PAGEPAGE5第一章預(yù)備學(xué)問§2常用邏輯用語2.2全稱量詞與存在量詞學(xué)問點(diǎn)1全稱量詞命題與存在量詞命題的概念1.☉%9￥0*￥7@0%☉(2024·黃岡中學(xué)檢測(cè))下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為()。①平行四邊形的對(duì)角線相互平分;②梯形有兩邊平行;③存在一個(gè)菱形,它的四條邊不相等。A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：①②滿意“對(duì)全部的…都成立”的特點(diǎn),是全稱量詞命題,③含有“存在”,是存在量詞命題。2.☉%30@33￥*@%☉(2024·合肥168中學(xué)周練)下列命題:①有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù);②與同一平面所成的角相等的兩條直線平行;③與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。其中是全稱量詞命題的是,是存在量詞命題的是。(只填序號(hào))答案：②③①解析：依據(jù)所含量詞可知②③是全稱量詞命題,①是存在量詞命題。3.☉%@@82**77%☉(2024·黃岡中學(xué)過關(guān)訓(xùn)練)用符號(hào)“?”或“?”表示下面含有量詞的命題:(1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0:;

答案：?x∈R,x2≥0(2)存在一對(duì)實(shí)數(shù),使3x-2y+1≥0成立:。

答案：?(x,y),x∈R,y∈R,3x-2y+1≥04.☉%￥5*5#@56%☉(2024·綿陽南山中學(xué)月考)下列命題,是全稱量詞命題的是;是存在量詞命題的是。

