1.6平面直角坐標系中的距離公式

基礎過關練

題組一兩點間的距離公式及其應用

1.(2020安徽合肥六校高二上期末)已知點4(2,-1),6(2,3),則|初二()

A.4B.V2C.8D.2V2

2.(多選題)設點4(3,4),在x軸上有一點P(x,0),使得|為|=5,則x可以為()

A.OB.1

C.3D,6

3,△血的頂點分別是展7,8),8(10,4),。(2,-4),則△力寬的邊究上的中線力〃的長為

()

A.9B.8

C.V65D.6

4.(2021天津師范大學附屬中學高二上第一次月考)已知過點M(-2,a),Ma,4)的直線的斜率

為則I做V等于()

A.10B.180

C.6百D.6V5

5.(2020福建平和第一中學高三上第一次月考)已知點4(0,1),點8在直線廣戶1=0上運動.

當|4￡|最小時，點8的坐標是()

A.(~1,1)B.(-1,0)

C.(0,-1)D.(-2,1)

6.(2021遼寧大連第一中學高二上月考)設點［在x軸上，點6在y軸上，線段力8的中點是

夕⑵-1),則|48等于.?

7.(2020河北保定第一中學高一下期末)已知△力鴕的頂點J(-3,1),5(3,-3),C(1,7).

證明:△A8C為等腰直角三角形.

8.如如點P(6,4),0(-2,1),片是點P關于x軸的對稱點,連接片。交x軸于點M.

(1)求點"的坐標；

⑵求|網(wǎng)+|施I的值;

⑶“是才軸上不同于點M的任意一點,試比較1M+M與IM+I嗣的大小.

題組二點到直線的距離公式及其應用

9.(2021安徽合肥第一中學高二上第二次月考)點尸(x,力在直線廣廠4二0上,0是坐標原點,則

@1的最小值是()

A.V7B,遙C,2V2D.V5

10.已知點X4,1)到直線7:廣的H=0的距離為3,則實數(shù)爐()

02/23

A.OB.（C.31）.0或（

11.（多選題）（2021河北石家莊第一中學高二上第一次月考）已知〃是4軸上的點,點P到直線

3六4六6二0的距離為6,則產(chǎn)點坐標可以為（）

A.（-6,0）B.（-12,0）

C.（8,0）D.（6,0）

12.（2021安徽六安舒城中學高二上第二次月考）點八2,3）到直線上已戶廣2于0的距離為d,則

"的最大值為（）

A.3B.4C.5D.7

13.（多選題）（2020四川宜賓高二上期末）已知直線上四+#2=0,若點力（-1,-2）,5（3,6）到直線

1的距離相等,則實數(shù)a的值可以是（）

A.-4B.4C.-2D.2

14.（2021山東濟寧實驗中學高二月考）點尸（-5,7）到直線12e5廠1=0的距離為.?

15.在直線好3尸0上求一點2使它到原點的距離與到直線戶3尸2=0的距離相等.

16.（2021福建廈門二中高二月考）已知直線切戶r2次3二0恒過定點4若直線,經(jīng)過點力且坐

標原點到直線1的距離等于2,求直線1的方程.

17.（2020湖南張家界第一中學高一下第二次月考）己知點4（1,3）,M3,1）,（7（-2,0）.

（1）求直線力/?的方程；

（2）求△力比的面積,

題組三兩條平行線間的距離公式及其應用

18.(2021江西南昌第二中學高二上第一次月考)直線九3滸4尸7二0與直線4:6e8尹1二0間的

距離為()

A.8B.4C.-D.-

52

19.(2020北京東城高三一模線上統(tǒng)練)兩條平行直線2尸戶3二0和①尸4二0間的距離為d,

則當，的值分別為()

A.a=6,上四B.a=-6,廬漁

33

C.a=6,D.a=-6,

20.到直線3尸4廠1二0的距離為2的直線的方程是.?

21.若兩平行線分別經(jīng)過點4(5,0),6(0,12),則它們之間的距離d的范圍是.?

22.(2021安徽合肥肥東高級中學高二上第二次月考)已知直線

九：六尸0,12：2丫+六3=0,13：。六2產(chǎn)4=0.

⑴若點P在人上,且到人的距離為3V5,求點2的坐標；

⑵若心〃4求心與4的距離.

