第24章圓

24.1旋轉

課時1圖形的旋轉

【知識與技能】

1.了解圖形旋轉的有關概念并理解它的基本性質.

2.了解旋轉對稱圖形的概念并能順利找出旋轉中心及旋轉角.

【過程與方法】

通過舉例說明客觀世界存在的現(xiàn)象，讓學生討論分析現(xiàn)像的本質，從而總結

出旋轉的概念和性質。

【情感態(tài)度與價值觀】

通過旋轉的學習，體驗數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，感受旋轉變換的數(shù)學美,

初步領會數(shù)學圖形變換思想.

了解圖形旋轉的有關概念并理解它的基本性質.

圖形旋轉的基本性質的歸納與運用.

多媒體課件.

教師出示多媒體課件，展示下圖，提出問題：這三幅圖有哪些共同特征？

【教學說明】學生感受生活中的旋轉實例，一是進一步體會旋轉來源于實踐,

二是從中抽象出旋轉的定義.

一、思考探究，獲取新知

由學生根據(jù)上面的實例，嘗試歸納抽象出旋轉的定義，先小組內交流，形成

共識后，再班內交流.

探究1旋轉的定義和性質

【教學說明】針對上述問題可給予3~5分鐘時間讓學生討論，教師出示下圖,

指出△是由△ABC繞點0逆時針旋轉0后得到的.定點0叫做旋轉中心,0

叫做旋轉角.原圖形上一點A旋轉后成為點A，,這樣的兩個點叫做對應點.

【討論結果】我們把每一片風葉當成一個圖形,那么這個圖形都可以繞著某

一固定點轉動一定的角度.像這樣，在平面內，一個圖形繞著一個定點，旋轉一定的

角度,得到另一個圖形的變換叫做旋轉；對應點到旋轉中心的距離相等；兩組對

應點分別與旋轉中心的連線所成的角相等，都等于旋轉角；旋轉不改變圖形的大

小和形狀，所以旋轉前后的圖形是全等的.

探究2旋轉對稱圖形

【教學說明】教學過程中，教師可設置如下問題：

（1）畫出正方形繞對角線的交點順時針旋轉90。后的圖形.觀察旋轉后的圖

形與原正方形有何關系？

（2）如圖2所示，電扇的葉片轉動120。、螺旋槳轉動180。后會怎么樣？

（3）用一張半透明的薄紙，覆蓋在如圖3的圖形上,在薄紙上畫這個圖形，使

它與下面的圖形重合.然后用一枚圖釘在圓心處穿過,將薄紙繞著圖釘旋轉，觀察

旋轉多少度（小于周角）后，薄紙上的圖形能與原圖形再一次重合.

【討論結果】在平面內，一個圖形繞著一個定點旋轉一定的角度仇0。＜。。＜

360。）后，能夠與原圖形重合，這樣的圖形叫做旋轉對稱圖形；

二、典例精析，掌握新知

例1下列事件中，屬于旋轉運動的是（）

A.小明向北走了4米；

B.小朋友們在蕩秋千時做的運動；

C.電梯從1樓上升到12樓；

D.一物體從高空墜下.

【分析】A.是平移運動；B.是旋轉運動；C.是平移運動；D.是平移運動.

【解】選B

例2如圖，Z^ABC繞點A順時針旋轉80°得到AAEF,若NB=100°,Z

【解】:?△ABC繞點A順時針旋轉80°得到AAEF,AAABC^AAEF,

ZC=ZF=50°,NBAE=80°.又=,AZBAC=30°,Na=

ZBAE-ZBAC=50°.故選B.

例3下圖中不是旋轉對稱圖形的是（）

ARCD

【分析】A.360。+5=72°,圖形旋轉72。的整數(shù)倍即可與原圖形重合，

是旋轉對稱圖形，故本選項錯誤；B.不是旋轉對稱圖形，故本選項正確；C.360°

+8=45°,圖形旋轉45°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是旋轉對稱圖形，故本

選項錯誤；D.360。4-4=90°,圖形旋轉90°的整數(shù)倍即可與原圖形重合，是

旋轉對稱圖形，故本選項錯誤.

【解】選B

【教學說明】以上三例均可讓學生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學

生的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全

班同學學習與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

三、運用新知，深化理解

1.下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉中心，順時針旋轉

120°后，能與原圖形完全重合的是（）

???

