目錄/CONTENTS題型突破核心歸納知識導圖高頻考點知識導圖1．空間向量的有關概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一個平面的向量—核心歸納2.空間向量中的有關定理(1)共線向量定理空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．(2)空間向量數(shù)量積的運算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).5.空間位置關系的向量表示(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量．(3)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0【例1】如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點.求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.題型一：應用空間向量證明位置關系證明

(1)如圖所示,以A為坐標原點,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Axyz.設PA=AD=a,AB=b,則有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M,N分別為AB,PC的中點,巧用空間向量證明空間中的位置關系(1)線面平行：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②可在平面內(nèi)找到一個向量，證明其與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示．(2)線面垂直：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題．(3)面面平行：①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．(4)面面垂直：①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題．【變式1-1】如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有側(cè)棱長及底面邊長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.(方法3)如圖,取BC,B1C1的中點O,O1,連接AO,OO1.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,O,O1都為中點,所以OB⊥OO1.又平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1,所以AO⊥OO1.如圖所示,建立空間直角坐標系Oxyz,則B(1,0,0),D(-1,1,0),【例2】如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被平面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點C到平面AEC1F的距離.題型二：應用空間向量求空間距離解

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).設F(0,0,z).由題意得AEC1F為平行四邊形,向量法求點面距離的步驟

【變式2-1】在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CC1的中點.(1)求證:AD∥平面A1EFD1;(2)求直線AD與平面A1EFD1的距離.(1)證明

如圖,以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),所以所以DA∥D1A1.又D1A1?平面A1EFD1,DA?平面A1EFD1,所以DA∥平面A1EFD1.【變式2-2】如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．(1)求證：MN∥平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離．（1）∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．∴DD1⊥平面ABCD，DE⊥AD．以D為原點，DA為x軸，DE為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，如圖.【點評】本題考查線面平行的證明，點到平面的距離的求法，空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識以及推理能力與計算能力，屬于中檔題．【例3】如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點且B1M=2,點N在線段A1D上,A1D⊥AN.(1)求異面直線A1D與AM所成的角;(2)求直線AD與平面ANM所成角θ的正弦值;(3)求平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.題型三：應用空間向量求空間角解

以A為原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(5,0,0),D(0,8,0),A1(0,0,4),M(5,2,4).【變式3-3】在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=PD=2,CD=4,E是PB的中點.(1)求異面直線AE與CP所成角的余弦值;(2)若點F∈平面ABCD,且EF⊥平面PBC,求點F的坐標;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.解

(1)如圖所示建立空間直角坐標系Dxyz.由題意得A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,4,0).∵E為PB的中點,∴E(1,1,1),題型四：空間中的折疊與探究性問題【例4-2】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中點.(1)求證:A1B∥平面ADC1.(2)求平面ADC1與平面ABC夾角的余弦值.(3)線段A1B1上是否存在點E,使AE與DC1成60°角?若存在,確定點E的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明

連接A1C,交AC1于點O,連接OD,如圖.由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點.又D為BC的中點,所以OD為△A1BC的中位線,所以A1B∥OD.因為OD?平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)解

由于棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1兩兩垂直,以B為原點,分別以BC,BA,BB1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz.(3)解

存在.假設存在滿足條件的點E.因為點E在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),解決存在性問題的基本策略假設題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若能推導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實,說明假設成立,即存在,并可進一步證明;若推導出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論,則說明假設不成立,即不存在.【變式4-2】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求證:PD⊥PB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求

的值;若不存在,說明理由.(1)證明

∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD,∴