能力提升練

題組一兩點間的距離公式及其應用

1.(*)己知點4(1,2),5(-1,1),r(0,-l),0(2,0),則四邊形ABCD的形狀為()

A.梯形B.平行四邊形

04/23

C.菱形D.正方形

2.(2020江蘇淮安重點中學高一下聯(lián)考,*；)設加￡R,過定點A的動直線外加尸0和過定點￡的

動直線底廣冊3二0交于點P(x,力，則|陽|、|用「的值為()

A.5B,10C,—D,舊

2

3.(2021安徽蚌埠田家炳中學高二上月考,外■)已知點必(4,3),過原點的直線,與直線廠3交于

點4若I朋二2,則直線1的方程為.?

4.(2020內(nèi)蒙古包頭高一下學期期末,的已知點4(-3,0),8(1,0),以0,3),試求點〃的坐標,

使四邊形力筋為等腰梯形.

5.(2020安徽蕪湖高二上期末,*：)著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬

事休「事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點，求

f(x)=W+4,+20+V叉2+2.+10的最小值.

題組二點到直線的距離公式及其應用

6.(2020內(nèi)蒙古呼和浩特高一下開學調(diào)研,*之)直線尸2=0和直線心3代尸10=0的夾角

平分線的方程為()

A.x+2六4=0

B.x-2j^6=0

C.x十2二4二0或2尸廠6二0

D.x十2二4二0或尸2二6二0

7.(2021黑龍江雙鴨山第一中學高二月考,鈉點?(2,3)到直線:左廣(年1)戶3:0的距離d最大

時，4與a的值依次為（）

A.3,-3B.5,2

C.5,1D.7,1

8.（2020陜西安康二中高一上期末,已知實數(shù)％y滿足3尸4二6二0,則，產(chǎn)+儼-2丫+1的最

小值為（）

A.2B.-C.-D."

555

9.（*）已知在44比中,點4（1,1）,以加,而）（1＜冰4）,。4,2）,當刃為何值時,的面積S

最大？

題組三兩條平行線間的距離公式及其應用

10.（2021天津第四十二中高二上階段性學情調(diào)查,#?）若兩條平行直線4:七2廣后0（粉0）與

，2：2戶〃尸6二0之間的距離是2而,則肝爐（）

A.3B.-17

C.2D,3或T7

1L（如:）已知/〃,〃，&力￡R,且滿足321爐6,3^4/F1,則J（m-a）2+（九-b）2的最小值

為.?

12.（2019重慶巴蜀中學高二月考,*）已知直線1經(jīng)過點力（2,4）,且被平行直線71:尸八1二0與

七片廠1=0所截得的線段的中點"在直線戶廠3=0上,求直線1的方程.

題組四與距離有關的綜合問題

13.（2020江蘇連云港海州高級中學高一下第二次階段檢測，嫩）若動點力評分別在直線

06/23

人:盧二7二0和乙:產(chǎn)廠5二0上移動，則用的中點M到原點的距離的最小值為（）

A.3近B.2或

C.3V3D.4企

14.（2020江西南昌外國語學校高二聯(lián)考,*?）己知動直線上己加加52二0（於0,80）恒過點

戶（1,歷）且點0（4,0）到動直線1的最大距離為3,則;+3的最小值為（）

2（1C

A99

?

?24C.1D.9

15.（2021重慶第一中學高二上月考,"）已知點/（-2,1）,6（1,2）,C為直線理x上的一動點,

則I/C|+1BC\的最小值為.?

16.（2021山西朔州懷仁一中高二上第二次聯(lián)考，"）對于平面直角坐標系內(nèi)任意兩點

4（島7,）,6（用力,定義它們之間的一種“折線距離”：d（A,&=|s|+|斤w|.則下列命題正

確的是.（寫出所有正確命題的序號）？

①若力（7,3）,8（1,0）,則d（A,切=5;

②若點C在線段AB￡則外4而二小4冊;

③在△/比中,一定有d（A,0+d（C8〉d（4B）;

④若A為坐標原點,點3在直線2戶廣2遙二0上,則d（4而的最小值為百.

17.（*：）己知正方形4方9的中心M-1,0）和切邊所在的直線方程為廣3廠5=0,求其他三邊所

在直線的方程.

18.（2019湖北襄陽高二檢測，姨）如缸已知直線小桿二1二0,現(xiàn)將直線人向上平移到直線h

的位矍若h/和兩坐標軸所圍成的梯形/筋的面積為4,求直線&的方程.

答案全解全析

基礎過關練

l.A\AB\二J(2-2/+討+1產(chǎn)=4,故選卜.

2.AD由|例=5,得(4-0)2=5,即(3-力4(4-0)2:25,

整理得V-6尸0,解得尸6或產(chǎn)0.

故選AD.