ABCD

2.如圖，把aABC繞點C按順時針方向旋轉35°,得到aA'B'C,A'B'

交AC于點D.若NA'DC=90°,則NA=

3.將等邊三角形ABC放置在如圖的平面直角坐標系中，已知其邊長為2,現(xiàn)

將該三角形繞點C按順時針方向旋轉90°,則旋轉后點A的對應點A'的坐標

為（）

A.（l+小，1）

B.（-1,1一?。?/p>

C.（-h小一1）

D.（2,5）

4.在圖中，將大寫字母A繞它上側的頂點按逆時針方向旋轉90°,作出旋

轉后的圖案，同時作出字母A向左平移5個單位的圖案.

【教學說明】讓學生當堂完成上述練習，達到鞏固新知目的.最后全班同學

核對答案即可.

【答案】1.A2.55°3.A

1.知識回顧.

2.談談這節(jié)課你有哪些收獲？

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

1.旋轉的定義

圖形的旋轉

'中心點（確定位置），

角度“

三要素<（順時針0”

方向臼

、【逆時針，o

2.旋轉的性質

旋轉的基本性質

①在旋轉前后的兩個圖形中，對應點到旋轉中心

的距離相等；

②任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角

都相等。

③旋轉不改變圖形的大小和形狀，由旋轉得到的圖形

與原來的圖形全等.

3.旋轉對稱圖形：在平面內，一個圖形繞著一個定點旋轉一定的角度0(0°<0°

<360。)后，能夠與原圖形重合，這樣的圖形叫做旋轉對稱圖形

1.布置作業(yè)：從教材“習題26.1”中選取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知識的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一

般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與

設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.

3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，

鞏固知識.

4.對于旋轉問題，要讓結合實際情況多舉例說明，經(jīng)過思考、討論、總結的

過程，讓學生在交流中體會成功.

第24章圓

24.1旋轉

課時2中心對稱

【知識與技能】

1.理解認識中心對稱的概念.

2.掌握中心對稱的性質.

【過程與方法】

舉例說明中心對稱現(xiàn)象，通過圖形讓學生理解中心對稱的定義，掌握中心對

稱的性質.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過學習感受中心對稱的數(shù)學美，初步領會數(shù)學圖形變換思想.

理解中心對稱的概念.

中心對稱性質的歸納與應用.

多媒體課件，三角板，圓規(guī).

剪紙，又叫刻紙，是中國漢族最古老的民間藝術之一，它的歷史可追溯到公

元6世紀.如圖剪紙中兩個金魚之間有什么關系呢？

【教學說明】學生感受生活中的中心對稱實例，通過分析抽象出的中心對稱

的定義.

一、思考探究，獲取新知

由學生根據(jù)上面的實例，嘗試歸納出中心對稱的定義.

探究1中心對稱的定義

【教學說明】請同學們把△ABC剪下，將其繞點A旋轉180。,觀察4ABC與

△ADE是否能夠互相重合？并提出如下問題：

△ABC與^ADE是成中心對稱的兩個三角形，點A是對稱中心.點B關于對

稱中心A的對應點為，點C關于對稱中心A的對應點為，點A關

于對稱中心A的對應點為,AD=,AC=,ED=

【討論結果】△ABC與AADE通過旋轉后能夠重合，點B關于對稱中心A

的對應點為點D,點C關于對稱中心A的對應點為點E,點A關于對稱中心A的

對應點為點A,AD=AB,AC=AE,ED=BC.

探究2中心對稱圖形

【教學說明】教師提問：

（1）△AEC—ABC關于點0成中心對稱嗎？大:恭X

（2）你能從圖中找到哪些等量關系？

（3）找出圖中平行的線段.“

【討論結果】△ABC關于點0成中心對稱.

在同一直線上的三點分別有A,O,A，,B,O,B\C,OC，AO=ACy,BO=BO\CO

=C0',AB=A'B',AC=AC,BC=BC,AB//A'B',AC〃ACBC〃BC.

二、典例精析，掌握新知

例1如圖，在平面直角坐標系中，若△ABC與△A1B1C1關于點E成中心

對稱，則對稱中心點E的坐標是（）

A.（3,-1）B.（0,0）C.（2,-1）D.（-1,3）

【分析】連接AAi,根據(jù)對應點的連線經(jīng)過對稱中心，則交點就是對稱

中心點E,在坐標系內確定出其坐標.

