第1章函數(shù)、極限與連續(xù).pptx第2章導數(shù)與微分.pptx第3章導數(shù)的應用.pptx第4章1元函數(shù)積分學及其應用.pptx全套可編輯PPT課件第1章函數(shù)、極限與連續(xù)極限理論是微積分的理論基礎(chǔ),它研究的是在自變量某個變化過程中,函數(shù)的相應變化趨勢.本章將介紹極限基本概念和求極限的常用方法,并用極限的思想方法討論無窮小及函數(shù)的連續(xù)性.數(shù)列極限的思想早在中國古代就已萌生.例如,我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽,曾用他創(chuàng)造的割圓術(shù)計算圓的面積.“割之彌細,所失彌少,割之又割……,則與圓周合體而無失矣.”這個“無限接近”的過程就是一個極限過程.1631.1函數(shù)1.2極限1.3無窮小量與無窮大量1.4兩個重要極限及其運用1.5函數(shù)的連續(xù)性及基本性質(zhì)1.1函數(shù)一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

函數(shù)的表示方法主要有三種:解析法表格法圖像法一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念【例3】(絕對值函數(shù))

一、函數(shù)的概念【例4】(符號函數(shù))

一、函數(shù)的概念【例5】(取整函數(shù),又名Gauss函數(shù))

其圖像形狀如樓梯,因此這類函數(shù)又稱為階梯型函數(shù).一、函數(shù)的概念2.函數(shù)的幾種特性

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

思考：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是否只有上述這個?一、函數(shù)的概念

一、函數(shù)的概念

思考：所有周期函數(shù)是否都有最小正周期?二、基本初等函數(shù)

二、基本初等函數(shù)

其中,常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)，我們在高中時已作了系統(tǒng)且詳細的學習,此處不再贅述.下面重點介紹反三角函數(shù).

二、基本初等函數(shù)

它們的圖形分別如圖1-9，圖1-10，圖1-11，圖1-12中實線所示:二、基本初等函數(shù)二、基本初等函數(shù)二、基本初等函數(shù)反三角函數(shù)在各自的定義域內(nèi)滿足以下關(guān)系式:

三、復合函數(shù)、初等函數(shù)

三、復合函數(shù)、初等函數(shù)

三、復合函數(shù)、初等函數(shù)

正確掌握分析復合函數(shù)的復合過程的方法對以后的學習非常重要.方法如下:從外層開始,層層剝離,逐層分解.三、復合函數(shù)、初等函數(shù)【例6】指出下列復合函數(shù)的復合過程.

三、復合函數(shù)、初等函數(shù)

【定義8】由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復合運算所構(gòu)成,并可用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù)．

皆為初等函數(shù).分段函數(shù)一般不是初等函數(shù),如取整函數(shù),符號函數(shù)都不是初等函數(shù).

思考：絕對值函數(shù)是不是初等函數(shù)?1.2極限一、數(shù)列的極限1.數(shù)列

【定義1】按一定次序排列的一些數(shù)

一、數(shù)列的極限下面舉幾個數(shù)列的例子:

一、數(shù)列的極限2.數(shù)列極限先看一個古代數(shù)學問題———截丈問題.2000多年前,中國的莊子提出“一尺之槌,日取其半,萬世不竭.”意為一根一尺長的竹竿,每天截取它的一半,永遠都取不完.從第一天起,我們把該竹竿被截后所剩長度寫下來,便得到如下數(shù)列:

一、數(shù)列的極限無論經(jīng)過多少天,竹竿總有剩余,不可能取完.也就是說,對任意的正整數(shù)n(無論它多大),這個數(shù)列的項永遠為正數(shù).但這只是問題的一個方面,另一方面,我們不難發(fā)現(xiàn),當n無限增大時,該數(shù)列的項就無限接近于0.這里隱含著數(shù)列極限,下面給出定義.一、數(shù)列的極限