3.C設點〃的坐標為(屈力，則苫=6,嚀二0,即點〃的坐標為(6,0)?

闊二J(6-7/+(0一8)2二病.

故選C.

4.D:過點M-2,a),Ma,4)的直線的斜率為廣=弓解得斫10,

a+22

：.\MM=J(Q+2)2+(4-fl)2=J(10+2)2+(4-10)2=6A/5.故選D.

5.B因為點8在直線戶戶1=0上運動,所以設點8的坐標為(x,-『1),由兩點間的距離公式可

知，|AB\=J(x-0)2+(-x-1-1)2=V2X2+4x+4=^2(x+1)2+2,顯然4-1時，I仍有最小值,

08/23

最小值為應,此時點6的坐標是(T,0),故選B.

6.答案2V5

解析因為點A在彳軸上，點5在y軸上,且線段的中點是P(2,-1),所以1(4,0),6(0,-2),

所以|48=J(0-4)2+(-2-0)2=2V5.

7.證明因為

|^|=J[3-(-3)]2+(-3-DMV13,

|5d=J(l-3)2+[7-(-3)]2=2V26,

IAC\=J[l-(-3)]2+(7-l)2=2V13,

所以|3|2+|〃T二|8C|：且I的二|“1.

所以△4比為等腰直角三角形.

8.解析(1)根據(jù)題意可知匕(6,-4),

又0(-2,1),

所以而通=笑=-*

所以直線幺。的方程為尸1=《(廣2),

整理可得5戶8六2二0.

令片0,解得A=-1,

所以點"的坐標為

⑵根據(jù)題意I網(wǎng)+1闋=I郵1+1闌二I。川，

由R(6,-4),0(-2,1),得|。川二J(6+2)<+(-4-1)2二屈.

所以+婚|二儷.

⑶|臚|+|用二|朋|十|闋，

I網(wǎng)+|附同兩國網(wǎng)二I的L

在△△沙)中，由兩邊之和大于第三邊，

知I州1+1網(wǎng)〉1。川，

所以陷|十|網(wǎng)〉|如I+MI.

9,C由題意知J您I的最小值即原點到直線抬=4=0的距離,為號皆夫2式.故選C

Vl2+12V2

10.1)因為點M(4,1)到直線/:廣叼T=0的距離為3,所以粵=43,解得爐0或舄,故選D.

vl2+m24

11.BC設點尸(a,0),

則點產(chǎn)到直線3『4片6=0的距離內(nèi)產(chǎn)+6i_」316__6,

^32+(-4)2

解得折8或a=-12,

所以尸點坐標為(T2,0)或(8,0).

故選BC.

12.A解法一:易得直線/:產(chǎn)-以六2),據(jù)此可知直線/恒過定點1/(2,0),

10/23

當直線時,"有最大值,

結合兩點間的距離公式,可得d的最大值為J(2-2/+(3-0)2二3.故選A.

解法二:由點到直線的距離公式有沙與警故選A.

va2+lva2+l

13.AC點4(-1,-2),6(3,6)到直線戶2=0的距離相等,

*即1PH3K81,解得所-4或無-2.

va2+lVa2+1

故選AC.

14.答案2

解析點〃(-5,7)到直線12戶5廠1二0的距離為廬弋］；)2：；了1二2.

15.解析設點P的坐標為HU,。，

則J(Tt)2十代嗡弟,

解得i=±i

..?點/的坐標為(-11)或(|,力

16.解析由m戲廣2nr3=0得(尸2)冊廠3:0,由｛；_：二,得0(2,3).

由直線1經(jīng)過點A且坐標原點到直線1的距離等于2,得

當直線1的斜率不存在時,直線1的方程為產(chǎn)2,滿足題意.

當直線1的斜率存在時,設直線1的方程為尸32(尸2),即4尸廠2%+3=0,

原點0（0,0）到直線1的距離廬若1=2,解得小,

vl+kz12

則直線1的方程為廠3磊（尸2）,即5『12戶26二0.

綜上,直線1的方程為產(chǎn)2或5尸12尹26二0.

17.解析（1）由已知得〃后詈-1,

則直線友的方程為廣3=-（尸1）,

即戶廣4=0.

（2）由⑴得點以-2,0）到直線AB的距離為號二3/.

V1+1

又|AB\二J（3-11+（1一3/二2七

A^^X2V2X3V2=6.

18.D將直線L的方程3戶4片7=0整理為6戶8廠14二0.

因為直線人的方程為6戶8戶1=0,

所以直線Z與直線4間的距離盧姿

V6z+8Z2

故選D.