【解】選A

例2如圖，已知AAOB與△DOC成中心對稱，^AOB的面積是12,AB=

3,則△DOC中CD邊上的高是（）

A.3cnD

BYI

Al_\R

C.8

D.12

【分析】設AB邊上的高為h,因為AAOB的面積是12,AB=3,所以gx

3Xh=12,所以h=8.又因為AAOB與△DOC成中心對稱，ACOD^AAOB,

所以ADOC中CD邊上的高是8.

【解】選C

【教學說明】以上兩例均讓學生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學生

的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全班

同學學習與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

三、運用新知，深化理解

1.已知：如圖，E(-4,2),F(-l,-1),以O為中心，作△EFO的中心對

稱圖形，則點E的對應點E'的坐標為.

2已知點A(m2)與點B(—1,加關于原點O對稱，則鈉值為一.

3.如圖，已知四邊形ABCD和點O,試畫出四邊形ABCD關于點。的對稱圖形

A'B'C'D'.

【教學說明】讓學生當堂完成上述練習，達到鞏固新知目的.最后全班同學

核對答案即可.

【答案】1.(4,-2)

1.知識回顧.

2.談談這節(jié)課你有哪些收獲？

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

I定義：旋轉角為180°的特殊旋轉。旋轉點是對稱中心.

中心對稱

1——性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經(jīng)過對

稱中心，且被對稱中心平分.

1.布置作業(yè)：從教材“習題26.1”中選取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知識的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一

般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與

設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.

3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，

鞏固知識.

4.在教學過程中，應該鼓勵學.生進行自主探究，自己動手去探索中心對稱的

特點，加深對新知識的認識和理解.教師在課堂上起輔助作用，引導學生自己解

決問題，注重培養(yǎng)學生的獨立意識.

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第24章圓

24.1旋轉

課時3中心對稱圖形

【知識與技能】

理解中心對稱圖形的概念，能辨別出中心對稱圖形.

【過程與方法】

在發(fā)現(xiàn)、對比的過程中感受圖形的旋轉與對稱，體會生活中的對稱圖形，用

觀察、類比、分類歸納的方法理性的學習各種對稱圖形.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過對圖案的欣賞，讓學生感受數(shù)學的文化價值與美學價值，激起學習的興

趣與欲望，提高審美觀，激發(fā)創(chuàng)造美.

認識與判斷中心對稱圖形.

中心對稱圖形性質的應用.

多媒體課件.

欣賞下面的圖形，這么圖形有什么共性？

【教學說明】中心對稱圖形是軸對稱圖形的特例，直接給出這種特殊情況為

中心對稱圖形，可以強化對中心對稱圖形定義的記憶.

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一、思考探究，獲取新知

由學生根據(jù)上面的實例，嘗試歸納出中心對稱的定義.

探究1中心對稱圖形的定義與識別

【教學說明】下圖分別是三塊桌布的中間圖案，哪個是中心對稱圖形？哪個

不是中心對稱圖形？你根據(jù)什么來判斷一個圖形是不是中心對稱圖形？

(1)(2)(3)

【討論結果】圖1和圖2是中心對稱圖形，圖3不是。把一個圖形繞某點旋

轉180。,如果旋轉后的圖形能和原來圖形互相重合，那么這個圖形就是中心對稱圖

形.

探究2中心對稱圖形的性質

【教學說明】教師提問：

（1）我們知道平行四邊形是中心對稱圖形,對角線的交點就是對稱中心，現(xiàn)在

擦掉大部分只留下點D和點O,你能找到點B嗎？

（2）在平面內把點D繞點O旋轉180。后得到點8,此時稱點。和點8關于

點。對稱,也稱點D和點B是在這個旋轉下的一對對應點.

（3）如果點D和點B關于點0成中心對稱，你能得到什么？

（4）通過上面的問題，你能說說中心對稱圖形有什么性質嗎？

*D

*

0

【討論結果】解（1）問：B點在DO的延長線上，DO=BO。總結問題后可

得出中心對稱圖形的性質：在中心對稱圖形上，每一對對應點的連線都經(jīng)過對稱

中心,且被對稱中心平分.

二、典例精析，掌握新知

例1下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

ABC

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【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：旋轉180°后能夠與原圖形重合即是中

心對稱圖形，以及軸對稱圖形的定義即可判斷出.

【解】選C

例2如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,過點。的直線分

別交AD和BC于點E、F,AB=2,BC=3,試求圖中陰影部分的面積.