一、數(shù)列的極限

【例1】觀察下列數(shù)列的變化趨勢,寫出它們的極限:

一、數(shù)列的極限

一、數(shù)列的極限

一、數(shù)列的極限一般有

一、數(shù)列的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

顯然有以下結(jié)果:

二、函數(shù)的極限【例2】求下列函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

因此有

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

二、函數(shù)的極限

【解】由

三、極限的四則運算法則

三、極限的四則運算法則

定理3中的(1),(2)都可以推廣到有限個函數(shù)的情形.由于數(shù)列可視為整變量函數(shù)，則此法則對數(shù)列極限也完全適用。三、極限的四則運算法則

三、極限的四則運算法則【例9】求下列各式的極限:

三、極限的四則運算法則

1.3無窮小量與無窮大量一、無窮小量與無窮大量的概念

一、無窮小量與無窮大量的概念

也就是說,無窮小是以0為極限的函數(shù),無窮大是絕對值無限增大的函數(shù).

一、無窮小量與無窮大量的概念

在自變量的同一變化過程中的無窮小具有如下性質(zhì):【性質(zhì)1】有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小.【性質(zhì)2】有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.由以上兩個性質(zhì)立得以下兩性質(zhì):【性質(zhì)3】常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.【性質(zhì)4】有限個無窮小的乘積是無窮小.一、無窮小量與無窮大量的概念

二、無窮大量與無窮小量的關(guān)系

簡言之,同一過程中的無窮大的倒數(shù)為無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大.

三、無窮小量比階問題

三、無窮小量比階問題

三、無窮小量比階問題

三、無窮小量比階問題

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系關(guān)于等價無窮小，有下面的重要性質(zhì)：

這個定理是說,兩個無窮小等價,當且僅當它們的差是比其中一個更高階的無窮小.

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系

這個定理告訴我們一種求極限的方法---等價無窮小代換法.求兩個無窮小的商的極限時,分子和分母都可以用等價的無窮小來代替.通常,我們用形式較簡單的無窮小代替較復雜的無窮小,以達到簡化計算的目的.進一步,分子和分母中的無窮小乘積因子也可以用等價無窮小代替.四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系下面先給出一些常用的等價無窮小:

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系【例4】求下列極限:

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系

為什么?因為只有當分子或分母是函數(shù)的乘積時,對于乘積因子才可以用等價無窮小代換.對于和或差中的函數(shù),一般不能用等價無窮小代換!這是用等價無窮小代換法求極限的易錯點,特別注意!正確解法為

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系

結(jié)合定理2,我們介紹等價無窮小代換法中的一種特殊的技巧---舍去高階無窮小.根據(jù)定理2,對于能用等價無窮小代換的分母或分子(或乘積因子),若是兩個不同階的無窮小的和,則可以把其中較高階的無窮小舍去,即以其中較低階的無窮小作代換.以下舉例說明:【例5】求下列極限:

四、具有極限的函數(shù)與無窮小量的關(guān)系

1.4兩個重要極限及其運用兩個重要極限及其運用

本節(jié)介紹兩個重要極限:

【例2】求下列極限.

說明:例2還可以用等價無窮小代換法,解法如下:

顯然,用等價無窮小代換法更加簡潔,讀者可見這種方法的巧妙之處.

【例3】求下列極限.

一般地,有

1.5函數(shù)的連續(xù)性及基本性質(zhì)一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念如圖1－14所示.

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

一、函數(shù)連續(xù)性的概念

二、函數(shù)的間斷點

二、函數(shù)的間斷點

二、函數(shù)的間斷點

二、函數(shù)的間斷點

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

由函數(shù)連續(xù)性的定義及極限的運算法則,可得以下性質(zhì).

以上性質(zhì)證明留給讀者.我們還可證明:三、初等函數(shù)的連續(xù)性

【定理1】基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的.

