；122=5！+2=6！+2=722。答案為A。例題2-1，0，4，22，118，()A.722B.720C.718D.716【解析】這里用到階乘基準數(shù)字。-1=12；0=22；4=32；22=42；118=52=62=718。答案為C。六、圖形數(shù)列A.54B.63C.85D.108【解析】圖形數(shù)列，中間數(shù)字為對角之和與對角之積結(jié)果的和，9×4＋12＋6＝54，故選A.例題2：A．9B．10C．11D．12【解析】原數(shù)列具有如下關系：(7-3)×9=36，(15-12)×4=12，(35-15)×6=120，(7-6)×12=（12故選D第二節(jié)數(shù)學運算數(shù)學運算的試題一般比較簡短，其知識內(nèi)容和原理多限于中小學數(shù)學中的加、減、乘、除四則運算。盡管如此，也不能掉以輕心、麻痹大意，因為測試有時間限制，需要應試者算得既快又準。為了做到這一點，應當注意以下幾個方面：一是掌握一些常用的數(shù)學運算技巧、方法和規(guī)律，盡量多用簡便算法。二是準確理解和分析題干，正確把握題意，切忌被題中一些枝節(jié)所誘導，落入出題者的“圈套”。三是熟記一些基本公式。四是盡可能多地學習新題型，掌握新方法。五是重點掌握一些新變化及應對題型的根本理論知識。六是加強思維訓練，反復練習，努力提高做題速度。七是學會用代入法和排除法解題?？偟膩碚f數(shù)量關系試題的解答，要把握以下3個方面：①心算勝于筆算。該項測試的應試者，平均一道題需50~55秒的時間作答，可見對速度要求之高了。在數(shù)量關系測試中，運算一般比較簡單，采用遲延可以節(jié)省時間，將有限的時間盡量集中用于較難試題的解答上。②先易后難。在規(guī)定時間內(nèi)，每道題雖難度不一樣，但可先通過完成簡單題的解答，使心理更加平穩(wěn)，更有利于難度圈套題目的解答。如果因解答一題受阻，而失去了解答更多試題的機會，就會造成不應有的丟分。③運用速算方法。不少數(shù)學運算題可以采用簡便的速算方法，而不需要全演算。為此，在解題前，先花一點時間考察有沒有簡便算法來解題是值得的，也是必要的。如果找到簡便算法，會大大減少解題所用的時間，達到事半功倍的效果。為了有效應對數(shù)學運算試題，我們應該掌握一些數(shù)字運算規(guī)律：1.自然數(shù)的n次方尾數(shù)變化規(guī)律n的尾數(shù)是1.2n的尾數(shù)變化4次為一個周期，分別是2，4，8，6。3n的尾數(shù)變化4次為一個周期，分別是3，9，7，1。4n的尾數(shù)變化4次為一個周期，分別是4，6。5n的尾數(shù)是5。6n的尾數(shù)是6。7n的尾數(shù)變化4次為一個周期，分別是7，9，3，1。8n的尾數(shù)變化4次為一個周期，分別是8，4，2，6。9n的尾數(shù)變化兩次為一個周期，分別是9，1。2.常見的數(shù)學公式（1）乘法與因式分解a2－b2=(a+b)(a－b)(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)a3－b3=（a－b）(a2+ab+b2)(2)求和公式1+2+3+4+5+…+n=為自然數(shù)）2+4+6+8+…2n=n(n+1)(n為自然數(shù)）1+3+5+7+9+…+(2n－1)=n2(n為自然數(shù))等差數(shù)列求和公式Sn=na1+n2×d=n×為自然數(shù)）一、整除運算1.1與0的特性：1是任何整數(shù)的約數(shù)，0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)。2.若一個整數(shù)的末位是0，2，4，6或8，則這個數(shù)能被2整除。3.若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個數(shù)能被3整除。4.若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。5.若一個整數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。6.若一個整數(shù)能被2和3帶隊，則這個整數(shù)能被6整除。7.若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)字中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。8.若一個整數(shù)的末尾3位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。