【分析】觀察圖中陰影部分，可以利用中心對稱圖形的性質進行轉化“將

復雜問題簡單化.

【解】因為矩形ABCD是中心對稱圖形，所以ABOF與ADOE關于點O成

中心對稱，所以圖中陰影部分的三個三角形就可以轉化到直角AADC中.又因

為AB=2,BC=3,所以RtaADC的面積為gx3X2=3,即圖中陰影部分的面

積為3.

【教學說明】以上兩例均讓學生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學生

的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全班

同學學習與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

三、運用新知，深化理解

1.下列標志圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

ABCD

2.如圖，已知aABC和點O,畫出aDEF,使4DEF和AABC關于點O成

中心對稱.八

O

BA

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3.如圖，直線EF經(jīng)過平行四邊形ABCD的對角線的交點0,若AE=2cm,

四邊形AEFB的面積為12cm2,則CF=,平行四邊形ABCD的面積為

【教學說明】讓學生當堂完成上述練習，達到鞏固新知目的.最后全班同學

核對答案即可.

【答案】1.B

3.2cm;24cm2

1.知識回顧.

2.談談這節(jié)課你有哪些收獲？

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因,

及時查漏補缺.

定義：把一個圖形繞某一個定點旋轉180°,如果旋轉

I后的圖形能和原來圖形重合，那么這個圖形叫做中心

---------------對稱圖形，這個點就是對稱中心.

中心對稱圖形

性質：在中心對稱圖形上,每一對對應點的連線都經(jīng)過

對稱中心,且被對稱中心平分.

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1.布置作業(yè)：從教材“習題26.1”中選取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知識的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一

般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與

設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.

3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，

鞏固知識.

4.在教學過程中，應該鼓勵學.生進行自主探究，自己動手去探索中心對稱圖

形的特點，加深對新知識的認識和理解.教師在課堂上起輔助作用，引導學生自

己解決問題，注重培養(yǎng)學生的獨立意識.

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第24章圓

24.1旋轉

課時4圖案設計

【知識與技能】

利用平移、旋轉、對稱進行圖案設計，設計出稱心如意的圖案.

【過程與方法】

通過平移、對稱、旋轉的知識，然后利用這些知識讓學生開動腦筋，敝開胸

懷大膽聯(lián)想，設計出一幅幅美麗的圖案.

【情感態(tài)度與價值觀】

讓學生從事應用所學的知識進行圖案設計的活動，享受成功的喜悅，激發(fā)學

習熱情.

設計圖案.

如何利用平移、對稱、?旋轉等圖形變換中的一種或它們的組合得出圖案.

多媒體課件.

觀察下面的圖案，分析它是將哪種基本圖形經(jīng)過了哪些變換后得到的？

【教學說明】分析圖案的形成過程應按如下步驟進行:

1.劃分出組成原圖案的最基本的圖形；

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2.說明將該基本圖形運用平移、旋轉、軸對稱中的哪些圖形變換，通過怎樣

的變換方式得到原圖案.

一、思考探究，獲取新知.

探究1分析圖案形成過程

【教學說明】1.如圖，已知線段CD是線段AB平移后的圖形，D是B?點

的對稱點，作出線段AB,并回答，AB與CD有什么位置關系.

2.如圖，已知線段CD,作出線段CD關于對稱軸L的對稱線段C'D',

并說明CD與對稱線段C'D'之間有什么關系？

3.如圖，已知線段CD,作出線段CD關于D點旋轉90°的旋轉后的圖形,

?并說明這兩條線段之間有什么關系？

【討論結果】1.AB與CD平行且相等；

2.過D點作DELL,垂足為E并延長，使ED'=ED,同理作出C'點，

連結C'D?'，?則CD'就是所求的.CD的延長線與C'D'的延長線相交于

一點，這一點在L上并且CD=?C'D'；

3.以D點為旋轉中心，旋轉后CDJ_C'D',垂足為D,并且CD=C'D.

