第4章計(jì)數(shù)原理

4.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

4.1.1分類加法計(jì)數(shù)原理

4.1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一分類加法計(jì)數(shù)原理

1.把10個(gè)蘋果分成三堆，要求每堆至少有1個(gè),至多有5個(gè)，則不同的分法共有

（）

A.4種B.5種C.6種D.7種

2.（2021天津?qū)氎笃谥校┯?,3,5,7中的任意一個(gè)數(shù)作分子24,8,9中的任意一個(gè)數(shù)作

分母，可構(gòu)成真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

3.如圖，一只螞蟻從正四面體ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿著正四面體ABCD的棱爬行,

每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則螞蟻第1秒后到點(diǎn)B,第4秒后又回到

點(diǎn)A的不同爬行路線有（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

4.（2022上海虹口期末）一個(gè)三位數(shù),個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字依次為x,y,z,當(dāng)y>x

且y〉z(mì)時(shí),稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”（如341）,則從集合｛1,2,3,4,5｝中取出三個(gè)不相同

的數(shù)組成的“凸數(shù)”個(gè)數(shù)為.

題組二分步乘法計(jì)數(shù)原理

5.（2022湖南長(zhǎng)沙九中期末）從集合｛0,1,2,3,4｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)

數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有（）

A.10個(gè)B.12個(gè)C.16個(gè)D.20個(gè)

6.為響應(yīng)國(guó)家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素

菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并

在用餐時(shí)積極踐行“光盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有（）

A.48種B.36種

C.24種D.12種

7.（2021廣東揭陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量測(cè)試）某學(xué)校有東、南、西、北四個(gè)校門，受新冠肺炎疫

情的影響，學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園，教師只能從南門或北門進(jìn)入校園.現(xiàn)有

2名教師和3名學(xué)生要進(jìn)入校園（不分先后順序）,則他們進(jìn)入校園的方式共有

（）

A.6種B.12種

C.24種D.32種

8.（2022廣東德勝中學(xué)期中）給圖中的A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一

種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，若有5種不同的顏色可選，則不同的涂色方案的種數(shù)

為（）

AB

C

D

A.180B.360C.64D.25

9.（2022遼寧丹東期末）汽車維修師傅在安裝好汽車輪胎后，需要緊固輪胎的五個(gè)螺

栓，記為A,B,C,D,E（在正五邊形的頂點(diǎn)上），緊固時(shí)需要按一定的順序固定每一個(gè)螺

栓,但不能連續(xù)固定相鄰的兩個(gè)，則不同的固定螺栓順序的種數(shù)為（）

A.20B.15C.10D.5

題組三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

10.（2022湖南張家界月考）有不同的語(yǔ)文書9本,不同的數(shù)學(xué)書7本,不同的英語(yǔ)書

5本，從中選出不屬于同一學(xué)科的書2本，則不同的選法有（）

A.21種B.315種

C.153種D.143種

11.（2021河南信陽(yáng)模擬）中國(guó)有十二生肖,又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)

了十二種生肖（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)

有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙

同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)每個(gè)吉祥物都喜歡，若三位同學(xué)對(duì)選取的禮物都滿意,

則不同的選法有（）

A.30種B.50種

C.60種D.90種

12.（2022湖南常德月考）已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式:現(xiàn)金、支付寶、微

信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只會(huì)用現(xiàn)金結(jié)賬，顧客乙只會(huì)用現(xiàn)金和銀聯(lián)卡結(jié)賬，顧客丙與

甲、乙結(jié)賬方式不同，顧客丁用哪種結(jié)賬方式都可以.若甲、乙、丙、丁購(gòu)物后依

次結(jié)賬，那么他們結(jié)賬方式的組合種數(shù)為（）

A.36B.30

C.24D.20

13.（2022湖南益陽(yáng)月考）學(xué)校計(jì)劃在周一至周四的藝術(shù)節(jié)上展演《雷雨》《茶館》

《天籟》《馬蹄聲碎》四部話劇，每天一部.受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在

周一、周四上演，《茶館》不能在周一、周三上演，《天籟》不能在周三、周四上

演，《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，則不同的展演情況有（）

A.0種B.1種C.2種D.3種

14.（2022湖南師大附中期末）某單位有4位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是

0,1,2,5,為遵守所在城市某月15日至18日4天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇

數(shù)的車通行,偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），四人商議拼車出行，每天任選一輛

符合規(guī)定的車，但甲的車（車牌尾數(shù)為2）最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)是

（）

A.4B.12C.16D.24

15.（多選）（2020北京第六十六中學(xué)期中）某校實(shí)行選科走班制度，張毅同學(xué)選擇的

是地理、生物、政治這三科，且生物在B層班級(jí).該校周一上午選科走班的課程安

排如下表所示，張毅選擇三個(gè)科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說(shuō)法正確

的是（）

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)