9.若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。10.若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。11.若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗法也可用上述檢查7的（割尾法）處理，唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1.12.若一個整數(shù)能被3和4帶隊，則這個數(shù)能被12整除。13.若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。14.若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整數(shù)。15.若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。16.若一個整數(shù)的末3位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。17.若一個整數(shù)的末3位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。18.若一個整數(shù)的末4位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23（或29）整除，則這個數(shù)能被23整除。例題1有a,b,c,d4條線，依次在a線上寫1，在b線上寫2，在c線上寫3，在d線上寫4，然后在a線上寫5，在c線上寫數(shù)字6，7，8，…。按這樣的周期循環(huán)下去，問數(shù)字2008寫在哪條線上？()A.a線B.b線C.c線D.d線【解析】本題實質(zhì)考查2008除以4的余數(shù)問題，可知其可被帶隊，所以2008應寫在d線上。故選C。例題2一個兩位數(shù)除以一個一位數(shù)，商仍是兩位數(shù)，余數(shù)是8。問：被除數(shù)、除數(shù)、商以及余數(shù)之和是多少？()A.98B.107C.114D.125【解析】由“余數(shù)是8”可知，除數(shù)只能是9，由于被除數(shù)是兩位數(shù)，商也是兩位數(shù)，則商只能取10，則被除數(shù)為9×10+8=98，因此，98+9+10+8=125。故選D。二、數(shù)列問題例題1（an）是一個等差數(shù)列，a3+a7-a7-a10=8,a11-a4=4則數(shù)列前13項之和是。A.32B.36C.156D.182【解析】這是一道考查數(shù)列問題的數(shù)學運算題，應注意解題技巧。要熟悉等差數(shù)列的特性，在本題中an）為等差例題210個連續(xù)偶數(shù)的和是以1開始的10個連續(xù)奇數(shù)和的2.5倍，其中最大的偶數(shù)是多少？()A.34B.38C.40D.42【解析】本題考查奇數(shù)列和偶數(shù)列的求和可采用議程式求解。以1開始的10個連續(xù)奇數(shù)的和為×10=100，則10個連續(xù)偶數(shù)的和為100×2.5=250.設最大的偶數(shù)為×10=250，解得x=34.故選A。三、行程問題行程問題包含相遇問題、追及問題和流水問題相遇問題可表示為：相遇時間=距離和÷速度和甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質(zhì)上是甲和乙一起走了AB之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么：AB之間的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度x相遇時間+乙的速度x相遇時間=（甲的速度+乙的速度）x相遇時間=速度和x相遇時間可見，“相遇問題”的核心是速度的問題。有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前時，走得快的過了一些時間就能追上他。這就產(chǎn)生了“追及問題”。實際上，要計算走快的人在某一段時間內(nèi)比走慢的人多走的路程，也就是要計算兩人的速度之差。如果設甲走的快，乙走得慢，在相同時間（追及時間）內(nèi)：追及路程=甲走的路程－乙走的路程=甲的速度x追及時間－乙的速度x追及時間=（甲的速度－乙的速度）x追及時間=速度差x追及時間可見，“追及問題”的核心是速度差的問題。