探究2圖案設計

【教學說明】教師提出問題：學校在藝術周上，要求學生制作一個精美的軸

對稱圖形，請你用所給出的幾何圖形：OOA△一一（兩個圓，兩個等邊三角形，

兩條線段）為構件，構思一個獨特、有意義的軸對稱圖形，并寫上一句簡要的解說

詞

【討論結果】所設計圖形如圖所示（答案不唯一，可供參考）：

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OO

△

▽

生活需要微笑

二、典例精析，掌握新知

例1如圖，在四個圖案中，不能由基本圖形旋轉得到的是()

AB

CD

【分析】尋找基本圖形、旋轉中心、旋轉角、旋轉次數(shù)，逐一判斷.A.可由

一個基本“花瓣”繞其中心經(jīng)過7次旋轉，每次旋轉45°得到；B.可由一個

基本“菱形”繞其中心經(jīng)過5次旋轉，每次旋轉60。得到；C.可由一個基本圖

形繞其中心旋轉180°得到；D.不能由基本圖形旋轉得到.

【解】選D

例2把如圖所示圖形中左上角的圖案繞著中心O旋轉90°,180°,270°,

畫出你所得的圖案

【分析】根據(jù)旋轉圖形的特征，分別把如上圖(1)(2)(3)所示圖形中左上角的

圖案繞著中心O旋轉90°,180°,270°,點O的位置不動，其余各部分均

繞點。按相同的方向旋轉90°,180°,270°,據(jù)此可畫出各圖.

【解】畫出的圖案如圖所示：

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（1）（2）（3）

【教學說明】以上兩例均讓學生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學生

的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全班

同學學習與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，若要使這個圖案與自身重合，則它至少繞它的中心旋轉（）

A.45°B.90°C.135°D.180°

2.以給出的圖形”。、。、△、△、==="（兩個相同的圓、兩個相同的三角

形、兩條線段）為構件，各設計一個構思獨特且有意義的軸對稱圖形和中心對稱

圖形.舉例：如圖，左框中是符合要求的一個圖形.你還能構思出其他的圖形嗎？

請在右框中畫出與之不同的圖形.

【教學說明】讓學生當堂完成上述練習，達到鞏固新知目的.最后全班同學

核對答案即可.

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1.知識回顧.

2.談談這節(jié)課你有哪些收獲？

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

圖案形成過程:

1.平面圖案的形成依據(jù)：平移，旋轉和軸對稱;

2.圖形的變換不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形

圖案設計的位置.

y

步驟：圖案設計的一般步驟:

1.選擇基本圖案（基本圖案可以是一個圖案，也可

以是幾個圖案的結合）.

2.對基本圖案進行變換（變換可以是單純的平移,

旋轉或軸對稱，也可以是多種變換）.

3.對圖案進行修飾.

1.布置作業(yè)：從教材“習題26.1”中選取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知識的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一

般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與

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設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.

3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，

鞏固知識.

4.在教學過程中，讓學.生進行自主探究，自己動手去感知圖案設計的魅力,

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第24章圓

24.2圓的基本性質

課時1圓

【知識與技能】

探索圓的兩種定義，理解掌握弧、弦、優(yōu)弧、劣弧、半圓等基本概念，并能

夠從圖形中識別；理解并掌握點和圓的三種位置關系及數(shù)量關系.

【過程與方法】

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關概念.利

用操作幾何的方法，理解圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸.

【情感態(tài)度與價值觀】

.在解決問題的過程中，使學生體會數(shù)學知識在生活中的普遍性.

掌握圓各部分的名稱及圓的特征.

點與圓的各種位置關系，點到圓心的距離與半徑r的關系.

多媒體課件，圓規(guī)，三角板.

在我們日常生活中常常可以看到有許多圓形物體，例如茶碗的碗口、鍋蓋、

太陽、車輪、射擊用的靶子等都是圓的，怎樣畫出一個圓呢？木工師傅是用一根

黑線來畫圓的，給你一根細繩、一個圖釘和一支鉛筆，你能畫出一個圓嗎？

【教學說明】利用實際生活場景,不僅能夠順利引入圓的定義，而且提高學

生的學習興趣.

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一、思考探究，獲取新知

通過動手嘗試畫圓，培養(yǎng)學生動手動腦的習慣，同時通過畫圓使學生經(jīng)歷圓

的形成過程，在操作中感受定點與動點的關系，進一步認識圓.

探究1圓的描述性定義

【教學說明】教師展示畫圓的方法：一端固定，另一端固定在標槍上.類比

得到，用細繩和鋼筆在紙上畫圓.提出問題：

（1）觀察畫圓的過程，總結出圓的形成過程.

