第一節(jié)平面向量的概念及線性運算1.向量的有關概念

名稱定義備注向量既有

大小

又有

方向

的量叫做向量;向量

的大小稱為向量

的

長度

(或稱

模

)

記作零向量長度為

0

的向量叫做零向量

記作0單位向量長度等于

1個單位長度

的向量,叫做單位向量

與非零向量a共線的單位向量為平行向量(共線向量)方向

相同

或

相反

的非零向量叫做平行向量(共線向量)

零向量與任意向量平行名稱定義備注相等向量長度

相等

且方向

相同

的向量叫做相等向量

兩向量只有相等或不相等,不能比較大小相反向量長度

相等

且方向

相反

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量微點撥1.注意0與0的區(qū)別,0是一個向量,0是一個實數(shù),且|0|=0,一個向量是零向量的充要條件是其模等于0.2.單位向量有無數(shù)個,它們的模相等,都等于1,但方向不一定相同.微思考

向量平行與直線平行有何不同?提示

向量平行與向量共線是完全相同的一個概念,指兩個向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直線可以平行,也可以重合;但直線平行不包含直線重合的情況.2.向量的線性運算指向量的加法、減法、數(shù)乘運算,向量的線性運算的結果仍為向量向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算,叫做向量的加法

三角形法則

平行四邊形法則適用于任意兩個非零向量求和交換律:a+b=b+a結合律:(a+b)+c=a+(b+c)

只能用于兩個不共線向量求和

向量運算定義法則(或幾何意義)運算律減法向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差.求兩個向量差的運算叫做向量的減法

三角形法則—數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算叫做向量的數(shù)乘|λa|=

|λ||a|

;

當λ>0時,λa的方向與a的方向

相同

;當λ<0時,λa的方向與a的方向

相反

;當λ=0時,λa=0

λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb(λ,μ為實數(shù))3.共線向量定理不能漏掉這一條件向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使得

b=λa

.

微點撥

三點共線的幾個等價關系

微思考

共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0?提示

(1)若將條件a≠0去掉,即當a=0時,顯然a與b共線;(2)當a=0時,若b≠0,則不存在實數(shù)λ,使得b=λa,但此時向量a與b共線;(3)當a=0時,若b=0,則對任意實數(shù)λ,都有b=λa,與有唯一一個實數(shù)λ矛盾.常用結論

自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)√××題組二

回源教材4.(人教A版必修第二冊6.4.3節(jié)第16頁練習第3題改編)已知e1,e2是兩個不共線的向量,a=e1-2e2,b=2e1+ke2.若a與b是共線向量,則實數(shù)k的值為

.

答案

-4研考點精準突破考點一平面向量的概念題組(1)(2023·山東煙臺高三月考)下列說法正確的是(

)A.若a,b都是單位向量,則a=bB.若存在實數(shù)λ,μ,使得a=λb,c=μb,則a∥cC.與非零向量a共線的單位向量是唯一的D.若存在實數(shù)λ,μ滿足λa=μb,則a與b共線(2)(多選)(2023·河南鄭州高三月考)若a,b均為非零向量,則

成立的一個充分條件是(

)A.a∥b

B.b=-2aC.|a-b|=|a|+|b| D.a·b=-|a||b|答案

(1)B

(2)BCD規(guī)律方法

關于平面向量概念的幾個注意點(1)單位向量不一定相等.(2)向量的相等具有傳遞性,非零向量的平行(共線)具有傳遞性.(3)表示與a同向的單位向量.(4)向量可以任意平移,平移后的向量與原向量是相等向量.考點二平面向量的線性運算(多考向探究預測)考向1線性運算

A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3nA.1 B.2 C.3 D.4答案

(1)B

(2)C規(guī)律方法

平面向量的線性運算的求解策略

答案

D考向2線性運算的幾何意義

答案

D引申探究(變條件變結論)本例中,其他條件不變,將“x=-”變?yōu)椤皔=”,則x的取值范圍是

.

規(guī)律方法

對點訓練(2023·福建廈門高三月考)若a,b為非零向量,且滿足|2a+3b|=|2a-3b|,則(

)A.3|a|=2|b| B.a∥bC.a⊥b

D.2|a|=3|b|答案

C解析

由于|2a+3b|=|2a-3b|,作

,則以OA,OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線長度相等,所以該平行四邊形為矩形,所以2a⊥3b,因此a⊥b.故選C.考點三共線向量定理及其應用答案

(1)A

(2)D規(guī)律方法

利用共線向量定理解題的方法(1)若b≠0,則a∥b?a=λb是判斷兩個向量共線的主要依據(jù),注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線,即A,B,C三點共線?共線