由上述定理1及性質(zhì)1,2可得:

【定理2】一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

三、初等函數(shù)的連續(xù)性【例5】求下列極限:

三、初等函數(shù)的連續(xù)性

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有一些很重要的性質(zhì),它們的幾何意義都很明顯,但證明比較困難,下面我們不加證明地以定理的形式給出這些性質(zhì).

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一位游客在位于天河區(qū)的天河體育中心觀看完比賽之后,前往位于海珠區(qū)的廣州塔觀光.他可以選擇乘坐地鐵,自駕車,坐船渡過珠江等方式到達廣州塔,但無論他選擇哪種路線及方式,都有一個共同點---他必須穿過珠江(除非繞道離開廣州),這是因為,他的出發(fā)點和目的地位于珠江的兩岸.我們把這個簡單的生活常識抽象開來,便得到如下的零點定理.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理的幾何意義如圖1－16所示.

零點定理應用廣泛,下面介紹它在證明方程根的存在性方面的具體應用.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

由零點定理可推論出更一般性的介值定理.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第2章導數(shù)與微分高等數(shù)學的研究主線為微積分模塊,其中研究函數(shù)導數(shù)及微分的模塊稱為微分學,而研究函數(shù)不定積分與定積分的模塊稱為積分學,二者在高數(shù)研究中處在同等重要地位.微分學模塊作為主線分支之一,它的研究核心為函數(shù)的導數(shù)及微分,前者主要求解函數(shù)在某點處的瞬時變化率問題,此問題的順利求解,也使得人們可以合理利用導數(shù)工具研究物理領(lǐng)域的瞬時速度及經(jīng)濟學領(lǐng)域的邊際分析等問題.后者主要是指給自變量施加微小變動時,函數(shù)增量的具體變化情況,在工程領(lǐng)域中應用廣泛.2.1函數(shù)的導數(shù)2.2導數(shù)的運算2.3函數(shù)的微分2.1函數(shù)的導數(shù)一、引例1.汽車行駛過程中的瞬時速度問題

一、引例2.平面曲線的切線斜率問題

一、引例

一、函數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念1.導數(shù)的極限定義

二、導數(shù)的概念

即：

二、導數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念

速度的概念也可延伸到經(jīng)濟領(lǐng)域，如經(jīng)濟增長速度等．

二、導數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念2.導數(shù)與導函數(shù)

二、導數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念3.左導數(shù)和右導數(shù)

二、導數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念

【解】函數(shù)是分段函數(shù)，需用左、右導數(shù)來判斷．二、導數(shù)的概念

二、導數(shù)的概念

三、可導與連續(xù)的關(guān)系

連續(xù)性與可導性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，二者之間的關(guān)系如何呢？先從幾何直觀上看一下．（圖2－2）三、可導與連續(xù)的關(guān)系

成立．但反之不成立．三、可導與連續(xù)的關(guān)系

三、可導與連續(xù)的關(guān)系

由此可見，函數(shù)在一點連續(xù)是它在該點可導的必要條件而非充分條件．

2.2導數(shù)的運算一、導數(shù)的四則運算法則

一、導數(shù)的四則運算法則

一、導數(shù)的四則運算法則【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：

【解】

一、導數(shù)的四則運算法則【例2】求下列函數(shù)的導數(shù)：

【解】

二、反函數(shù)的求導法則

二、反函數(shù)的求導法則

【解】

三、基本初等函數(shù)的求導公式

為了運算的方便，下面給出基本初等函數(shù)的求導數(shù)公式．而這些公式在前面的例題中已經(jīng)得到了．

三、基本初等函數(shù)的求導公式

三、基本初等函數(shù)的求導公式【例5】求下列函數(shù)的導數(shù)：

四、復合函數(shù)的求導法則

四、復合函數(shù)的求導法則【例6】求下列函數(shù)的導數(shù)：

四、復合函數(shù)的求導法則

充分熟悉復合函數(shù)的求導法則后，中間變量不必寫出來．五、隱函數(shù)及其求導法則

注意:有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在隱函數(shù)的形式下求其導數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！五、隱函數(shù)及其求導法則隱函數(shù)的求導

