【高中數(shù)學(xué)】數(shù)學(xué)《推理與證明》試卷含答案

一、選擇題

1.已知〃+/?+c=2,則次?+bc+ca的值()

A.大于2B.小于2C.不小于2D.不大于2

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知變形得到Q+Z?=-C,a+c=-b,b+c=-a,把2(〃b+bc+ac)拆開(kāi)后提取公因式

代入〃+Z?=-c,a+c=-b,b+c=—a,則可判斷2(aZ?+Z?c+〃c)的符號(hào)，從而得至(J

++的值的符號(hào).

【詳解】

Q+Z?+C=2,

tz+Z7—2—cfa+c=2—b,Z7+c=2—a.

則2(ab+bc+ac)

=2ab+2ac+2bc

=ab+ac+be+ac+ab+be

=a(b+c)+c(b+a)+b(a+c)

=b(2-b)+a(2—a)+c(2-c)

—2b—/+2Q—a?+2c—c?

=-(a?++02)+2(a+b+0)

=-(/+/+，)+4,

a+b+c=2,+Z?2+c2)>0,

即-(/+/+，)〈0,

2(ab+bc+ac)<4,/.(ab+bc+ac)<2

即ab+bc+ac的值小于2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊家輝所著的《詳解九章算法》一書(shū)中記錄了一個(gè)由正整數(shù)構(gòu)成的三角

形數(shù)表，我們通常稱(chēng)之為楊輝三角.以下數(shù)表的構(gòu)造思路就來(lái)源于楊輝三角.（）

I35792013201520172019

481216???402840324036

12202880608068

4X16128

從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其"肩上"兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)。，則

a的值為()

A.2018x21008B.2018x21009

C.2020x21008D.2020x21009

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)每一行的第一個(gè)數(shù)的變化規(guī)律即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：第一行第一個(gè)數(shù)為：1=1x2°；

第二行第一個(gè)數(shù)為：4=2x2'；

第三行第一個(gè)數(shù)為：12=3x22；

第四行第一個(gè)數(shù)為：32=4x23；

第n行第一個(gè)數(shù)為：%=nx2"，

一共有1010行，

.,.第1010行僅有一個(gè)數(shù)：a=1010x21009=2O2Ox21008；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由數(shù)表探究數(shù)列規(guī)律的問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

22

3.已知點(diǎn)尸(10,3)在橢圓C：—+靠=1上.若點(diǎn)N(%,為)在圓〃：/+/=/上，則

圓"過(guò)點(diǎn)N的切線(xiàn)方程為/x+%>=由此類(lèi)比得橢圓。在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為

()

xy1XV1xy1

B.----1---—IC.---1—ID.---1—I

H099II3399H0

【答案】c

【解析】

【分析】

先根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,求得/，再類(lèi)比可得切線(xiàn)方程.

【詳解】

22

因?yàn)辄c(diǎn)尸(10,3)在橢圓。：［+上=1上,

a299

故可得干+短j解得a-.

由類(lèi)比可得橢圓C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為:

10%3y,

——+—=1整理可得二+2=1.

110991133

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查由橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)求橢圓方程，以及類(lèi)比法的應(yīng)用，屬綜合基礎(chǔ)題.

4.已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),記工(%)=/'(X),力(力=1'(力，…,

力+1(%)=力'⑺("N*).若〃x)=xsinx,則為O19(X)+為021(力=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cos%D.2sinx

【答案】D

【解析】

【分析】

通過(guò)計(jì)算于1(%),/(%)/(%)/(%)"(%)，可得

于4k.3(%)(%)，于4"\(%)，力左(%),最后計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：/(x)=xsinx

所以fi(X)=sinx+xcosx,(x)=2cosx-xsinx

^(x)=-3sinx-xcosx,y4(x)=-4cosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,---

所以猜想可知：以―3(x)=(4左—3)sinx+%cosx

九一2(x)=(4左一2)cosx-xsinx

力j(%)=—(4%-l)sinx-xcosx

%左(％)=Tkcosx+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以A019(x)--2019sinx-xcosx

力02i(x)=202lsinx+xcosx

所以力019(%)+力021(%)=2sinx

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納

猜想等方法的使用，屬中檔題.