①正方形的四條邊相等;②有兩個(gè)角是45°的三角形都是等腰直角三角形;③正數(shù)的平方根不等于0;④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)。答案：①②③④解析：①是指全部的正方形的四條邊相等,②是指任何含有兩個(gè)角是45°的三角形都是等腰直角三角形,③是指任何正數(shù)的平方根不等于0,都有全部的含義,所以都是全稱量詞命題;而④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù),含有存在量詞“有一個(gè)”,屬于存在量詞命題。故全稱量詞命題有①②③,存在量詞命題有④。學(xué)問點(diǎn)2全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判定5.☉%*@*4#033%☉(2024·長沙一中月考)下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()。A.每一個(gè)二次函數(shù)的圖像都開口向上B.存在一條直線與兩個(gè)相交平面都垂直C.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2-3x+6<0D.對(duì)隨意c≤0,若a≤b+c,則a≤b答案：D解析：對(duì)于A,該命題為全稱量詞命題,由二次函數(shù)圖像及性質(zhì)可得該命題是假命題;對(duì)于B,該命題是存在量詞命題,依據(jù)空間中線面的位置關(guān)系可得該命題是假命題;對(duì)于C,存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2-3x+6<0是存在量詞命題,由于x2-3x+6=x-322+154>0恒成立,故該命題是假命題;對(duì)于D,由題意得該命題為全稱量詞命題,對(duì)隨意c≤0,若a≤b+c,則a-b≤c≤0,故6.☉%#5@03@9#%☉(2024·南昌二中周練)以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是()。A.每一個(gè)銳角三角形的內(nèi)角都是銳角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2≤0C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使1x答案：B解析：對(duì)于A,銳角三角形中的內(nèi)角都是銳角,故為全稱量詞命題;對(duì)于B,至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2≤0,是存在量詞命題,并且x=0滿意題意,故為真命題;對(duì)于C,∵2+(2-2)=2,明顯兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)不正確,是假命題;對(duì)于D,為存在量詞命題,存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使1x>2,明顯不正確,為假命題。綜上所述,故選B7.☉%6@09**7@%☉(多選)(2024·會(huì)寧一中月考)下列命題中的假命題是()。A.存在x∈N,使4x<-3 B.存在x∈Z,使2x-3=0C.對(duì)隨意x∈R,2x>x2 D.對(duì)隨意x∈R,x2+2>0答案：ABC解析：對(duì)于選項(xiàng)A,使4x<-3成立的x值滿意x<-34,故沒有這樣的自然數(shù)使其成立,A為假命題;對(duì)于選項(xiàng)B,可解得x=32,故B為假命題;對(duì)于選項(xiàng)C,取x=1,2x>x2不成立,故C為假命題;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x∈R時(shí),x2≥0,∴x2+2≥2>0,故D為真命題,故選8.☉%24#@*72@%☉(2024·石家莊中學(xué)周練)推斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并推斷其真假:(1)對(duì)隨意非零實(shí)數(shù)x1,x2,若x1<x2,則1x1>答案：解:該命題是全稱量詞命題,存在x1=-1,x2=1,x1<x2,但1x1<1x(2)?x∈R,使得x2+1=0。答案：該命題為存在量詞命題,對(duì)隨意x∈R,x2+1>0恒成立,∴該命題是假命題。9.☉%#*086*0#%☉(2024·六安一中周練)用符號(hào)“?”(“?”表示“隨意”)或“?”(“?”表示“存在”)表示下面的命題,并推斷其真假:(1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0;答案：解:這是全稱量詞命題,隱藏了全稱量詞“全部的”。改寫后命題為:?x∈R,x2≥0,它是真命題。(2)存在一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y),使2x-y+1<0成立;答案：改寫后命題為:?(x,y),x∈R,y∈R,2x-y+1<0,它是真命題。如x=0,y=2時(shí),2x-y+1=0-2+1=-1<0成立。(3)勾股定理。答案：這是全稱量詞命題,全部直角三角形都滿意勾股定理。改寫后命題為:?Rt△ABC,a,b為直角邊長,c為斜邊長,a2+b2=c2,它是真命題。學(xué)問點(diǎn)3全稱量詞命題與存在量詞命題的否定10.☉%*29**4*0%☉(2024·太和一中月考)命題“隨意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是()。A.隨意x∈(-∞,0),x3+x<0B.隨意x∈(-∞,0),x3+x≥0C.存在x∈[0,+∞),x3+x<0D.存在x∈[0,+∞),x3+x≥0答案：C解析：命題“隨意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是“存在x∈[0,+∞),x3+x<0”。11.☉%8*0￥*6#3%☉(2024·陜師大附中檢測(cè))命題“全部實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定為()。A.全部實(shí)數(shù)的平方都不是正數(shù)B.有的實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)答案：C解析：∵“全稱量詞命題”的否定肯定是“存在量詞命題”,∴命題“全部實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)”的否定是“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方不是正數(shù)”。故選C。12.☉%*68￥￥#91%☉(2024·南郊中學(xué)月考)已知命題q:?x∈R,x2>0,則()。(┐p為命題p的否定)A.命題┐q:?x∈R,x2≤0為假命題B.命題┐q:?x∈R,x2≤0為真命題C.命題┐q:?x∈R,x2≤0為假命題D.命題┐q:?x∈R,x2≤0為真命題答案：D解析：全稱量詞命題的否定是將“?”改為“?”,然后再否定結(jié)論。又當(dāng)x=0時(shí),x2≤0成立,所以┐q為真命題。故選D。13.☉%￥26@3￥#0%☉(2024·和縣一中檢測(cè))命題“?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”的否定是()。A.?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0B.?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0C.?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0D.?(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0答案：C解析：?(x,y)的否定是?(x,y),2x+3y+3<0的否定是2x+3y+3≥0,故選C。14.☉%131￥1*@#%☉(2024·廣豐一中月考)命題“?x∈R,x3-x2+1>0”的否定是()。A.?x∈R,x3-x2+1<0B.?x∈R,x3-x2+1≤0C.?x∈R,x3-x2+1≤0D.不存在x∈R,x3-x2+1>0答案：B解析：由存在量詞命題的否定的定義可得B正確。15.☉%￥#@#0254%☉(2024·臨川十中過關(guān)測(cè)試)寫出下列命題的否定并推斷其真假:(1)不論m取何實(shí)數(shù),方程x2+x+m=0必有實(shí)數(shù)根;答案：解:這一命題可以表述為“對(duì)全部的實(shí)數(shù)m,方程x2+x+m=0都有實(shí)數(shù)根”,其否定為“存在實(shí)數(shù)m,使得x2+x+m=0沒有實(shí)數(shù)根”,留意到當(dāng)Δ=1-4m<0,即m>14時(shí),一元二次方程沒有實(shí)根,(2)全部末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除;答案：命題的否定是“存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除”,是假命題。(3)某些梯形的對(duì)角線相互平分;答案：命題的否定是“隨意一個(gè)梯形的對(duì)角線都不相互平分”,是真命題。(4)被8整除的數(shù)能被4整除。答案：命題的否定是“存在一個(gè)數(shù)能被8整除,但不能被4整除”,是假命題。題型由全稱量詞命題和存在量詞命題的概念求參數(shù)的取值范圍16.☉%1￥#*@024%☉(2024·鄭州一中月考)已知命題“對(duì)隨意x∈[1,2],x2-2ax+1>0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()。A.-∞,5C.(-∞,1) D.(1,+∞)答案：C解析：由題意知不等式x2-2ax+1>0對(duì)x∈[1,2]恒成立,∴a<x2+12x=12x+1x對(duì)x∈[1,2]恒成立。令g(x)=12x+1x,x∈[1,2],則g(∴g(x)min=1,∴a<1,∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1)。17.☉%8@#6@￥84%☉(2024·南寧一中周練)若存在x∈R,使ax2+2x+a<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()。A.a<1 B.a≤1C.-1<a<1 D.-1<a≤1答案：A解析：存在x∈R,使ax2+2x+a<0的否定為:對(duì)隨意x∈R,都有ax2+2x+a≥0恒成立,下面先求對(duì)隨意x∈R,都有ax2+2x+a≥0恒成立時(shí)a的取值范圍:(1)當(dāng)a=0時(shí),不等式可化為2x≥0,即x≥0,明顯不符合題意;(2)當(dāng)a≠0時(shí),有a>0,4所以存在x∈R,使ax2+2x+a<0的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<1,答案選A。18.☉%#￥426##5%☉(2024·黃岡中學(xué)月考)已知y=3ax2+6x-1,a∈R。(1)當(dāng)a=-3時(shí),求證:對(duì)隨意x∈R,都有y≤0;答案：證明:當(dāng)a=-3時(shí),y=-9x2