五、隱函數(shù)及其求導法則

即

六、對數(shù)求導法

六、對數(shù)求導法

所以

如上形式的冪-指函數(shù)一般都可以采用上述的對數(shù)求導法來求導數(shù)．六、對數(shù)求導法

六、對數(shù)求導法所以

七、高階導數(shù)

七、高階導數(shù)

七、高階導數(shù)

或

七、高階導數(shù)

由此可見，求高階導數(shù)就是多次接連地求導數(shù)．所以，仍可應用前面學過的求導方法來計算高階導數(shù)．七、高階導數(shù)

七、高階導數(shù)

【解】

七、高階導數(shù)

【解】

2.3函數(shù)的微分一、微分的概念

一、微分的概念

一、微分的概念

對于一般函數(shù)有一、微分的概念

一、微分的概念

一、微分的概念

二、微分的計算1.基本微分公式

二、微分的計算

二、微分的計算

二、微分的計算微分運算法則

二、微分的計算2.微分運算法則

二、微分的計算

此性質(zhì)稱為微分形式的不變性．二、微分的計算

【解】因為

也可以利用微分形式的不變性來求：

由以上例題可見，求導數(shù)與求微分在方法上沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，故統(tǒng)稱為微分法．三、微分的應用

（2-1）

（2-2）三、微分的應用

（2-3）

三、微分的應用

四、微分幾何意義

四、微分幾何意義

【例3】某正方體金屬邊長為4厘米，當金屬受熱膨脹時，邊長增加0.01厘米，體積微分是？

四、微分幾何意義

第3章導數(shù)的應用

【導例1】廣東某企業(yè)主營汽車鑄造模具生產(chǎn),在日常業(yè)務(wù)實踐過程中,為了防范風險,常對總訂單采取分批生產(chǎn)交貨的模式,已知每批汽車鑄造模具的生產(chǎn)前置費為40000元,每臺模具設(shè)備的庫存管理費為800元/年,在市場需求一致(供需相等)的情形下,且不允許缺貨現(xiàn)象,問每批至少生產(chǎn)多少臺設(shè)備,才能使得該企業(yè)一年的總成本支出(生產(chǎn)前置費和庫存管理費)最少?第3章導數(shù)的應用

【導例2】廣東某汽車4S店,為完成季度銷售目標,門店經(jīng)理決定調(diào)整A品牌某款新能源汽車的價格,基于銷售部市場調(diào)查分析,得出該款車型的需求函數(shù)為Q=20-P4,且該款車型當前價格為14.8萬元,針對該款汽車,采取提價還是降價策略能使收益增加?雖然上述問題現(xiàn)實背景不同,但均可歸結(jié)為最值問題的求解,這即是本章的主要研究內(nèi)容:如何利用導數(shù)工具,有效解決經(jīng)濟生活中的函數(shù)最值問題,細致研究函數(shù)圖像特征及合理求取函數(shù)的極限值等問題.3.1微分中值定理3.2洛必達法則3.3導數(shù)在幾何上的應用3.4導數(shù)在工程上的應用3.5函數(shù)圖形的描繪3.1微分中值定理微分中值定理

微分中值定理微分中值定理

微分中值定理微分中值定理

3.2洛必達法則一、洛必達法則簡述

一、洛必達法則簡述

二、洛必達法則的基本應用

【例1】求下列極限：

二、洛必達法則的基本應用

二、洛必達法則的基本應用【例2】求下列極限：

二、洛必達法則的基本應用

二、洛必達法則的基本應用

此極限不存在．但事實上，

二、洛必達法則的基本應用2.其他類型的未定式極限

二、洛必達法則的基本應用

二、洛必達法則的基本應用

二、洛必達法則的基本應用

再取極限得：

3.3導數(shù)在幾何上的應用一、函數(shù)的單調(diào)性

我們已經(jīng)學過了函數(shù)單調(diào)性的概念及判別法，導數(shù)符號與函數(shù)的單調(diào)性有如下關(guān)系：

一、函數(shù)的單調(diào)性

【解】為了考察該函數(shù)的單調(diào)性，先來求該函數(shù)的導數(shù)

