第三章第三章函數(shù)的概念及根本初等函數(shù)第第3講函數(shù)的奇偶性1．理解函數(shù)奇偶性的定義，以及幾何意義．2．能夠準確的判斷函數(shù)的奇偶性，并能利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，函數(shù)值等．1．奇函數(shù)、偶函數(shù)的代數(shù)特征〔1〕一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)叫做奇函數(shù)；〔2〕一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)叫做偶函數(shù)．2．奇函數(shù)、偶函數(shù)的幾何特征〔1〕奇函數(shù)圖象關于原點成中心對稱；〔2〕偶函數(shù)圖象關于軸成軸對稱．注意：1．具有奇偶性的函數(shù)的定義域關于原點對稱．2．假設奇函數(shù)在原點處有定義，那么．3．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即，，其中定義域是關于原點對稱的集合．【例1】〔1〕下面四個函數(shù)中：①，②，③，④，是奇函數(shù)的是〔〕A．①② B．②③ C．②④ D．②③④〔2〕以下函數(shù)中：①，②，③，④偶函數(shù)的個數(shù)是〔〕A．0 B．1 C．2 D．3〔3〕判斷以下函數(shù)的奇偶性．〔1〕；〔2〕；〔3〕．【變式1．1】〔多項選擇〕以下函數(shù)是奇函數(shù)的是〔〕A． B．C． D．【變式1．2】〔多項選擇〕以下函數(shù)中，是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減的函數(shù)是〔〕A． B．C． D．1．函數(shù)奇偶性的判斷方法〔1〕定義法=1\*GB3①判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱=2\*GB3②計算=3\*GB3③判斷與的關系：當或時，為偶函數(shù)；當或時，為奇函數(shù)；當或時，為非奇非偶函數(shù)．〔2〕奇偶性的“運算〞=1\*GB3①奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)=2\*GB3②奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)2．常見的奇偶性模型=1\*GB3①為偶函數(shù)；=2\*GB3②為奇函數(shù)；=3\*GB3③為奇函數(shù)；=4\*GB3④為奇函數(shù)；=5\*GB3⑤為奇函數(shù)；=6\*GB3⑥類似于這種由冪函數(shù)乘以一個系數(shù)再相加形式的函數(shù)，當為奇函數(shù)時，偶次項系數(shù)都為0，即；當為偶函數(shù)時，奇次項系數(shù)都為0，即．3．分段函數(shù)的奇偶性判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性，應判斷每段期間上與的關系，只有每段函數(shù)都滿足相同的奇偶關系，我們才能說函數(shù)具有奇偶性．【例2】函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，那么〔〕A． B． C．4 D．【變式2．1】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，并且當時，，那么______．【例3】，且，那么的值是〔〕A．－5 B．－7 C．5 D．7【變式3．1】，，那么______．【變式3．2】函數(shù)的最大值為，最小值為，那么等于___________．【變式3．3】函數(shù)的定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，且，假設，那么__________．【變式3．4】，，且，那么_________．【例4】函數(shù)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，，那么函數(shù)__________．【變式4．1】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么當時，_________．【例5】是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，那么當時，_________．【變式5．1】定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，假設恒成立，那么實數(shù)的取值范圍為〔〕A． B． C． D．【例6】函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，且，那么〔〕A． B． C． D．【變式6．1】是定義在上的奇函數(shù)，，假設，，那么〔〕A．2 B． C．2或 D．2或1【例7】函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么〔〕A． B． C． D．【變式7．1】是定義在上的奇函數(shù)，當時，，__________．【例8】函數(shù)為偶函數(shù)，那么不等式的解集為〔〕A． B．C． D．【變式8．1】函數(shù)是奇函數(shù)，那么的值等于__________．【變式8．2】函數(shù)是奇函數(shù)，那么_________．【例9】是定義域為的偶函數(shù)，那么〔〕A． B． C． D．【變式9．1】函數(shù)為奇函數(shù)，那么〔〕A． B． C． D．1【變式9．2】設函數(shù)，均是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足，那么的值為〔〕A． B． C． D．【例10】奇函數(shù)，那么不等式的解集為________．【變式10．1】函數(shù)是奇函數(shù)，那么__________．