（2）圓的兩個要素是什么？

（3）圓的表示方法是什么？

【討論結果】在平面內，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉一周，則另

一個端點A所形成的封閉曲線叫做圓.固定的端點。叫做圓心，線段0A的長

為圖中，叫做半徑.以點0為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

探究2圓的集合性定義

【教學說明】教師設置如下問題：

體育課上，體育老師讓全班50名同學沿著界線站成一排做套圈游戲，如圖,

你認為老師這樣設計游戲公平嗎？若不公平，你認為怎樣設計才更加公平呢？

目標

*

界線

【討論結果】總結圓的集合性定義：圓可以看作是到定點的距離等于定長的

所有點的集合.

探究3點和圓的位置關系

【教學說明】教師設置如下問題：

問題1:觀察圖中點P,點P2,點P3與圓的位置關系.

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問題2：設。。的半徑為，，說出點Pl、點P2、點P3與圓心0的距離d與

半徑「的關系；

問題3：反過來，已知點P到圓心0的距離d和圓的半徑r,能否判斷點和

圓的位置關系？

.?尸3?P1

尸2

【討論結果】1.點與圓的三種位置關系：點在圓上、點在圓外、點在圓內.

2.點到圓心的距離d與半徑r之間的數(shù)量關系有三種：d>r,d=r,d<r.

3.d>r0點在圓外；d=r=點在圓上；dOo點在圓內.

二、典例精析，掌握新知

例1有下列五個說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直

徑；④半圓是弧，.但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對稱軸.其中

錯誤的說法個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)圓、直徑、弦、半圓等概念來判斷.半徑確定了，只能說明圓

的大小確定了，但是位置沒有確定；直徑是弦，但弦不一定是直徑；圓的對稱軸

是一條直線，每一條直徑所在的直線是圓的對稱軸，所以①③.⑤的說法是錯誤

的.

【解】選C

例2如圖所示，OA、0B是。。的,半徑，點C、D分別為OA、0B的中點,

求證：AD=BC.

【分析】先挖掘隱含的“同圓的半徑相等”“公共角”兩個條件，再探求證

明AAOD絲aBOC的第三個條.件，從而可證出△AODgABOC,根據(jù)全等三角

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形對應邊相等得出結論.

【解】：0A、OB是。0的半徑，...OAMOB...?點C、D分別為OA、OB

的中點，.，,OC=|oA,OD=|oB,，OC=OD.又?.?NO=NO,/.AAOD^A

BOC(SAS),/.BC=AD.

例3如圖所示，AB是G)O的直徑，CD是。O的弦，AB,CD的延長線交

于點E.已知AB=2DE,ZE=18°,求NAOC的度數(shù).

【分析】要求NAOC的度數(shù)，由圖可知NAOC=NC+NE,故只需求出N

C的度數(shù)，而由AB=2DE知DE與。。的半徑相等，從而想到連接OD構造等

腰AODE和等腰AOCD.

【解】連接OD,'.'AB是。O的直徑，OC,OD是。O的半徑，AB=2DE,

/.OD=DE,ZDOE=ZE=18°,ZODC=ZDOE+ZE=36°,VOC=

OD,.,.ZC=ZODC=36°,ZAOC=ZC+ZE=36°+18°=54°.

例4如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm.

(1)以點A為圓心，4cm為半徑作。A,則點B,C,D與。A的位置關系

如何？

(2)若以點A為圓心作。A,使B,C,D三點中至少有一點在圓內且至少

有一點在圓外，則。A的半徑r的取值范圍是什么？

【解】（D：AB=3c.mV4cnL,.,.點B在G）A內.VAD=4cm,.,.點D在。

A上.VAC=^/32+42=5cm>4cm,.?.點C在G)A外；

(2)由題意得，點B一定在圓內，點C一定在圓外，...BcmVrV5cm.

【教學說明】以上四例均可讓學生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學

生的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全

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班同學學習與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

三、運用新知，深化理解

1.下列說法中，錯誤的是（）

A.直徑相等的兩個圓是等圓

B.長度相等的兩條弧是等弧

C.圓中最長的弦是直徑

D.一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能相等

2.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,CP,CM分別是AB邊

上的高和中線，如果OA是以點A為圓心，半徑為2的圓，那么下列判斷正確

的是（）

A.點P,M均在OA內

B.點P,M均在。A外

C.點P在OA內，點M在OA外

D.點P在。A外，點M在。A內

3.00的半徑為5cm,點A到圓心0的距離0A=3cm,則點A與。0的

位置關系為（）

A.點A在圓上B.點A在圓內

C.點A在圓外D.無法確定

【教學說明】讓學生當堂完成上述練習，加深學生對所學知識的理解運用，

在問題的選擇上以基礎為主、疑難點突出，使學生思維得到拓展、能力得以提升.

