素養(yǎng)拓展37圓錐曲線中的存在性和探索性問題（精講+精練）一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、圓錐曲線中的存在性問題1.存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化．一般步驟為：①假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,②用待定系數(shù)法設(shè)出,③列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．注：反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法．【一般策略】求解字母參數(shù)值的存在性問題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在;若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程.二、圓錐曲線中的探索性性問題1.對(duì)于要注意：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知,按常規(guī)方法解題很難時(shí),要開放思維,采取另外合適的方法．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】已知雙曲線E：SKIPIF1<0與直線l：SKIPIF1<0相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．【典例2】在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中,動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,記點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0．（1）請(qǐng)說明SKIPIF1<0是什么曲線,并寫出它的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于兩點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,請(qǐng)判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系,并證明你的結(jié)論．【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.存在性問題1．雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在直線SKIPIF1<0，經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若存在，求SKIPIF1<0的方程；若不存在，說明理由.2．已知橢圓方程為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直線傾斜角為SKIPIF1<0，原點(diǎn)到該直線的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)于SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線SKIPIF1<0分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且SKIPIF1<0，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0（不與x軸重合）交橢圓SKIPIF1<0于A，B兩點(diǎn)．

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積；(3)是否存在直線SKIPIF1<0，使得點(diǎn)B在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上，若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0且平行于SKIPIF1<0軸的直線與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，記動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．在直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，拋物線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于M，N兩點(diǎn)．(1)若M，N的橫坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，4，求直線l的方程及MN的中垂線所在的直線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有SKIPIF1<0?說明理由．6．如圖，SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，直線AN過點(diǎn)SKIPIF1<0

(1)記A，B的縱坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)記直線AN，BM的斜率分別為SKIPIF1<0，是否存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在說明理由7．已知橢圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，斜率不為零的直線SKIPIF1<0過右焦點(diǎn)SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn).(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)在SKIPIF1<0軸上是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，如果存在，求出SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，說明理由.8．已知離心率為SKIPIF1<0的橢圓C的中心在原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點(diǎn)，M為橢圓上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．直線l過橢圓外一點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)于任意點(diǎn)P，是否總存在唯一的直線l，使得SKIPIF1<0成立，若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的直線l的斜率；否則說明理由．9．已知橢圓SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，且上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0軸上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，若存在，求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．10．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是3．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，使得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)？若存在，求該直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．11．已知雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)，SKIPIF1<0的離心率為2.設(shè)過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，其中SKIPIF1<0在第一象限.

(1)求SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；否則，說明理由.12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)SKIPIF1<0到定點(diǎn)SKIPIF1<0的距離與動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0．(1)求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)對(duì)SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上是否始終存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱？若存在，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．已知拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)．(2)已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的右側(cè)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，試問是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．14．已知橢圓SKIPIF1<0的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為SKIPIF1<0的動(dòng)直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使SKIPIF1<0恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．15．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn).(1)已知SKIPIF1<0過SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)已知直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0不過點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)當(dāng)直線SKIPIF1<0過SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0.是否存在直線SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.探索性問題1．已知橢圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,過點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為k的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A,B兩點(diǎn).當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí),SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0,并說明理由.2．過拋物線SKIPIF1<0焦點(diǎn)SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)過焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0，交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)是否在一條直線上．若是，求出該直線的方程；否則，說明理由．3．在以SKIPIF1<0為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)P為圓A上的任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線SKIPIF1<0和半徑AP交于點(diǎn)M．(1)判斷點(diǎn)M的軌跡是什么曲線，并求其方程；(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線SKIPIF1<0，過點(diǎn)B的直線與曲線SKIPIF1<0交于C、D兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0的最大值；(3)在圓SKIPIF1<0上的任取一點(diǎn)Q，作曲線SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．4．已知橢圓C：SKIPIF1<0，短軸長為4，離心率為SKIPIF1<0，直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求SKIPIF1<0面積的取值范圍；(3)若圓O以橢圓C的長軸為直徑，直線l與圓O交于C、D兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，試判斷直線MC與圓O的位置關(guān)系，并說明理由．5．已知點(diǎn)E是圓SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，線段DE的垂直平分線與直線EF交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，與AB平行的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于點(diǎn)M，N，直線AM與BN交于點(diǎn)P，試判斷直線OP是否平分線段MN，并說明理由．6．已知雙曲線SKIPIF1<0，其右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，焦距為4，直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0，且當(dāng)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0時(shí)，恰好與雙曲線SKIPIF1<0有一個(gè)交點(diǎn).(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是否為常數(shù)，并給出理由.7．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓E的離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過SKIPIF1<0作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M，N，其中l(wèi)與x軸不重合，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)P，判斷直線SKIPIF1<0與DP的位置關(guān)系，并說明理由．8．已知橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)SKIPIF1<0作一直線交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn).(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0面積的最大值；(3)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說明理由.9．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的準(zhǔn)線上，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，試判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關(guān)系，并說明理由.10．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一條漸近線的距離為SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的任意兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的垂心為SKIPIF1<0，試問：點(diǎn)SKIPIF1<0是否在定曲線上？若是，求出該定曲線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．11．橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，左右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)，SKIPIF1<0的延長線與橢圓相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)．圓SKIPIF1<0以原點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心且過橢圓上頂點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與圓SKIPIF1<0切于SKIPIF1<0