我們知道，船順水航行時，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進，同時整個水面又按水的流動速度在前進，因此船順水航行的實際速度（簡稱順水速度）就等于船速與水速的和，即順水速度=船速+水速逆水速度=船速－水速可推知船速=（順水速度+逆水速度）÷2水速=（順水速度－逆水速度）÷2公式總結(jié)：順水船速=船速+水速逆水船速=船速－水速船速=（順水速度+逆水速度）÷2水速=（順水速度－逆水速度）÷2例題1甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，甲每小時行進4千米，乙每小時行進5千米，在甲出發(fā)的同時，他頭上方的一只蜜蜂也同時出發(fā)，朝乙飛去，遇到乙后，立即返回，再次遇到甲后，又向乙飛去，如此反復，直到甲乙兩人相遇，已知甲乙兩地相距18千米，蜜蜂每小時飛10千米，問蜜蜂在甲乙兩人相遇前飛了多少千米？ A.17.2千米B.20.0千米C.19.6千米D.21.3千米【解析】本題考查行程問題，需要注意蜜蜂和人行進路程、速度均不相同，但他們的行進時間是相等的，所以可以先求出蜜蜂飛行的時間，即兩人從出發(fā)要相遇時經(jīng)過的時間，即18÷（4+5）=2（小時2×10=20（千米此即為蜜蜂飛行的路程。故選B。例題2某學校操場的一條環(huán)形跑道長400米，甲練習長跑，平均每分鐘跑250米；乙練習自行車，平均每分鐘行550米，那么兩人同時同地同向而行，經(jīng)過x分鐘第一次相遇，若兩人同時同地反向而行，經(jīng)過y分鐘第一次相遇，則下列說法正確的是。A.x-y=1B.y-x=5/6C.y-x=1D.x-y=5/6【解析】本題考查相遇問題。X=400÷(550-250)=4/3分鐘，y=400÷（550+250）=1/2（分鐘所以x－y=4/3－1/2=5/6(分鐘)。故選D。四、方陣問題橫著排稱為行，豎著排稱為列。如行數(shù)與列數(shù)相等，則正好排成一個正方形，此圖形被稱為方陣（也被稱為乘方問題）。方陣各要素之間的關系有：1.方陣總?cè)耍ㄎ铮?shù)=最外層每邊人（物）數(shù)的平方；2.方陣最外一層總?cè)耍ㄎ铮?shù)比內(nèi)一層總?cè)耍ㄎ铮?shù)多8（行數(shù)和列數(shù)分別大于23.方陣最外層每邊人（物）數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）+1；4.方陣最外層總?cè)藬?shù)=[最外層每邊人（物）數(shù)－1]×4；5.去年一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)×2－1。例題1某部隊戰(zhàn)士排成了一個6行、8列的長方陣?，F(xiàn)在要求各行從左到右1，2，1，2，1，2，1，2報數(shù)，再各列從前到后1，2，3，1，2，3報數(shù)。問在兩次報數(shù)中，所報數(shù)字不同的戰(zhàn)士有。A.18個B.24個C.32個D.36個【解析】當從左至右報1時，從前至后報2的有8人，報3的也有8人，當從左至右報2時，同理可得，從前至后報1的有8人，報3的也有8人，即所報數(shù)字不同的戰(zhàn)士有32人。故選C。例題2小紅把平時節(jié)省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是。A.1元B.2元C.3元D.4元【解析】本題可以看作是方陣問題，設正三角形其中一邊有x個硬幣，則正方形其中一邊有(x－5)個硬幣，依題意可得方程式（x－1）×3=(x－5－1)×4,即x21年，故可知硬幣總數(shù)為（21－1）×3=60（個所以總價值為3元。故選C。五、工程問題一般情況下，工程問題是公務員錄用考試的必考題型之一，此類題型雖無難點，但需要考生掌握一些最基本的概念及數(shù)量關系式。近年工程問題的考題具有邏輯推理的性質(zhì)。一般應掌握的基本概念：1.工作量工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)“1”表示，也可以是部分工作量，常用分數(shù)表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示為。2.工作效率工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。一般常用的數(shù)量關系式是：工作量=工作效率×工作時間工作效率=工作量÷工作時間工作時間=工作量÷工作效率例題1某零件加工廠按照工人完成的合格零件和不合格零件數(shù)支付工資，工人每做出一個合格零件能得到工資10元，每做出一個不合格的零件將被扣除5元。