5.觀(guān)察(Y)'=2X,(x4)-4x3,(cosx)'=-sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的

函數(shù)/(X)滿(mǎn)足/(一%)=/(%),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(—x)=

A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.~g(x)

【答案】D

【解析】

由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，則g(x)=/'(燈是奇函數(shù)，

所以g(—x)=—g(x),應(yīng)選答案D.

6.平面上有幾個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成

/(〃)塊區(qū)域，有/⑴=2,/(2)=4,f(3)=8,則/(")=().

2

A.2"B.n-n+2

C.2"-(附-1)(〃-2)(〃-3)D.H3-5n2+10/7-4

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可得平面內(nèi)有〃個(gè)圓時(shí),它們將平面分成了(")塊，再添加第〃+1個(gè)圓時(shí)，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)都

相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，故會(huì)增加2〃個(gè)圓.再求和即可.

【詳解】

由題,添加第〃+1個(gè)圓時(shí)，因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，故會(huì)增加2幾個(gè)圓.

又/⑴=2,故/5+1)—/(句=2〃.

即〃2)-〃1)=21(3)—〃2)=4.45)—/5—1)=2九—2.

累加可得/(〃)=2+2+4+...+2〃—2=2+—2"一2)="2—〃+2

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式的方法，需要畫(huà)圖分析進(jìn)行理解.或直接計(jì)

算/(4),/(5)等利用排除法判斷.屬于中檔題.

7.在《中華好詩(shī)詞大學(xué)季》的決賽賽場(chǎng)上，由南京師范大學(xué)酈波老師、中南大學(xué)楊雨老

師、著名歷史學(xué)者紀(jì)連海和知名電視節(jié)目主持人趙忠祥四位大學(xué)士分別帶領(lǐng)的四支大學(xué)生

團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了角逐.將這四支大學(xué)生團(tuán)隊(duì)分別記作甲、乙、丙、丁，且比賽結(jié)果只有一支隊(duì)

伍獲得冠軍，現(xiàn)有小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對(duì)這四支參賽團(tuán)隊(duì)的獲獎(jiǎng)結(jié)果預(yù)測(cè)如

下：小張說(shuō)：“甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得冠軍"；小王說(shuō)："丁團(tuán)隊(duì)獲得冠軍"；小李說(shuō)"乙、丙兩個(gè)團(tuán)

隊(duì)均未獲得冠軍"；小趙說(shuō)："甲團(tuán)隊(duì)獲得冠軍若這四位同學(xué)中只有兩位預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)

的，則獲得冠軍的團(tuán)隊(duì)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】

【分析】

對(duì)甲、乙、丙、丁分別獲得冠軍進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合四人的說(shuō)法進(jìn)行推理，進(jìn)而可得出結(jié)

論.

【詳解】

若甲獲得冠軍，則小張、小李、小趙的預(yù)測(cè)都正確，與題意不符；

若乙獲得冠軍，則小王、小李、小趙的預(yù)測(cè)不正確，與題意不符；

若丙獲得冠軍，則四個(gè)人的預(yù)測(cè)都不正確，與題意不符；

若丁獲得冠軍，則小王、小李的預(yù)測(cè)都正確，小張和小趙預(yù)測(cè)的都不正確，與題意相符.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查合情推理，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.