19.B??,兩條直線為平行直線，

???2X3=1?a,解得爐一6,

.,?直線科3尸4二0的方程為-6熄尸4二0,即2匕片=°,

12/23

故選B.

20.答案3尸4『11=0或3『4戶9=0

解析設所求直線的方程為3『4尹伐0(m-1),根據(jù)兩條平行線間的距離公式得

c+i二義二2,解得小-11或小9,

"⑷25

所以所求直線的方程為3『4廠11=0或3f4六9二0.

21.答案(0,13]

解析易知當兩平行線與直線48垂直時"最大，

即二13,所以0〈共13,故距離d的范圍是(0,13].

22.解析⑴設P(t,￡),由三黑二3通,得|t-11=5,Z.t=-4或￡=6,

V5

；?點戶的坐標為(-4,-4)或(6,6).

⑵由人〃&得折-4,

工[2：2#■廠3=0,4:-4六2尸4=0,即2戶片2=0,

.32與4的距離由一胃二鼻

V55

能力提升練

1.D由兩點間的距離公式可得，

|初二(1-2產(chǎn)二低

|^|=J(O+l)2+(-1-1)2二6

1(2-0)2+(o+l)2二圾

IDA|=J(l-2)2+(2-0)2=V5,

所以I股|二|比|二|0|二|加

又|四|二一0-1)2+(-1-2)2二國，

31=](2+1)2+(0-l)2=V10,

所以M小M,

故四邊形力物是正方形.故選D.

2.B由題意,動直線戶礦0過定點(0,0),則2(0,0),

動直線/nx一廠m3二。變形得〃(尸1)+(3-力=0,則6(1,3),

(X-my=0,^^m2-3m3-m\

\mx-y-m+3=0,可\m2+i*m2+i/

(m2-3m)，(3-m)2+(3m+l)，(3m2+m)2

(m2+l)2

_m46m3+9m2+9-6m+m2+9ni2+6m+l+9m4+6m3+m2

(m2+l)2

_107714+20/+10_1下

(必+1)2?

14/23

故選B.

3.答案3尸2尸0或尸2尸0

解析設點A的坐標為93),則|2+(3-3)2=2,解得(=2或b6,

當t=2時，點A的坐標為(2,3),則直線1的斜率為|,此時直線1的方程為尸|乂即3尸2尸0;

當仁6時，點A的坐標為(6,3),則直線1的斜率為;,此時直線1的方程為產(chǎn)即『2尸0.

綜上所述,直線1的方程為3尸2尸0或尸2片0.

4.解析設點〃的坐標為(乂力.

①若四〃徵,|加|二|初，

?=3,

"，(0-1)2+(3-0)2=J(%+3)2+y2,

解得k3飛H

2,

當C:3時，經(jīng)驗證I初wI切，符合題意；

當時，1四|[(1+3)2+04

I5=，(-4-0)?+(3-3)2二4,

I四閆如不符合題意,舍去.

②若AD//BC,\AB\^\CD\,

y-0_3-0

X+31oi

I----------I-------------

{J(l+3)2+0=J(x-0)2+(廠3產(chǎn)，

解(喉_「_16或仁不

(X—16~——,

5

當{3時,經(jīng)驗證|的二|闈，符合題意；

4,22

當C:3吐IAD\=J(-4^3)+3=VW,

I陽』(0-1)2+(3-0)2=/10,

14*1比1,不符合題意,舍去.

綜上，點〃的坐標為(-2,3)或卜果券

5.信息提?、倭?/p>

IPA|=Vx2+4x+20=J(x+2產(chǎn)+(0-4)2>1=Vx2+2x+10=J(x+I)2+(0-3)2;②求

I川+1陽的最小值.

數(shù)學建模構建平面內(nèi)兩點間的距離問題,將求函數(shù)的最值問題轉化為平面內(nèi)動點到兩定點

的距離之和的最值問題,再通過對稱性求解.

解析f(x)=Vx2+4x-F20+Vx2+2x+10=J(x+2)2+(0-4)(x+I)24-(0-3)2,

表示點P(x,0)到點J(-2,4)和5(-1,3)的距離之和,如圖所示：

16/23

C(-2,-4)是點力(-2,4)關于x軸的對稱點，故最小值為|BC\=J(-2+1)2+(-4-3)?二聞二5夜.

6.C不妨設角平分線上的任意一點為(為同，

由該點到兩直線的距離相等可得,鼻蟲,即|年3廠21=13戶廠101,

ylOylO

整理得產(chǎn)2二4=0或2片廠6=0.故選C.