已知某人一天共做了12個零件，得到工資90元，那么他在這一天做了多少個不合格零件？()A.2個B.3個C.4個D.6個【解析】運用方程式求解。設他一天做了x個不合格零件，則10×（12－x5x=90，解得x=2，故選A。例題2人工生產(chǎn)某種裝飾用一手珠鏈，每條珠鏈需要珠子25顆，絲線3條，搭扣1對以及10分鐘的單個人工勞動。現(xiàn)在有珠子4880顆，絲線586條，搭扣200對，4個工人。則8小時最多可以生產(chǎn)珠鏈。A.200條B.195條C.193條D.192條六、濃度問題例題1兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液，一個瓶子中酒精與水的體積的比是3：1，另一個瓶子中酒精與水的體積比是4：1，若把兩瓶酒精溶液混合，則混合后的酒精和水的體積之比是多少？()A.31:9B.7:2C.31:40D.20:11【解析】本題考查的是濃度問題?？稍O瓶子的大小為20，則3：1=15：5，4：1=16：4，故混合后的酒精與水的體積之比為（15+165＋4）=31：9。故選A。例題2杯中原有濃度為18%的鹽水溶液100ml，重復以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml溶液，問杯中鹽水溶液的濃度變成了多少？()A.9%B.7.5%C.4.5%D.3.6%【解析】本題要注意溶液經(jīng)過調(diào)和后，不管倒出多少，只要不再往杯中加東西，其杯中的濃度是不變的。第一次操作后鹽水濃度變?yōu)?8%×=9%，第二次操作后濃度變?yōu)?4.5故杯中鹽水溶液的濃度變成了4.5%。故選七、時鐘問題解答時鐘問題關鍵在于弄清時針、分針及秒針相互之間的關系。鐘面上按“時”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的轉(zhuǎn)速是分針的兩針速度差是分針速度的，分針每小時可追及。時針每小時走300，分針每分鐘走60，分針走一分鐘（轉(zhuǎn)60）時時針走0.50，分針與時針的速度差為5.50.例題1從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機會有。A.1次B.2次C.3次D.4次【解析】本題是考查時針、分針、的關系。因為分針的速度比時針快，在1個小時內(nèi)，分針轉(zhuǎn)1圈3600，時針轉(zhuǎn)300，所以分針與時針可構(gòu)成直角的機會只有2次。故選B。例題2一個快鐘每小時比標準時間快1分鐘，一個慢鐘每小時比標準時間慢3分鐘。如將兩個鐘同時調(diào)到標準時間，結(jié)果在24小時以內(nèi)，快鐘顯示10點整時，慢鐘恰好顯示9點整。則此時的標準時間是。A.9點15分B.9點30分C.9點35分D.9點45分【解析】此題要注意參照物，一定要以標準時間為參照。設快鐘比標準時間快x分鐘，則慢鐘比標準時間慢3x分鐘，則可列方程式：10－=9+，可解出x=15。此時的標準時間是9點45分。故選D。八、植樹問題植樹的路線包括不封閉與封閉兩種路線。1.不封閉路線的計算方法路線全長、棵數(shù)、株距3者之間的關系是：棵數(shù)=路線全長÷株距+1路線全長=株距×（棵數(shù)－1）株距=路線全長÷（棵數(shù)－1）2.封閉路線的計算方法路線周長、棵數(shù)、株距3者之間的關系是：棵數(shù)=路線周長÷株距路線周長=株距×棵數(shù)株距=路線周長÷棵數(shù)例題1一塊三角地帶，在每個邊上植樹，3個邊分別長156m、186m、234m，樹與樹之間距離為6m，三個角上必須栽一棵樹，共需多少棵樹？()A.93棵B.95棵C.96棵D.99棵【解析】本題考查的是在封閉的路線上植樹的問題。如果認識到這是在一個封閉的三角形上種樹，那么此題就非常簡單，棵數(shù)=路線周長÷株距。即（156+186÷234）÷6=96棵。故選C。例題2為了把2008年北京奧運辦成綠色奧運，全國各地都在加強環(huán)保，植樹造林。某單位計劃在通往兩個比賽場館的兩條路的（不相交）兩旁栽上樹，現(xiàn)運回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米，若每隔4米栽一棵，則少2754棵；若每隔5米栽一棵，則多396棵，則共有樹苗棵。A.8500B.12500C.12596D.13000九、年齡問題年齡問題是公務員錄用考試的覺題型，年齡問題的核心是：大小年齡差是個不變的量，而年齡的倍數(shù)卻年年不同。代入法是解決年齡問題的常用和最優(yōu)方法，因此考生樹立“代入”意識很重要。