8.甲、乙、丙、丁四人通過(guò)抓閹的方式選出一人周末值班（抓到"值"字的人值班）.抓完

閹后，甲說(shuō)："我沒(méi)抓到."乙說(shuō)："丙抓到了."丙說(shuō)："丁抓到了"丁說(shuō)："我沒(méi)抓到."已知他們

四人中只有一人說(shuō)了真話(huà)，根據(jù)他們的說(shuō)法，可以斷定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，假設(shè)甲：我沒(méi)有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒(méi)有抓到就是真的，與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的；

假設(shè)甲：我沒(méi)有抓到是假的，那么?。何覜](méi)有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)

鍵，著重考查了推理與分析判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.二維空間中圓的一維測(cè)度（周長(zhǎng)）/=2w,二維測(cè)度（面積）S=?，；三維空間中球的二

42

維測(cè)度(表面積)s=4"2，三維測(cè)度(體積)V=.若四維空間中“超球，，的三維測(cè)度

V=8萬(wàn)r3,猜想其四維測(cè)度卬=()

A.2%/B.3"4C.4萬(wàn)74D.6"4

【答案】A

【解析】

分析：由題意結(jié)合所給的性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比推理即可確定四維測(cè)度W.

詳解：結(jié)合所給的測(cè)度定義可得：在同維空間中，〃+1維測(cè)度關(guān)于「求導(dǎo)可得〃維測(cè)度，

結(jié)合"超球"的三維測(cè)度V=阮，，可得其四維測(cè)度w=271rA.

本題選擇A選項(xiàng).

點(diǎn)睛：本題主要考查類(lèi)比推理，導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算

求解能力.

10.在等差數(shù)列｛%｝中，若?！?gt;0,公差dwO,則有。4%,>%%?類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比

數(shù)列他“｝中，若包>0,公比則關(guān)于打，以,“，名的一個(gè)不等關(guān)系正確的是

()

A.b5b^>b4bsB.&瓦>b4b5C.b5+Z?7<b4+b&D.Z?7+Z?8<Z?4+b5

【答案】C

【解析】

【分析】

類(lèi)比等差數(shù)列｛4｝與等比數(shù)列｛2｝各項(xiàng)均為正數(shù)，等差數(shù)列中的"和”運(yùn)算類(lèi)比到等比數(shù)列

變?yōu)?積"運(yùn)算，即可得到答案.

【詳解】

在等差數(shù)列｛4｝中，由4+6=3+7時(shí)，有％%,〉%%，

類(lèi)比到等比數(shù)列｛々｝中，由5+7=4+8時(shí)，有句+々>4+67，

3

因?yàn)椤?4-(么+2)="4-b&q-b&q3=b4(l—q)+b4q｛q—1)

=d(j)(l-/)=d(i—Mi+q+q2)〉。，

所以“+々>4+2成立.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查類(lèi)比推理，同時(shí)考查觀(guān)察、分析、類(lèi)比能力及推理論證能力，屬于中檔題.

/+/

11.用數(shù)學(xué)歸納法證明T+2+3+...+r)3=-----,nGN*",則當(dāng)n=k+l時(shí)，應(yīng)當(dāng)在n=k時(shí)對(duì)應(yīng)

2

的等式左邊加上()

A.k3+lB.(k3+l)+(k3+2)+...+(k+1)3

（左+1）6+（左+1）3

C.（k+1）3D.

2

【答案】B

【解析】

分析：當(dāng)項(xiàng)數(shù)從“=左到〃=左+1時(shí)，等式左邊變化的項(xiàng)可利用兩個(gè)式子相減得到。

詳解：當(dāng)〃=左時(shí)，等式左邊=1+2+3+..../

當(dāng)〃=左+1時(shí)，等式左邊=1+2+3+.…左3+伏3+1)+伏3+2)伏3+3)…伏+1)3

3

所以增加的項(xiàng)為(左3+1)+(左3+2)(左3+3)…/+I)

所以選B

點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，當(dāng)項(xiàng)數(shù)變化時(shí)分析出增加的項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題。

11r\1O1

12.已知數(shù)組(一)，(―,—),(—?—?—)，(一，----7<，—-—,不)，…，記該數(shù)組為

121321nn-121

(%)，(%'。3)，(“4，%，。6)，…,則。200=()

.910119

A.—B.—C.—D.—

11111210

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)。200在第。組中，則"〃+1)(nCN*),

22

]9x20

由等差數(shù)列求和得：。2。。在第20組中，前19組的數(shù)的個(gè)數(shù)之和為：------=190,

2

再進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理得：。20。=---=—,得解.