1．利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的方法〔1〕假設函數(shù)定義域含有參數(shù)，那么可以利用奇〔偶〕函數(shù)定義域關于原點對稱的性質求解；〔2〕假設函數(shù)解析式含參數(shù)=1\*GB3①對于在處有定義的奇函數(shù)，利用求解；=2\*GB3②可以利用奇〔偶〕函數(shù)與的關系求解．一、選擇題．1．假設函數(shù)，，那么〔〕A．為奇函數(shù)，為偶函數(shù) B．與均為偶函數(shù)C．為偶函數(shù)，為奇函數(shù) D．與均為奇函數(shù)2．設函數(shù)，那么以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是〔〕A． B． C． D．3．函數(shù)，，，那么〔〕A． B． C． D．4．假設函數(shù)為奇函數(shù)，那么〔〕A．1 B．2 C．3 D．5．設為奇函數(shù)，且當時，，那么當時，〔〕A． B． C． D．6．設為定義在R上的奇函數(shù)，當時，〔a為常數(shù)〕那么的值為〔〕A． B． C． D．6二、填空題．7．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，．寫出的一個解析式為__________．8．函數(shù)是偶函數(shù)，那么實數(shù)__________．9．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么________．10．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，那么___________．11．函數(shù)〔常數(shù)，〕是偶函數(shù)，且它的值域為，那么該函數(shù)的解析式__________．三、解答題．12．函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當時，．〔1〕求函數(shù)在的解析式；〔2〕當時，假設，求實數(shù)m的值．13．〔1〕是上的奇函數(shù)，當時，，求時，的解析式；〔2〕設為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，求和的解析式．答案與解析答案與解析【例1】〔1〕【答案】B【解析】對①，函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)；對②，恒成立，故函數(shù)定義域為，關于原點對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)；對③，由可解得，即函數(shù)定義域為，關于原點對稱，且，故函數(shù)為奇函數(shù)；對④，函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，綜上，②③為奇函數(shù)，應選B．〔2〕【答案】C【解析】①，定義域是，滿足，所以是奇函數(shù)；②，定義域是，定義域不關于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)；③，定義域是R，滿足，所以是偶函數(shù)；④，定義域是，當時，；當時，，滿足，所以是偶函數(shù)，應選C．〔3〕【答案】〔1〕函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；〔2〕函數(shù)是偶函數(shù)；〔3〕答案見解析．【解析】〔1〕因為函數(shù)的定義域為，不關于坐標原點對稱，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．〔2〕易知函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又當時，，那么當時，，故；當時，，那么當時，，，故原函數(shù)是偶函數(shù)．〔3〕函數(shù)的定義域為，當時，，所以是偶函數(shù)．當時，，，，且，所以是非奇非偶函數(shù)．【變式1．1】【答案】AD【解析】對于A，定義域為，，是奇函數(shù)；對于B，定義域為，不關于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)；對于C，定義域為，，是偶函數(shù)；對于D，定義域為，，是奇函數(shù)，應選AD．【變式1．2】【答案】ACD【解析】對于A，設，該函數(shù)的定義域為R，且，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，又函數(shù)在上恒成立且單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，設，該函數(shù)的定義域為R，且，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，設，該函數(shù)的定義域為，且，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，故C正確；對于D，設，定義域為R，且當時，；當時，，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，當時，，單調(diào)遞減，故D正確，應選ACD．【例2】【答案】B【解析】由題設知：，應選B．【變式2．1】【答案】【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，故答案為．【例3】【答案】A【解析】因為，令，，那么，即為奇函數(shù)，又，所以，所以，所以，所以，應選A．【變式3．1】【答案】【解析】∵，∴，即為奇函數(shù)，∴，故，故答案為．【變式3．2】【答案】8【解析】，，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因此，因此，故答案為8．