一、函數(shù)的單調(diào)性

在多數(shù)情況下，函數(shù)在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)導數(shù)大于零，在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)導數(shù)小于零，而在駐點處導數(shù)等于零．因而，單調(diào)增和單調(diào)減區(qū)間通常以駐點為分界點，但實際上情形并非總是如此.一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性

一、函數(shù)的單調(diào)性列表確定函數(shù)的單調(diào)性，見表3－1：

二、函數(shù)的極值1.極值的概念

函數(shù)的極值也是我們已接觸過的問題，定義如下：

極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點．二、函數(shù)的極值

顯然，函數(shù)極值是一個局部性的概念，它只是與極值點鄰近所有點的函數(shù)值比較而言，并不意味著它是整個定義區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值；極值只能在區(qū)間的內(nèi)部取不能在區(qū)間的端點處取得．二、函數(shù)的極值2.極值的求法根據(jù)極值點的定義，可以給出極值的第一種判別方法.

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的極值3.極值的應用

二、函數(shù)的極值

比較函數(shù)在駐點與端點處的函數(shù)值：

二、函數(shù)的極值

對于最值問題，有如下結(jié)論：如果一個實際問題可以預先斷定必存在最值，并且函數(shù)在定義域內(nèi)只有唯一臨界點，則無須判別即可斷定，該臨界點的函數(shù)值必為所求最值．這個結(jié)論在實際問題中有著非常廣泛的應用。三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點１.曲線凹凸性及拐點的概念

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點

根據(jù)曲線與其上各點切線的位置關(guān)系，對于曲線的特性給出如下定義：

【定義3】連續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點．三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點2.曲線凹凸性的判斷我們將圖3－6分解成如下兩個圖形，如圖3－7所示．三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點

三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點

列表3.3討論（表中“╭╮”表示曲線是凸的，“╰╯”表示曲線是凹的）：三、曲線的凹凸區(qū)間與拐點

四、曲率1.弧的微分

四、曲率

四、曲率四、曲率于是

因此，得弧微分四、曲率

四、曲率

解

由于

所以由弧微分公式，得

四、曲率2.曲率的概念

我們先從幾何圖形上分析哪些量與曲線彎曲程度有關(guān)．

四、曲率四、曲率

所以確定曲線弧的彎曲程度時，必經(jīng)同時考察弧段的長度和切線的轉(zhuǎn)角這兩個因素．四、曲率

四、曲率

四、曲率于是

則曲率

這說明,圓周上任一點處的曲率都相等,且等于半徑的倒數(shù).這個結(jié)論與實際情況相符合,則當圓的半徑越小時,其彎曲就越厲害,即曲率越大.四、曲率3.曲率的計算公式

利用曲率的定義來計算曲線的曲率是不方便的，為簡便起見，下面給出計算曲率的公式．

四、曲率

四、曲率4.曲率圓與曲率半徑

四、曲率

四、曲率

因此

曲率半徑為

3.4導數(shù)在工程上的應用導數(shù)在工程上的應用

導數(shù)在工程上的應用解

要使材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最?。?/p>

導數(shù)在工程上的應用

于是得出結(jié)論：當所做罐頭筒的高和底直徑相等時，所用材料最?。畬?shù)在工程上的應用

導數(shù)在工程上的應用

導數(shù)在工程上的應用

導數(shù)在工程上的應用令

得

由實際問題知，此時發(fā)動機的效率最大，最大效率為

3.5函數(shù)圖形的描繪一、曲線的漸近線

【定義1】如果曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠時，該點與某條直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線.1.水平漸近線

一、曲線的漸近線2.鉛垂?jié)u近線

二、函數(shù)作圖描繪函數(shù)圖像的具體方法如下:1.確定函數(shù)的定義域;2.確定曲線關(guān)于坐標軸的對稱性;3.求出曲線和坐標軸的交點;4.判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出極值;5.確定函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點;6.求出曲線的漸近線;7.列表討論并描繪函數(shù)的圖像.二、函數(shù)作圖

(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性.