7.C直線a^(a-l)八3二0,即a(Hy)+(3-0=0,

因此直線av+UH)產(chǎn)3二0過定點0(-3,3),

，當直線君片(彳1)JH-3=0與制垂直時，

點戶(2,3)到直線a戶Or1)射3二0的距離最大，

?'?4-1陽=/(-3-2)2+(3-3)2=5,

此時圖〃x軸,可得直線ax+(a~l)#3二0的斜率不存在，即a=l.

故選C.

8.AVx2+y2-2y+l=J（x-0）2+（y-1）2,因為實數(shù)x、y滿足3AH六6二0,

所以J婷+*.2y+1的幾何意義為點（0,1）與直線3年4廠6二0上的點的距離，

因此“2+*一2y+1的最小值為點@1）到直線3『4廠6二0的距離，

即為華=絲組2.

,+（—4）2

故選A.

9.解析因為力（1,1）,以4,2）,

所以|桁|二八4-1）2+（2-1產(chǎn)二四，

直線小的方程為廠1二共（片1）,即片3月2二0,

4-1

根據(jù)點到直線的距離公式可得點B5,標）（1〈欣4）到直線4C的距離曲“3T2,

vio

所以.吊|獷3標+2|寸（而-,）_孑.

因為1<水4,所以l<Vm<2,所以《〈而TW，

所以0W（標-|）2",

所以耳上（而切，

當標-2即這時,s最大，

24

故當婿時,的面積S最大.

4

10.A因為直線4:尸2尸?加0（質(zhì)0）與4：2射刀廠6二0平行，

所以這兩條直線的斜率相等,即爐-4.

18/23

所以，2：尸2六3二0.

又直線人與心間的距離為2而，即小二2代,解得小7（〃尸T3舍去），所以淤中3.

V5

故選A.

11.答案1

解析設點力（如刀），8（當力），直線人:3戶4戶6,直線心：3戶4尸1,

則IAB\二J（m-Q）2+（n-b）2,

由題意知點力（見〃）在直線3肝4產(chǎn)6上,點8Q"）在直線右3戶4尸1上,

顯然小〃所以|力6的最小值就是兩平行線之間的距離，

即|歷

12.解析解法一:因為點時在直線肝廠3二0上，

所以設點力的坐標為（￡,3-0,則點M到直線Z,4的距離相等，

nnt-3H+l|_t-3+t-l

即，/

解得與

所以尼,J

又直線/經(jīng)過點4（2,4）,

V-3Y-3

所以直線1的方程為4二T,即5廠二6二0.

4--2--

故直線1的方程為5尸廠6=0.

解法二:設與hA平行且距離相等的直線為人尸產(chǎn)k0（cNl,cWT）,由兩平行直線間的距離

公式得力一力,解得爐即人:六戶由題意得中點"在直線人上,又點"在直線戶片二

v2V20,0.30

（_3

上，所以n解得「一孑所以加工3?又1過點加2,4）,所以直線1的方程為

I4</3—U，y二一乙/

V2，

5尸廠6二0?

解法三:易知直線/的斜率存在,

設/;廠4二4（『2）（廿1）,

2k-3

y-4=k(4-2),得

由

x-y+1=0付3k-4

2k~5

X=---

>-4=k(x-2),得

由k-1

x^y-1=0fc-4

”正？

所以直線1與U的交點分別為（詈，詈）,（答，詈）,

所以.，若）.

又點M在直線廣二3二0上,

所以詈十答一3二。,解得后.

故所求直線1的方程為廠4=5（尸2）,即5尸廠6:0.

13.A依題意知48的中點材的集合為與直線戶廠7=0和A產(chǎn)廣5=0距離都相等的直線,

則點"到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.

20/23

設點M所在直線的方程為上/戶折0(/*-7且腎-5),

根據(jù)平行線間的距離公式得”■二黑J

V2V2

所以I洲71=|研5|,所以獷-6,

即):肝尸6二0.

根據(jù)點到直線的距離公式得點M到原點的距離的最小值為V二3加.

V2

故選A.

14.BV動直線1;萬戶姐b2二0(於0,。>0)恒過點/(1,n)，?'?尹。冊52二0.

又點。(4,0)到動直線1的最大距離為3,

.,.J(4-l)2+m2=3,解得爐0,"12.

則以胃(>4島+州(X+7)

+2田?米,當且僅當*2若時取等號.故選B.

15.答案2V5

解析由題意48兩點在直線尸1的同側.

設點A關于直線產(chǎn)梟