例題15年前甲的年齡是乙的三倍，10年前皿的年齡是丙的一半，若用y表示丙當前的年齡，下列哪一項能表示【解析】本題考查年齡問題，年齡問題的關鍵是年齡差恒不變。丙的年齡為y歲，10年前丙為y-10歲，甲為，由此可得5年前甲年齡為則乙為×（+5那么當前乙的年齡為故選A。例題2爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當爸爸的年齡是哥哥的3倍時，妹妹是9歲；當哥哥的年齡是妹妹的2倍時，爸爸34歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？()A.34歲B.39歲C.40歲D.42歲【解析】本題可用代入法。A項，爸爸34歲時，哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍，二人的年齡和為64-34=30（歲則哥哥20歲時，妹妹10歲，驗證，妹妹9歲時，哥哥19歲，爸爸年齡是33歲，爸爸年齡不是哥哥的3倍，排除A項。同理可排除B、D兩項。而C項符合。故選C。十、利潤問題學習利潤問題，首先我們要明確一些基本概念：我們購買一件商品的買入價叫做這件商品的成本，商品的成本一般是一個不變的量。一般而言求成本是利潤問題的關鍵和核心。2.銷售價（賣出價）當我們購進某種產(chǎn)品后，又以某個價格賣掉這種產(chǎn)品，這個價格就叫做銷售價或叫賣出價，這個量是一個經(jīng)常變化的量，我們經(jīng)常所說的“8折銷售”、“打多少折扣”，通常都說明銷售價格是在不斷變化3.利潤商品的銷售價減去成本即得到商品的利潤。4.利潤率利潤和成本的比，我們叫做商品的利潤率。利潤=銷售價（賣出價成本利潤率=利潤=銷售價-成本=銷售價－1成本成本成本銷售價銷售價=成本×（1+利潤率）或者成本=1+利潤率銷售價例題1一件商品如果以8折出售，可以獲得相當于進價20%的利潤，如果以原價出售，可以獲得相當于進價百分之幾的利潤？()A.20%B.30%C.40%D.50%【解析】此題考查利潤問題。進價+20%×進價=原價×80%，得1.2×進價=0.8×原價，則原價=1.5×進價，那么按照原價進行出售，可獲得50%的利潤。故選D。例題2某品牌的電冰箱，甲商場比乙商場的進價多10%，如果甲商場按30%的利潤定價，乙商場按40%的利潤定價，則甲商場的定價比乙商場多45元，那么，乙商場的進價是多少元？()A.2100元B.1800元C.1500元D.2600元【解析】本題考查利潤問題，可用方程式求解。設乙商場進價為x，則甲商場進價為1.1x，列方程式，1.1x×(1+30%)-x×(1+40%)=45，解得x=1500。故選C。十一、比例問題比和比例問題的關鍵和核心是弄清楚相互變化的關系，比如，b比a增加了20%，則b是a的多少？120%a又是b的多少呢？再比如，一件商品的價格為a元，第一次調(diào)價時上漲了50%，第二次調(diào)價時又下降了80%，問現(xiàn)在的價格是調(diào)價前的多少30%）。像這樣的反復變化的比例關系并無難點，關鍵是一定要弄清楚和誰比增加或者下降，現(xiàn)在是多少。以前述為例，商品的價格為a元，第一次調(diào)價時上漲了50%，則此時商品的價格為1.5a元，第二次調(diào)價時又下降了80%，則此時的價格為1.5a（1-80%）=0.3a（元）。例題1把圓的直徑縮短20%，則其面積將縮小()A.40%B.36%C.20%D.18%【解析】此題考查比例問題。原半徑為r，那么縮短直徑后的半徑為0.8r，則面積小了×100%=36%故選B。例題2地球表面的陸地面積和海洋面積之比是29：71，其中陸地的在北半球，那么南、北半球海洋面積之比是A.284：29B.113：55C.371：313D.171：113【解析】設陸地面積為29x，則海洋面積為71x，由此可各北半球陸地面積為x，則南半球陸地面積為x，又因為南北半球的面積各為50x，由此可推出南半球海洋面積為50x－北半球海洋面積為50x-則兩者之比為171：113。故選D。十二、周期問題周期問題考查得較多的是計算星期幾的問題。計算星期幾要利用每周有7天的常識，將總的天數(shù)除以7，所余之數(shù)加上原星期幾即所求的星期幾。另外，計算總的天數(shù)要注意平年和閏年的問題，陽歷把平年定為365天（2月28天陽歷有閏月的年份（即2月有29天）叫閏年，這年是366天。例題1某單位實行5天工作制，即星期一至星期五上班，星期六和星期日休息。現(xiàn)已知某月有31天，且該單位職工小王在該月休息了9天（該月沒有其他節(jié)日則這個月的6號可能是下列4天中的哪一天？()A.星期五B.星期四C.星期三D.