20-10+111

【詳解】

由題意有，第“組中有數(shù)”個(gè)，且分子由小到大且為1,2,3...n,設(shè)azo。在第。組中，則

(n-\\n+

——^-<200<-^——("GN*),

22

解得：〃=20,

]9x20

即。20。在第20組中，前19組的數(shù)的個(gè)數(shù)之和為：------=190,

2

即。20。在第20組的第10個(gè)數(shù)，即為一--=—,

20-10+111

_10

0200------，

11

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了閱讀理解及等差數(shù)列求和與進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理能力，屬中檔題.

13.對(duì)于實(shí)數(shù)。，b,已知下列條件：①。+/?=2；②。+/?〉2；③2；

@ab>l；⑤log/<0.其中能推出"。，萬(wàn)中至少有一個(gè)大于1"的條件為()

A.②③④B.②③④⑤

C.①②③⑤D.②⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)條件分別利用特殊值以及反證法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

①當(dāng)a=b=l時(shí)，滿(mǎn)足a+b=2,但此時(shí)推不出結(jié)論，

②若awl,b<l,則a+b42,與a+b>2,矛盾，即a+b>2,可以推出，

③當(dāng)a=—,b=工時(shí)，滿(mǎn)足條件a+b>-2,則不可以推出，

22

④若a=-2,b=-1.滿(mǎn)足ab>L但不能推出結(jié)論，

⑤由logab<0得logabClogal,若a>l,則0<b<l,若0<a<l,則b>l,可以推出結(jié)

論.

故可能推出的有②⑤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查合情推理的應(yīng)用，利用特殊值法以及反證法是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

14.幻方最早起源于我國(guó)，由正整數(shù)1,2.3,......,〃2這〃2個(gè)數(shù)填入"X"方格中，使得

每行、每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形數(shù)陣就叫九階幻方.定義了(九)為〃

階幻方對(duì)角線(xiàn)上所有數(shù)的和，如/(3)=15,則/(10)=()

A.55B.500C.505D.5050

【答案】C

【解析】

【分析】

1+9+3—?+n

因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛?、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，可得/(")=

n

即得解.

【詳解】

因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛?、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，

所以〃階幻方對(duì)角線(xiàn)上數(shù)的和/(")就等于每行(或每列)的數(shù)的和，

又“階幻方有〃行(或九列)，

因此，f(n)=----------------，

n

12+----1.99+100

于是y(io)=--+----J。~—=505.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)陣問(wèn)題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

15.觀(guān)察如圖中各多邊形圖案，每個(gè)圖案均由若干個(gè)全等的正六邊形組成，記第〃個(gè)圖案

中正六邊形的個(gè)數(shù)是

由/⑴=1,/(2)=7,43)=19,…,可推出〃10)=()

A.271B.272C.273D.274

【答案】A

【解析】

【分析】

觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)圖案中有一個(gè)正六邊形，第二個(gè)圖案中有7個(gè)正六邊形；…

根據(jù)這個(gè)規(guī)律，即可確定第10個(gè)圖案中正六邊形的個(gè)數(shù).

【詳解】

由圖可知，/(1)=1，

/(2)=l+2x6-6=7,

/(3)=l+(2+3)x6-2x6=19,

〃2)=l+(2+3)x6-2x6=19,

/(4)=l+(2+3+4)x6-3x6=37,

/(10)=l+(2+3+4+...+10)x6-9x6=271.

故選A.

【點(diǎn)睛】

此類(lèi)題要能夠結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)〃22時(shí)，/(〃)—/(〃-1)=6(〃—1).