地理化學(xué)A層地理化學(xué)A層

1班3班2班4班

生物A層化學(xué)B層生物B層歷史B層

1班2班2班1班

物理A層生物A層物理A層生物A層

1班3班2班4班

物理B層生物B層物理B層物理A層

2班1班1班4班

政治物理A層政治政治

1班3班2班3班

A.此人有4種不同的選課方式

B.此人有5種不同的選課方式

C.自習(xí)課不可能安排在第2節(jié)

D.自習(xí)課可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

能力提升練

題組兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

1.（2022北京五十五中期中）中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大

的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.如圖是利用算籌表示數(shù)1-9的一種

方法.例如:3可表示為“三”，26可表示為“=J-”.現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方

法，若算籌不能剩余，則可以用屋9這9個(gè)數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

234567g9

A.13B.14

C.15D.16

2.（2022山西運(yùn)城期末）如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給

出的“弦圖”.現(xiàn)提供4種顏色給“弦圖”的5個(gè)區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一

種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（）

A.48種B.72種

C.96種D.144種

3.（2022湖南臨澧一中月考）埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠(yuǎn)遠(yuǎn)超

過(guò)了人類的想象.在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857,因?yàn)?42857x2=285

714,142857x3=428571,142857x4=571428,……，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.

該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn):142+857=999,285+714=999,428+571=999,…，若從這組

神秘?cái)?shù)字中任選3個(gè)數(shù)字構(gòu)成一個(gè)三位數(shù)x,剩下的三個(gè)數(shù)字構(gòu)成另一個(gè)三位數(shù)y,

若x+y=999,則所有可能的有序?qū)崝?shù)組（x,y）的個(gè)數(shù)為（）

A.48B.60

C.96D.120

4.（2020重慶高考模擬）有4個(gè)不同的奇數(shù),5個(gè)不同的偶數(shù)，現(xiàn)從中任取3個(gè)數(shù)，分別

記為a,b,c,則使ab+c為奇數(shù)的不同取法共有種.

5.（2020山東青島二中期末）如圖，在由開關(guān)組A與B組成的電路中，閉合開關(guān)使燈

發(fā)光的方法有種.

6.（2020廣東深圳一模）若O是正六邊形AiA2A3A4A5A6的中

心,Q={^X|i=l,2,3,4,5,6},a,b,c￡Q^a,b,c互不相同,要使得（a+b）?c=0,則有序向

量組（a,b,c）的個(gè)數(shù)為.

7.（2022重慶八中月考）某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下:先將一枚棋子放在如

圖所示的正方形ABCD（邊長(zhǎng)為3個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處,然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子

沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝唬绻麛S出的點(diǎn)數(shù)為i（i=l,2,…,6）,則棋子就

按逆時(shí)針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位，一直循環(huán)下去.某人擲三次骰子后，棋子恰好又回到點(diǎn)

A處的所有不同走法共有種.

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.A當(dāng)三堆中最多的一堆為5個(gè)時(shí)，其他兩堆總和為5,有2種分法，即1和4,2和

3;當(dāng)三堆中最多的一堆為4個(gè)時(shí)，其他兩堆總和為6,有2種分法，即2和4,3和3.

所以不同的分法共有2+2=4（種）.故選A.

2.D分四類:①當(dāng)分子為1時(shí),有加工，共4個(gè)真分?jǐn)?shù);②當(dāng)分子為3時(shí)，有號(hào)，小，共3

24894893

個(gè)真分?jǐn)?shù);③當(dāng)分子為5時(shí)，有釜，共2個(gè)真分?jǐn)?shù);④當(dāng)分子為7時(shí)，有《，共2個(gè)真分

8989

數(shù).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知可構(gòu)成4+3+2+2=11個(gè)真分?jǐn)?shù).故選D.

3.B由題意可畫圖如下,則不同的爬行路線有7條.故選B.

4>B

箸案20

解析由題思可得y只能取3,4,5.當(dāng)y=3時(shí),凸數(shù)有132,231,共2個(gè);當(dāng)y=4時(shí)，凸

數(shù)有142,241,143,341,243,342洪6個(gè);當(dāng)y=5時(shí),凸數(shù)有

152,251,153,351,154,451,253,352,254,452,354,453,共12個(gè).故共有2+6+12=20（個(gè)）.

5.C由題意得b只能從1,2,3,4中選一個(gè)，有4種,a從剩余的4個(gè)中選一個(gè)，有4種,

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知虛數(shù)有4x4=16（個(gè)）.故選C.

6.B由題意可知,分三步完成：

第一步，從2種主食中任選一種，有2種選法；

第二步，從3種素菜中任選一種，有3種選法；

第三步，從6種葷菜中任選一種，有6種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得不同的選取方法的種數(shù)為2x3x6=36,故選B.

7.D由題意得3名學(xué)生進(jìn)入校園的方式有23=8（種）,2名教師進(jìn)入校園的方式有

22=4（種），所以共有8x4=32（種）.故選D.