最后全班同學核對答案即可.

【答案】1.B

2.如圖所示.?.?在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,.*.AB=

5.VCP,CM分別是AB邊上的高和中線，，AB?CP=AC-BC,AM=AB=2.5,

ACP=2.4.AAP=1.8.VAP=1.8<2,AM=2.5>2,.?.點P在。A內，點M在

3.B

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1.知識回顧.

2.談談這節(jié)課你有哪些收獲？

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

-o??

描述性定義：在平面內，線段繞固定一個端點旋轉一周，

/則另一個端點所形成的封閉曲線叫做圓.

1.圓的定義

集合性定義：圓可以看作是到定點的距離等于定長的所有

點的集合.

2.點和圓的位置關系：點在圓外；4=r=點在圓上；點在圓內.

1.布置作業(yè)：從教材“習題26.1”中選取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知識的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一

般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與

設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.

3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，

鞏固知識.

4.教學過程中，應鼓勵學生自己動手畫圓，探究圓形成的過程，同時小組討

論、交流各自發(fā)現(xiàn)的圓的有關性質，使學生成為課堂的主人，進一步提升學生獨

立思考問題的能力及探究能力.

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第24章圓

24.2圓的基本性質

課時2垂徑分弦

【知識與技能】

1.探索圓的對稱性，進而得到垂徑定理.

2.能夠利用徑定理解決相關的實際問題.

【過程與方法】

在探索問題的過程中培養(yǎng)學生動手操作的能力，使學生感受圓的對稱性，體

會圓的性質，經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關性質的過程.

【情感態(tài)度與價值觀】

使學生領會數(shù)學的嚴謹性和探索精神，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和積極

參與的精神.

垂徑定理的及其證明.

利用垂徑定理解決實際問題.

多媒體課件，三角板，圓規(guī).

你知道趙州橋嗎？它是1400多年前我國建造的,是我國古代人民勤勞與智慧

的結晶，它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4m,拱高（弧的中點到

弦的距離）為7.2m,你能求出橋拱所在圓的半徑嗎？

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【教學說明】結合趙州橋資料向學生進行愛國主義教育和美育滲透,并引入

新知識.

一、思考探究，獲取新知

通過上面問題引導學生探究、發(fā)現(xiàn)垂徑定理，初步感知.

探究1垂徑定理

【教學說明】如果。0的直徑CD垂直于弦AA，，垂足為M,那么點A和點

A，是對稱點，把。。沿著直徑CD折疊時，點A與點A，重合，你能發(fā)現(xiàn)圖中有

哪些相等的線段和??？為什么？

D

【討論結果】歸納總結垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這

條弦所對的兩條弧.

幾何語言：???CDLAATCD是。0的直徑，

/.AM=MA,,AC=A^C,AD=A^D.

探究2垂徑定理的推論

【教學說明】教師針對垂徑定理提出問題：

1.垂徑定理是由幾個條件得到幾個結論？

2.把垂徑定理條件中的“垂直”和“平分”互換，是否仍然成立呢？

【討論結果】1.①直徑；②直徑垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分優(yōu)

??；⑤平分劣弧，垂徑定理由①②推出③④⑤.

2.成立.得出垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分

弦所對的兩條弧.

二、典例精析，掌握新知

例11.下列命題中錯誤的有（）

①弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓的對稱軸是直

徑.

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A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】圓的對稱軸是直徑所在的直線.

【解】選A

例2如圖所示，。0的直徑AB垂直弦CD于點P,且P是半徑0B的中點,

CD=6cm,則直徑.AB的長是（）

A.2小cm

B.36cm

C.4gcm

D.4小cm

【分析】?.?直徑ABLDC,CD=6cm,...DPLBcm.連接OD,..1是OB的

中點，設OP為x,則OD為2x,在.RtaDOP中，根據(jù)勾股定理列方程32+X2

=(2x)2,解得x=^.；.0D=2Scm,；.AB=4小cm.

【解】選D

例3如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。▓D中的@）,點0,是這段弧的圓

心，C是最上一點，OC_LAB,垂足為D,AB=300m,CD=50m,則這段彎路

的半徑是m.