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖

(6)無漸近線.

(7)將上面的結(jié)果列表3-4，函數(shù)圖像如圖3-19所示.二、函數(shù)作圖二、函數(shù)作圖

(2)函數(shù)不具有奇偶性，因此曲線無對稱性.

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖

二、函數(shù)作圖(7)將上面的結(jié)果列表3-5，函數(shù)圖像如圖3-20所示.二、函數(shù)作圖第4章一元函數(shù)積分學及其應用在第2、3章,我們主要研究一類問題,給定一個函數(shù)f(x)的前提下,求解該函數(shù)的微分與導函數(shù)問題,現(xiàn)在考慮相反的情況,已知一個函數(shù)的導函數(shù)與微分,如何求解出該函數(shù)本身?這就涉及本章的學習內(nèi)容———不定積分的求解問題,積分與導數(shù)(微分)問題也被稱為高等數(shù)學的兩大主要研究主題.4.1不定積分的概念及性質(zhì)4.2定積分的概念及性質(zhì)4.3積分計算4.4定積分的基本應用4.5廣義積分4.1不定積分的概念及性質(zhì)一、不定積分的概念1.原函數(shù)的定義

思考:一個函數(shù)應具備什么條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢？一、不定積分的概念

注意:如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，那么它的原函數(shù)是無窮多個，并且任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù).一、不定積分的概念2.不定積分的定義

即

一、不定積分的概念其中,∫稱為積分號,x稱為積分變量,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,C稱為積分常數(shù).

一、不定積分的概念

一、不定積分的概念

一、不定積分的概念3.不定積分的幾何意義

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)1.不定積分的基本公式

從導數(shù)基本公式可以得到相應的不定積分公式.

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

【解】

被積函數(shù)本質(zhì)上還是冪函數(shù)，利用公式（2），得

注意:在應用積分基本公式時注意要符合公式的一般形式才可以靈活使用.二、不定積分的基本公式及性質(zhì)2.不定積分的性質(zhì)

由不定積分的定義及導數(shù)的運算性質(zhì)可得不定積分的性質(zhì)：

【性質(zhì)1】

求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)【性質(zhì)2】

函數(shù)和的不定積分等于各個函數(shù)不定積分的和，即:

【性質(zhì)3】

不定積分與微分之間的運算關(guān)系:

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)3.直接積分法

利用不定積分基本公式及性質(zhì)，求簡單函數(shù)的不定積分叫作不定積分的直接積分法.【例5】計算下列不定積分：

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

注意:檢驗積分結(jié)果正確性，只需對結(jié)果求導，驗證其導數(shù)是否等于被積函數(shù)即可.二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)

二、不定積分的基本公式及性質(zhì)當t=0時，s=0，代入上式，得C=0，于是

4.2定積分的概念及性質(zhì)一、定積分的概念1.曲邊梯形的面積

一、定積分的概念一、定積分的概念

一、定積分的概念

一、定積分的概念2.定積分的定義

一、定積分的概念

一、定積分的概念3.定積分的幾何意義

一、定積分的概念

二、定積分的基本性質(zhì)為方便起見，先作出以下兩點規(guī)定：

規(guī)定（1）說明在某一點上積分對象是一條線段，線段沒有面積，所以定積分為零；

規(guī)定（2）說明若調(diào)換定積分的上下限，定積分結(jié)果是原來的相反數(shù).二、定積分的基本性質(zhì)