星期一【解析】因為小王休息了9天，那么有1天必然是1號的星期天或是31號的星期六，如1號是星期天，那6號是星期五；如果31號是星期六，那么6號是星期二。故選A。A.星期二B.星期四C.星期五D.星期六【解析】計算星期幾要利用每周有7天的常識，將總的天數(shù)除以7，而此類題關鍵的是要注意閏年情況。2004年是閏年，有366天，也就是2003年7月1日至2005年7月1日有365+366=731天，除以7，可得余數(shù)3，星期二過3天是星期五。故選C。十三、分段計算問題例題1為節(jié)約用水，某市決定用水收費實行超額超收，月標準用水量以內(nèi)每噸2.5元，超過標準產(chǎn)部分加倍收費。某用戶某月用水15噸，交水費62.5元。若該用戶下個月用水12噸，則應交水費多少錢？()A.42.5元B.47.5元C.50元D.55元【解析】本題考查分段計算問題。設月標準用水量為x噸，可得：2.5x+5×（15－x）=62.5，解得x=5，則12噸水應繳2.5×5+5×7=47.5（元）。故選B。例題2某市出租汽車的車費計算方式如下：路程在3千米以內(nèi)（含3千米）為8.00元；達到3千米后，每增加1千米收1.40元；達到8千米以后，每增加1千米收2.10元，增加不足1千米按四舍五入計算。某乘客乘坐該種出租車交了44.4元車費，則此乘客乘該出租車行駛的路程為千米。A.22B.24C.26D.29【解析】出租車開到8千米時，需支付8+[（8－3）×1.40]=15（元即剩余路程要支付44.4－15=29.4（元4個選項分別還剩余14，16，18和21千米，只有A選項符合，其他選項均要為剩余路程支付超過30元的路費，應排除。故選A。十四、容斥原理問題1.兩個集合的容斥關系公式：A+B=A∪B+A∩B2.三個集合的容斥關系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A－A∩B∩C例題1一名外國游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅館休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天，他只能一天都待在屋里。期間，不下雨的天數(shù)是12天，他上午待在旅館的天數(shù)為8天，下午待在旅館的天數(shù)為12天，他在北京共待了天。A.16B.20C.22D.24【解析】設該外國游客在北京共待了x天，則下雨的天數(shù)為（x－12）天，由于下雨天他全天都待在屋里，所以他上、下午分別待在旅館的天數(shù)減去下雨的天數(shù)為不下雨的天數(shù)，于是得[8x－12）]+[12x－12）]=12,解得x=16.故選A。例題2對某單位的100名員工進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，3種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有人。A.22B.28C.30D.36【解析】依題意可知，減去所有喜歡看球賽和喜歡看戲劇的人剩下的就是只喜歡看電影的人，即10058+38－18）十五、排列、組合問題所謂排列是指從n(n?N+)個不同元素中取出m(0<m≤n,m?N+)個，然后按任意一種次序排成一列，稱為一個排列。兩個排列相同，不僅要求這兩個排列中的元素完全相同，而且各元素的先后順序也一樣，。從n個不同元素中取出m個(0<m≤n,m?N+)元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，我們把它記做A=（n－1）所謂組合是指從n(n?N+)個不同元素中取出m個（m≤n,m?N+)元素組成一組，不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。從n個不同元素中取出m個（m≤n）元素組成的所有的組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。記作C還需應試者明確的是乘法與加法原理。1.乘法原理（分步計數(shù)原理）一般地，如果完成一件事需要n個步驟，其中，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事一共有N=m1m2…mn種不同的方法。2.加法原理（分類計數(shù)原理）一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法……第k類方法中有mk種不同的做法，則完成這件事共有N=m1m2…mk種不同的方法。例題1一張節(jié)目表上原有3個節(jié)目，如果保持這3個節(jié)目的相對順序不變，再添加進去2個新節(jié)目，有多少種安A.20種B.12種C.6種D.4種【解析】本題考查排列組合問題。