16.某學(xué)校為響應(yīng)國(guó)家強(qiáng)化德智體美勞教育的號(hào)召，積極實(shí)施國(guó)家課程校本化.每個(gè)學(xué)生除

學(xué)習(xí)文化課程外，還可以根據(jù)自己的興趣愛(ài)好來(lái)選修一門(mén)校本課程作為自己的特長(zhǎng)課程來(lái)

學(xué)習(xí).該校學(xué)生小剛選完課后，本班的其他三位同學(xué)根據(jù)小剛的興趣愛(ài)好對(duì)小剛的選課做出

了自己的判斷：甲說(shuō)：小剛選的不是書(shū)法，選的是籃球；乙說(shuō)：小剛選的不是籃球，選的

是排球；丙說(shuō):小剛選的不是籃球，選的也不是國(guó)畫(huà).已知三人中有一個(gè)人說(shuō)的全對(duì)，有一

人說(shuō)對(duì)了一半,另一個(gè)人說(shuō)的全不對(duì)，由此推斷小剛的選擇的（）

A.可能是國(guó)畫(huà)B.可能是書(shū)法C.可能是排球D.一定是籃球

【答案】B

【解析】

【分析】

依次假定小剛的選擇,逐一驗(yàn)證得到答案.

【詳解】

若小剛選擇的是國(guó)畫(huà),則甲對(duì)一半，乙對(duì)一半，丙對(duì)一半，不滿(mǎn)足，排除;

若小剛選擇的是書(shū)法,則甲全不對(duì)，乙對(duì)一半，丙全對(duì)，滿(mǎn)足；

若小剛選擇的是排球,則甲對(duì)一半，乙全對(duì)，丙全對(duì)，不滿(mǎn)足，排除；

若小剛選擇的是籃球,則甲全對(duì)，乙全不對(duì)，丙對(duì)一半，滿(mǎn)足；

故小剛可能選擇的是書(shū)法和籃球.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了推理分析，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.

17.已知/(x+1)二了;72,"1)=1(XGN*),猜想/(%)的表達(dá)式為()

A

-?。?匕B.f(x}=---C.f(x}=——D.f(x}=---

V72"+2V7x+1')2x+l

【答案】A

為〃x+l)=2/S),所以111

【解析】因-----=----1-,因此

八)〃x)+2/(x+1)/(X)2

—L=—TX+—(x-1)=—(x+l)^>=?—，選A.

/(x)/(I)2、'2、'x+1

18.下列表述正確的是（）

①歸納推理是由特殊到一般的推理；②演繹推理是由一般到特殊的推理；

③類(lèi)比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一種間接證明法；

A.②④B.①③C.①④D.①②

【答案】D

【解析】分析：根據(jù)題意，結(jié)合合情推理、演繹推理的定義，依次分析4個(gè)命題，綜合即

可得答案.

詳解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：

對(duì)于①，歸納推理是由特殊到一般的推理，符合歸納推理的定義，所以正確；

對(duì)于②，演繹推理是由一般到特殊的推理，符合演繹推理的定義，所以正確；

對(duì)于③，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，所以錯(cuò)誤；

對(duì)于④，分析法、綜合法是常見(jiàn)的直接證明法，所以錯(cuò)誤；

則正確的是①②，故選D.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)推理的問(wèn)題，對(duì)歸納推理、演繹推理和類(lèi)比推理的定義要明確,

以及清楚哪些方法是直接證明方法，哪些方法是間接證明方法，就可以得結(jié)果.

19.某校實(shí)行選科走班制度，張毅同學(xué)的選擇是物理、生物、政治這三科，且物理在A層

班級(jí)，生物在3層班級(jí).該校周一上午選科走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個(gè)科目

的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則他不同的選課方法有()

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)

地理3層2班化學(xué)A層3班地理A層1班化學(xué)4層4班

生物A層1班化學(xué)3層2班生物3層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理3層2班生物3層3班物理3層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.8種B.10種C.12種D.14種

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)表格，利用分類(lèi)討論思想進(jìn)行邏輯推理一一列舉即可.

【詳解】

張毅同學(xué)不同