【性質(zhì)2】

常數(shù)因子可以提到積分號外面，即

二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

【性質(zhì)6】

定積分與積分變量的符號無關(guān)，即有

注意:性質(zhì)6說明定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的符號無關(guān)，改變積分變量的符號定積分的值也不會改變.二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

因此

二、定積分的基本性質(zhì)

二、定積分的基本性質(zhì)

由性質(zhì)可知

即

4.3積分計算一、典型積分法利用不定積分定義、性質(zhì)以及基本公式和一些三角變換，能夠計算一些較簡單的不定積分，但對于較復雜的不定積分，還必須尋求其他方法.本節(jié)重點介紹幾類典型方法：第一類換元法、第二類換元法和分部積分法.一、典型積分法1.第一類換元法(湊微分法)

一、典型積分法

下面引入第一類換元法，也稱湊微分法來解決這類問題.一、典型積分法

一、典型積分法根據(jù)復合函數(shù)的求導法則，得

綜上有

一、典型積分法

一、典型積分法

一、典型積分法常用的湊微分法有：

一、典型積分法

一、典型積分法

一、典型積分法2.第二類換元積分法

一、典型積分法

例1的做法是若不能直接利用積分基本公式和第一類換元法，被積函數(shù)又含有根式時，可以通過變量代換，將含有根式的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為不含根式的被積函數(shù)，使得新積分變量的不定積分更加易于求解，這就是第二類換元法.一、典型積分法

一、典型積分法

一、典型積分法于是

一、典型積分法

一、典型積分法

一般地，如果被積函數(shù)含有帶三角函數(shù)的二次根式時，如果用湊微分法難以計算時，可以通過三角代換法來計算：一、典型積分法

一、典型積分法3.分部積分法

對于有些不定積分，既不能直接利用公式，而第一類積分法和第二類積分法都解決不了.這時可以用分部積分法.

移項，得

一、典型積分法對上式兩邊求不定積分，得

這就是分部積分公式，也可寫作

一、典型積分法

一、典型積分法

【解】

若這樣運用分部積分法

二、微積分基本原理1.積分上限函數(shù)

二、微積分基本原理

二、微積分基本原理

【例19】求極限

二、微積分基本原理2.微積分基本公式

公式（4-1）稱為牛頓-萊布尼茨公式，簡稱N-L公式，也稱作微積分基本公式.

二、微積分基本原理

所以，一樣有

二、微積分基本原理

注意:若被積函數(shù)中帶有絕對值，可根據(jù)積分性質(zhì)，先去掉絕對值再進行計算.二、微積分基本原理

二、微積分基本原理

解

利用定積分對區(qū)間的可加性，得

三、定積分的換元法與分部積分法

在計算定積分時，如果利用不定積分的基本公式或第一類換元積分法就可以求得被積函數(shù)的原函數(shù)，則可直接利用牛頓－萊布尼茲公式求得定積分的解．但是，如果用第二類換元積分法或分部積分法求出定積分中被積函數(shù)的原函數(shù)之后，再利用牛頓－萊布尼茲公式求定積分，這種方法往往是很麻煩的，本節(jié)我們來介紹計算定積分的換元積分法與分部積分法．三、定積分的換元法與分部積分法1.定積分的換元法

這就是定積分的換元公式，因為換元的同時還要換上下限，所以也簡稱為“換元同時換限”.

考慮：定積分的換元法與不定積分的換元法有什么不同？三、定積分的換元法與分部積分法

三、定積分的換元法與分部積分法

于是

三、定積分的換元法與分部積分法【例26】

證明：

三、定積分的換元法與分部積分法

于是

三、定積分的換元法與分部積分法

從而

三、定積分的換元法與分部積分法

從而

注意:例26的結(jié)論可以用來簡化計算偶函數(shù)、奇函數(shù)在對稱于原點的區(qū)間上的定積分.三、定積分的換元法與分部積分法2.定積分的分部積分法

三、定積分的換元法與分部積分法

4.4定積分的基本應