8.A第一步涂A,有5種涂法;第二步涂B,和A不同色，有4種涂法;第三步涂C,

和A,B不同色，有3種涂法;第四步涂D,和B,C不同色，有3種涂法.由分步乘法計(jì)

數(shù)原理可知共有5x4x3x3=180種不同的涂色方案，故選A.

9.C如圖，先在A,B,C,D,E五個(gè)螺栓中任選1個(gè)，有5種選法;假設(shè)選中A,則再在

C,D中選1個(gè)，有2種選法;剩下的3個(gè)螺栓只有一種固定順序.故共有5x2=10種不

同的固定順序.故選C.

10.D由題意，選一本語(yǔ)文書和一本數(shù)學(xué)書有9x7=63種選法，選一本數(shù)學(xué)書和一

本英語(yǔ)書有7x5=35種選法，選一本語(yǔ)文書和一本英語(yǔ)書有9x5=45種選法,.,?共有

63+35+45=143種不同的選法.

故選D.

11.B①若甲同學(xué)選擇牛，則乙同學(xué)有2種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，不同的選法種

數(shù)為2x10=20;

②若甲同學(xué)選擇馬，則乙同學(xué)有3種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，不同的選法種數(shù)為

3x10=30.

綜上,總共有20+30=50種不同的選法.故選B.

12.D當(dāng)甲和乙都用現(xiàn)金結(jié)賬時(shí)，丙有3種方法，丁有4種方法，共有3x4=12種方

法;當(dāng)甲用現(xiàn)金結(jié)賬，乙用銀聯(lián)卡結(jié)賬時(shí)，丙有2種方法，丁有4種方法，共有2x4=8

種方法.綜上，共有12+8=20種結(jié)賬方式.故選D.

13.C

周一周二周三周四

《雷雨》XX

《茶館》XX

《天籟》XX

《馬蹄聲碎》XX

根據(jù)上表，分步確定，可知周四只能上演《茶館》，有1種情況，周一只能上演《天籟》,

有1種情況，周二可以安排《雷雨》或《馬蹄聲碎》，有2種情況，最后一部話劇安

排在周三，有1種情況.所以有l(wèi)xlx2xl=2種不同的展演情況.故選C.

14.B第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有22=4（種）.第二步安排偶數(shù)

日出行，分兩類:第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2種;第二類,

不安排甲的車，只有1種選擇，共有1+2=3（種）.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同的用

車方案共有4x3=12（種），故選B.

15.BD由于生物在B層班級(jí)，所以只能選第2或第3節(jié)，故分兩類：

若生物選第2節(jié)，則地理可安排在第1、3節(jié)，有2種選法，政治從剩余的兩節(jié)課中任

選，有2種選法，故有2x2=4（種）（此種情況自習(xí)課可出現(xiàn)在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）;

若生物選第3節(jié)，則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié),自習(xí)只能選在第2節(jié)，

故有1種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有4+1=5種不同的選課方式.由以上分析可知,自習(xí)

課可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).

能力提升練

1.D6根算籌可以表示的數(shù)字組合為

(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),數(shù)字組合

(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每組可以表示2個(gè)兩位數(shù)，則可以表示

2x7=14個(gè)兩位數(shù);數(shù)字組合(3,3),(7,7),每組可以表示1個(gè)兩位數(shù)，則可以表示2x1=2

個(gè)兩位數(shù).故一共可以表示14+2=16個(gè)兩位數(shù)，故選D.

2.B如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為A,B,C,D,E,對(duì)于A,有4種涂法;對(duì)于B,與A相鄰，

有3種涂法;對(duì)于C,與A,B相鄰，有2種涂法;對(duì)于D,若其與B同色，則E有2種涂

法,若其與B不同色，則E有1種涂法.故不同的涂色方案共有4x3x2x(2+l)=72(種),

故選B.

3.A數(shù)字142857中，兩個(gè)數(shù)字之和為9的組合有1+8=9,4+5=9,2+7=9,共3組.若

x+y=999,對(duì)于x,其百位數(shù)字可以為6個(gè)數(shù)字中的任意1個(gè),假設(shè)為1,則y的百位數(shù)

字必須為8,因此x、y的百位數(shù)字有6種選法;x的十位數(shù)字可以為剩下4個(gè)數(shù)字

中的任意1個(gè),假設(shè)為4,則y的十位數(shù)字必須為5,因此x、y的十位數(shù)字有4種選

法;x的個(gè)位數(shù)字可以為剩下2個(gè)數(shù)字中的任意1個(gè),y的個(gè)位數(shù)字為最后1個(gè)，因此

x、y的個(gè)位數(shù)字有2種選法.所以所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個(gè)數(shù)為6x4x2=48,

故選A.

4.答案260

解析要使ab+c為奇數(shù)，數(shù)組（a,b,c）的奇偶性可為（偶，偶,奇）、（奇，偶,奇）、（偶，奇,

奇）、（奇，奇,偶）.

若為（偶，偶，奇），即a為偶數(shù),b為偶數(shù),c為奇數(shù)，則有5x4x4=80（種）；

同理，若為（奇，偶