在原有3個節(jié)目順序不變的情況下，可加入節(jié)目的空當共有4個，當加入進去的2個節(jié)目相鄰時，共有C=8種方法，當加入進去的2個節(jié)目不相鄰時，共有CC=12種方法，則共有20種方法。故選A。例題2從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選出3個數(shù)，使它們的和為偶數(shù)，則共有多少種不同的選法？()A.40種B.42種C.44種D.46種【解析】首先，應確定這是一個組合類題。先將9個數(shù)進行奇、偶數(shù)分類，其中1，3，5，7，9為奇數(shù)，2，4，6，8為偶數(shù)。如若使任取3個數(shù)的和為偶數(shù)，則要求3個數(shù)全是偶數(shù)，或者是取1個偶數(shù)，2個奇數(shù)。具體步驟可分為兩類：一類，3個全是偶數(shù)和取法。用公式C=4。二類，1個偶數(shù)，2個奇數(shù)的取法。用公式C×C=4×10=40。最后，總的取法是一類的4加上二類的40，即4+40=44。故選C。十六、幾何問題幾何問題包含長度問題、面積問題、體積問題和計數(shù)問題，幾何問題要利用一些基本的公式求解。解決面積問題要樹立“割、補”思維，即當我們求解面積問題時，不要立刻套用公式求解，而要通過“輔助線法”將圖形分割或補全為規(guī)則圖形，從而快速求得面積。例題1現(xiàn)有邊長1m的一個木質(zhì)正方體，已知將其放入水里，將有0.6m浸入水中，如果將其分割成邊長0.25m的小正方體，并將所有的小正方體都放入水中，直接和水接觸的表面積總量為m2。A.3.4B.9.6C.13.6D.16【解析】本題為求表面積的幾何問題。由題意可知，每個正方體的側(cè)面有3浸入水中，于是每個小正方體直接和水5接觸的表面積為0.252+4由于共有個這樣的小正方體，所以這些小正方體直接和水接觸的表面積為×64=13.6。故選C。例題2用鐵絲折成一個如圖1.2所示風輪狀的圖案。其中大圓的半徑為10cm，則所用鐵絲總長為cm(π取A.31.4B.62.8C.94.2D.125.6【解析】由圖1.2可知，大圓內(nèi)每條曲線都由兩個小半圓組成，且小半圓的半徑rR（設大圓半徑為R）。鐵絲總長十七、不定方程所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知的個數(shù)通常多于方程的個數(shù)。公務員錄用考試中，不定方程相對簡單，求解過程要結(jié)合對數(shù)的特性的討論，解的范圍一般為正整數(shù)。例題1某服裝廠有甲、乙、丙、丁4個生產(chǎn)組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子?，F(xiàn)在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子則7天內(nèi)這4個組最多可以縫制衣服套。A.110B.115C.120D.125【解析】對于不定方程來說解可能有幾個，要找出最適合的，本題要找出值最大的組合。當甲、乙、丙、丁生產(chǎn)上衣的天數(shù)按照7，3，0，7的方案分配時可生產(chǎn)125套衣服，4個選項中只有D項數(shù)字最大，則7天內(nèi)這4個組最多可以縫制衣服125套。故選D。例題2甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種玩具，甲廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量每個月保持不變，乙廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量每個月增加一倍。已知1月份兩廠共生產(chǎn)玩具105件，2月份共生產(chǎn)110件。乙廠的月產(chǎn)量第一次超過甲廠是在幾月份？()A.3月份B.5月份C.6月份D.第二年8月份【解析】本題屬于較簡單的不定方程。由題意可知乙廠1月份生產(chǎn)5件玩具，則甲廠生產(chǎn)100件，則5×2n>100,解得n≧5，因此，乙廠只有在6月份產(chǎn)量第一次超過甲。故選C。牛頓問題，因由牛頓提出而得名，也有人稱這一類問題叫做牛吃草問題。英國著名的物理學家牛頓曾編過這樣一道數(shù)學題：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，如果供給25頭牛吃，可以吃幾天？牛頓問題，俗稱“牛吃草問題”，牛每天吃草，草