高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2吉林省BEST合作體”2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊(cè)至選擇性必修第三冊(cè)第六章6.1.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某商場(chǎng)東面和西面均有4個(gè)門，北面和南面均有3個(gè)門，若某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，則進(jìn)入商場(chǎng)的不同方式共有（）A.12種 B.24種 C.7種 D.14種〖答案〗D〖解析〗由題意進(jìn)入商場(chǎng)的不同方式共有種.故選：D.2.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?又，所以.故選：A.3.在公差為的等差數(shù)列中，，則（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，所以，解得，故，故B正確.故選：B4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以恒成立，則，解得，所以的最大值為.故選：C.5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.-3 B.3 C.-2 D.2〖答案〗B〖解析〗若，，變形得到，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；故選：B.6.定義新運(yùn)算.已知函數(shù)，，，則下列區(qū)間中，單調(diào)遞增為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，令，則即，所以，所以，所以，所以，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.7.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，，則（）A.28 B.14 C.20 D.10〖答案〗A〖解析〗設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，故選：A8.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以且，則，故，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍是.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.一個(gè)質(zhì)量為4kg的物體做直線運(yùn)動(dòng)，該物體的位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為，且（表示物體的動(dòng)能，單位：J；m表示物體的質(zhì)量，單位：kg；v表示物體的瞬時(shí)速度，單位：m/s），則（）A.該物體瞬時(shí)速度的最小值為1m/s B.該物體瞬時(shí)速度的最小值為2m/sC.該物體在第1s時(shí)的動(dòng)能為16J D.該物體在第1s時(shí)的動(dòng)能為8J〖答案〗AD〖解析〗由題意得，則該物體瞬時(shí)速度的最小值為，A正確，B錯(cuò)誤.由，得，所以該物體在第時(shí)的動(dòng)能為，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A.可能為等差數(shù)列 B.不可能為等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為等差數(shù)列，所以A正確．對(duì)于B，當(dāng)為常數(shù)列，且時(shí)，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以為等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，設(shè)的公差為，則，得，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，所以C正確．對(duì)于D，設(shè)的公比為，則，當(dāng)時(shí)，不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，所以D錯(cuò)誤．故選：AC11.已知函數(shù)，存在n個(gè)零點(diǎn)，，則（）A.為偶數(shù) B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗若，則函數(shù)沒零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令可得所以令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故時(shí)，取極大值也為最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，故故當(dāng)有解時(shí)，所以故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則圖象關(guān)于對(duì)稱，故當(dāng)函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：設(shè)函數(shù)零點(diǎn)從左至右依次為，則則，選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從6件不同的禮物中選出3件送給3位同學(xué)，每人1件，不同的選法種數(shù)是________.〖答案〗120〖解析〗由題意得，先從6件禮物中任選3件，共有不同的方法，然后選出3件送給3位同學(xué)，每人1件，共有不同的方法，所以由分步乘法原理可知共有不同的方法，故〖答案〗為：12013.若函數(shù)在區(qū)間上有極值，則a取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗由求導(dǎo)可得，，因函數(shù)在區(qū)間上有極值，則方程在區(qū)間上有實(shí)根，故須使，（若，得，此時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值）解得或且方程在區(qū)間上有實(shí)根，也即函數(shù)與在區(qū)間上有交點(diǎn).因在上遞減，在上遞增，且，，故，即，解得，又或，故a的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.在數(shù)列中，，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗由已知有，故，又，所以是等差數(shù)列，所以，所以，則，所以，因?yàn)榇嬖?，使得不等式，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）證明：為等比數(shù)列.（2）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由，，可得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，即，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列；（2）因?yàn)?，，，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由（1）知，，所以①，②，①-②得，故.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.17.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，b；（2）若，，求a的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，又，所以，由題意，又即，兩式聯(lián)立解得.（2）由，得，即，當(dāng)時(shí)，R，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上，a的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）求的極值.（2）已知，且.①求的取值范圍；②證明:.解：（1）由題意，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值.（2）①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因?yàn)?，，由?）的單調(diào)性可知，令，則，因?yàn)椋?，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故成立.19.函數(shù)稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)最大整數(shù)，例如：．