【分析】本題考查垂徑定理的應用，AB,AB=300m,AAD=150m.

設半徑為R,在RtZSADO中，根據(jù)勾股定理可列方程R2=（R—50）2+1502,解

得R=250.

【解】250

例4如圖所示，。。的弦AB、AC的夾角為50°,M、N分別是@、R的

中點，則NMON的度數(shù)是（）

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A.100°

B.110°

C.120°

D.130°

【分析】已知M、N分別是@、R的中點，由“平分弧的直徑垂直平分弧

所對的弦”得OM_LAB、ON1AC,所以NAEO=NAFO=90°,而NBAC=

50°,由四邊形內角和定理得NMON=360°-ZAEO-ZAFO-ZBAC=

360°-90°-90°-50°=130°.

【解】D

【教學說明】以上四例均讓學生獨立思考，自主完成.教師巡視，了解學生

的掌握情況，最后選取幾個優(yōu)秀作業(yè)和有代表性問題作業(yè)通過幻燈片展示給全班

同學學習與思考，加深對本節(jié)知識的理解和掌握.

三、運用新知，深化理解

1.如圖1,如果AB為。。的直徑，弦CDLAB,垂足為E,那么下列結論

中，錯誤的是().

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AC>AD

(1)(2)(3)

2.如圖2,。。的直徑為10,圓心。到弦AB的距離OM的長為3,則弦

AB的長是()

A.4B.6C.7D.8

3.如圖3,在。O中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，?則下列

結論中不正確的是()

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

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4.紹興是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m,橋拱

半徑0C為5m,則水面寬AB為（）

【教學說明】讓學生當堂完成上述練習，達到鞏固新知目的.最后全班同學

核對答案即可.

【答案】1.D2.D3.D4.D

1.知識回顧.

2.談談這節(jié)課你有哪些收獲？

【教學說明】教師應與學生一起進行交流，共同回顧本節(jié)知識，理清解題思

路與方法，對普遍存在的疑慮，可共同探討解決，對少數(shù)同學還面臨的問題，可

讓學生與同伴交流獲得結果，也可課后個別輔導，幫助他分析，找出問題原因，

及時查漏補缺.

定義：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所

I------對的兩條弧.

垂徑定理

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對的兩條弧.

1.布置作業(yè)：從教材“習題26.1”中選取.

2.完成《少年班》P2-P3.

1.注重知識的前后聯(lián)系，在溫故而知新的過程中孕育新知，按照由特殊到一

般的規(guī)律，降低學生理解的難度.

2.教師創(chuàng)設情境，給出實例，學生積極主動探索，教師引導與啟發(fā)、點撥與

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設疑相結合，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導者與合作者的地位.

3.增設例題難度，讓學生產(chǎn)生困惑，避免今后犯類似錯誤，增加課堂練習，

鞏固知識.

4.在教學過程中，引導學生探究垂徑定理及其推論時，強調垂徑定理的得出

跟圓的軸對稱密切相關.在練習過程中，引導學生結合實際運用垂徑定.理，使

學生養(yǎng)成良好的思維習慣.

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第24章圓

24.2圓的基本性質

課時3圓心角、弧、弦、弦心距間的關系

【知識與技能】

1.理解圓心角的概念和圓的旋轉不變性.

2.掌握圓心角、弧、弦、弦心距的關系定理，并能運用其解答問題.

【過程與方法】

1.通過觀察、分析圓心角、弧、弦、弦心距的關系，發(fā)展學生的合情推理能

力和演繹推理能力.

2.通過教具的演示，使學生感受圓的旋轉不變性，發(fā)展學生觀察、分析的能

力.

【情感態(tài)度與價值觀】

引導學生對圖形進行觀察，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，并在運用數(shù)學知識

解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學習的信心.

圓心角、弧、弦、弦心距的關系定理及靈活運用.

“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理”中的“在同圓或等圓”條件的理解

及定理的證明.

多媒體課件，圓規(guī)，三角板.

(I)在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的。0和。0',沿圓周分別將兩

圓剪下；

(2)在。0和。0'上分別作相等的角NA0B和NA'O'B',作0M_L

AB于M,O'M'_LA'B'于M',如圖①所示.

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注意:在畫NAOB與NA'O'B'時，要使0B相對于0A的方向與O'B'

相對于O'A'的方向一致，否則當0