公共地的悲劇3.問題的提出與相關假設

考慮有n個農(nóng)民的村莊共同擁有一片草地，每個農(nóng)民都有在草地上放牧的自由。每年春天，農(nóng)民要決定自己養(yǎng)多少只羊以使得自己的利潤最大化。設：gi：第i個農(nóng)民飼養(yǎng)的數(shù)量，i=1,2,…,n.

：n個農(nóng)民飼養(yǎng)的總量V：每只羊的平均價值,v是G的函數(shù),v=v(G),

因為每只羊至少要一定數(shù)量的草才不至于餓死,有一個最大的可存活量Gmax,：

當G<Gmax時,v(G)>0;當G>=G(x)時,v(G)=0。3.問題的提出與相關假設

當草地上羊很少時，增加一只羊也許不會對其他羊的價值有太大影響，但隨著羊的不斷增加，每只羊的價值將急劇下降。因此假定:GGmaxv4.模型的建立與求解4.1策略型博弈的三個要素

局中人:共同擁有一片草地的n個農(nóng)民

策略：決定使得自己利潤最大化所需要飼養(yǎng)的羊的數(shù)量

支付函數(shù):利潤函數(shù)。假設一只羊的價格為c，對于農(nóng)民i來講，其利潤函數(shù)為：

4.2模型求解

最優(yōu)化的一階條件為：

上式可以解釋為：增加一只羊有正負兩方面的效應，正的效應是這只羊本身的價值v，負的效應是這只羊使所有之前的羊的價值降低。其最優(yōu)解滿足邊際收益等于邊際成本。4.模型的建立與求解

上述n個一階條件定義了n個反應函數(shù)：因為：所以：4.模型的建立與求解

第i個農(nóng)民的最優(yōu)飼養(yǎng)量隨其他農(nóng)民的飼養(yǎng)量增加而遞減。n個反應函數(shù)的交叉點就是納什均衡。4.模型的建立與求解

盡管每個農(nóng)民在決定自己增加飼養(yǎng)量時考慮了對現(xiàn)有羊價值的影響，但是他考慮的只是對自己羊的影響，而并不是對所有羊的影響，因此，最優(yōu)點上的個人邊際成本小于社會邊際成本，納什均衡總飼養(yǎng)量大于社會最優(yōu)飼養(yǎng)量。這一點可以通過比較社會最優(yōu)目標下的飼養(yǎng)量與納什均衡飼養(yǎng)量得出。5.分析與結論社會最優(yōu)的目標是使得社會總剩余最大化，即：

最優(yōu)化的一階條件為：其中G**是社會最優(yōu)的飼養(yǎng)量。將納什均衡問題中的n個一階條件相加得到，比較社會最優(yōu)的一階條件與個人最有的一階條件，記，5.分析與結論

5.分析結論與

可以看出納什均衡的總飼養(yǎng)量大于社會最優(yōu)飼養(yǎng)量，這說明公有草地被過度使用了。公共地的悲劇說明了如果一種資源沒有排他性的所有權，就會導致資源的過度使用。需要注意的是，公共地悲劇的證明是建立在農(nóng)民都是“自私”的追求自己的利益最大化