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，定義數(shù)列滿足．（1）求的值；（2）設(shè)，從全體正整數(shù)中除去所有，剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列．①求的通項(xiàng)公式；②證明：對(duì)任意的，都有．解：（1）由，得，則，所以；由，得，則，所以.（2）①依題意，，則，對(duì)于給定的，存在唯一確定的，使得，即，而，則當(dāng)時(shí)，，設(shè)，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，此時(shí)，即，因此，恰好跳過(guò)，即所有正整數(shù)中恰好少了，因?yàn)?，所?②由，得，則為遞增數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，則，所以對(duì)任意的，都有.吉林省BEST合作體”2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊(cè)至選擇性必修第三冊(cè)第六章6.1.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某商場(chǎng)東面和西面均有4個(gè)門，北面和南面均有3個(gè)門，若某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，則進(jìn)入商場(chǎng)的不同方式共有（）A.12種 B.24種 C.7種 D.14種〖答案〗D〖解析〗由題意進(jìn)入商場(chǎng)的不同方式共有種.故選：D.2.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?又，所以.故選：A.3.在公差為的等差數(shù)列中，，則（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)椋?，解得，故，故B正確.故選：B4.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以恒成立，則，解得，所以的最大值為.故選：C.5.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.-3 B.3 C.-2 D.2〖答案〗B〖解析〗若，，變形得到，，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；故選：B.6.定義新運(yùn)算.已知函數(shù)，，，則下列區(qū)間中，單調(diào)遞增為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，令，則即，所以，所以，所以，所以，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.7.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，，則（）A.28 B.14 C.20 D.10〖答案〗A〖解析〗設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，由，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，故選：A8.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以且，則，故，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍是.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.一個(gè)質(zhì)量為4kg的物體做直線運(yùn)動(dòng)，該物體的位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為，且（表示物體的動(dòng)能，單位：J；m表示物體的質(zhì)量，單位：kg；v表示物體的瞬時(shí)速度，單位：m/s），則（）A.該物體瞬時(shí)速度的最小值為1m/s B.該物體瞬時(shí)速度的最小值為2m/sC.該物體在第1s時(shí)的動(dòng)能為16J D.該物體在第1s時(shí)的動(dòng)能為8J〖答案〗AD〖解析〗由題意得，則該物體瞬時(shí)速度的最小值為，A正確，B錯(cuò)誤.由，得，所以該物體在第時(shí)的動(dòng)能為，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A.可能為等差數(shù)列 B.不可能為等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，當(dāng)為常數(shù)列時(shí)，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以為等差數(shù)列，所以A正確．對(duì)于B，當(dāng)為常數(shù)列，且時(shí)，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以為等比數(shù)列，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，設(shè)的公差為，則，得，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，所以C正確．對(duì)于D，設(shè)的公比為，則，當(dāng)時(shí)，不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，所以D錯(cuò)誤．故選：AC11.已知函數(shù)，存在n個(gè)零點(diǎn)，，則（）A.為偶數(shù) B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗若，則函數(shù)沒零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令可得所以令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故時(shí)，取極大值也為最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，故故當(dāng)有解時(shí)，所以故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則圖象關(guān)于對(duì)稱，故當(dāng)函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D：設(shè)函數(shù)零點(diǎn)從左至右依次為，則則，選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從6件不同的禮物中選出3件送給3位同學(xué)，每人1件，不同的選法種數(shù)是________.〖答案〗120〖解析〗由題意得，先從6件禮物中任選3件，共有不同的方法，然后選出3件送給3位同學(xué)，每人1件，共有不同的方法，所以由分步乘法原理可知共有不同的方法，故〖答案〗為：12013.若函數(shù)在區(qū)間上有極值，則a取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗由求導(dǎo)可得，，因函數(shù)在區(qū)間上有極值，則方程在區(qū)間上有實(shí)根，故須使，（若，得，此時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值）解得或且方程在區(qū)間上有實(shí)根，也即函數(shù)與在區(qū)間上有交點(diǎn).因在上遞減，在上遞增，且，，故，即，解得，又或，故a的取值范圍為.故〖答案〗為：.14.在數(shù)列中，，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使得不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗由已知有，故，又，所以是等差數(shù)列，所以，所以，則，所以，因?yàn)榇嬖?，使得不等式，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）證明：為等比數(shù)列.（2）若，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）由，，可得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減得，即，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列；（2）因?yàn)?，，，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由（1）知，，所以①，②，①-②得，故.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上的值域?yàn)?（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在