【變式3．3】【答案】【解析】因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，故答案為．【變式3．4】【答案】【解析】設，因為，所以是奇函數(shù)，又，，，，故答案為．【例4】【答案】【解析】因為，所以，又分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以；所以，那么，兩式相加得，所以，故答案為．【變式4．1】【答案】【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么當時，，，故，故答案為．【例5】【答案】【解析】當時，，當時，那么，∴，由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，那么當時，，故答案為．【變式5．1】【答案】B【解析】因為定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，所以，所以，所以，因為，所以，令，那么，，由二次函數(shù)的性質知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以的值域為．因為恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，應選B．【例6】【答案】B【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，．又，那么，解得，應選B．【變式6．1】【答案】C【解析】是奇函數(shù)，，，而，，所以，解得或，應選C．【例7】【答案】A【解析】函數(shù)的圖象關于原點對稱，可得在定義域上為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質，令，可得，又，，，故，應選A．【變式7．1】【答案】【解析】是定義在上的奇函數(shù)，又當時，，，，當時，，，故答案為．【例8】【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以，得，所以，所以不等式可轉化為或，即或，解得或，故原不等式的解集為，應選A．【變式8．1】【答案】或【解析】為奇函數(shù)，，即，，整理可得，，解得．當時，，；當時，，，綜上所述：或，故答案為或．【變式8．2】【答案】1【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，，即，，，，故答案為1．【例9】【答案】B【解析】∵在上是偶函數(shù)，∴，解得，所以的定義域為，，∵在區(qū)間上是偶函數(shù)，所以有，代入解析式可解得，∴，應選B．【變式9．1】【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為且，因為為奇函數(shù)，所以定義域關于原點對稱，那么，所以，因為，滿足為奇函數(shù)，應選D．【變式9．2】【答案】D【解析】∵函數(shù)，均是定義域為的偶函數(shù)和奇函數(shù)，即有，解得，∵，有，解得，，應選D．【例10】【答案】【解析】因為是奇函數(shù)且，所以，所以，所以不等式等價于或，所以，所以不等式的解集為，故答案為．【變式10．1】【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，設，那么，，，即，，故，，當時，滿足，故答案為．一、選擇題．1．【答案】C【解析】且定義域為，那么為偶函數(shù)；且定義域為，那么為奇函數(shù)，應選C．2．【答案】B【解析】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)，應選B．3．【答案】B【解析】由題得，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以，應選B．4．【答案】A【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以定義域必須關于原點對稱，由題意得，即，所以，又當時，，滿足，函數(shù)是奇函數(shù)，所以成立，應選A．5．【答案】D【解析】設，那么，，設為奇函數(shù)，，即，應選D．6．【答案】A【解析】由題意知：，即，那么，∴時，，由奇函數(shù)對稱性知：，應選A．二、填空題．7．【答案】〔答案不唯一〕【解析】二次函數(shù)，顯然滿足，所以該函數(shù)是偶函數(shù)，由，由，所以，故答案為．8．【答案】1【解析】因為，且是偶函數(shù)，那么，，，，即，所以實數(shù)，故答案為1．9．【答案】11【解析】，，當時，，，即，，，，，故答案為11．10．【答案】2【解析】，設，那么，那么為奇函數(shù)，函數(shù)的最大值為，最小值為，那么，，，故答案為2．11．【答案】【解析】，定義域為，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，即或．當時，，值域不是，舍去；當時，，所以，那么，故答案為．三、解答題．12．【答案】〔1〕；〔2〕或．【解析】〔1〕令，那么，由，此時．〔2〕由，，所以，解得或或〔舍〕．13．【答案】〔1〕；〔2〕，．【解析】〔1〕由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，當時，，所以．所以．〔2〕由于為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，所以，即，由，解得，．維權聲明江西多寶格教育咨詢〔旗下網(wǎng)站：好教育://〕鄭重發(fā)表如下聲明：維權聲明一、本網(wǎng)站的原創(chuàng)內(nèi)容，由本公司依照運營規(guī)劃，安排專項經(jīng)費，組織名校名師創(chuàng)作，經(jīng)由好教育團隊嚴格審核通校，按設計版式統(tǒng)一精細排版，并進行版權登記，本公司擁有著作權；二、本網(wǎng)站刊登的課件、教案、學案、試卷等內(nèi)容，經(jīng)著作權人授權，本公司享有獨