14版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第十一章第五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差第五節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征.【考情分析】考點(diǎn)考法:離散型隨機(jī)變量的分布列是高考考查重點(diǎn),常以實(shí)際問(wèn)題為背景,與排列組合結(jié)合在一起交匯命題,各種題型均有考查.核心素養(yǎng):數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.離散型隨機(jī)變量一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng),我們稱X為隨機(jī)變量;可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱分布列.3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pn=1.【微點(diǎn)撥】分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值:E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(2)方差D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=為隨機(jī)變量X的方差,并稱D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(X),它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的【微點(diǎn)撥】(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定.隨機(jī)變量X是可變的,可取不同的值,E(X)描述X取值的平均狀態(tài).(2)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度,其中標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數(shù)).(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4)D(X)=E(X2)-(E(X))2.(5)若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=E(X1)·E(X2).【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列說(shuō)法正確的是 ()A.在離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1B.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的C.如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出,X25P0.30.7則它服從兩點(diǎn)分布D.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量的偏離程度越小【解析】選BD.A離散型隨機(jī)變量所有取值的并事件是必然事件,故各概率之和等于1×CX的取值不是0,1,故不是兩點(diǎn)分布×2.(選擇性必修三P63例1·變形式)在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分.如果某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值為 ()A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1【解析】選C.某籃球運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分為X,X的取值可能為0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.3.(2020·全國(guó)Ⅲ卷)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且=1,則下面四種情形中,對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是 ()A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2【解析】選B.對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方差為(1-2.5)2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;對(duì)于B,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.4+(2+3)×0.1=2.5,方差為(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;對(duì)于C,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.2+(2+3)×0.3=2.5,方差為(1-2.5)2×0.2+(2-2.5)2×0.3+(3-2.5)2×0.3+(4-2.5)2×0.2=1.05;對(duì)于D,該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1+4)×0.3+(2+3)×0.2=2.5,方差為(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45.所以B這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.4.(均值性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤)已知隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101P111若Y=2X+3,則E(Y)的值為_(kāi)_______.

【解析】E(X)=-12+16=-則E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=7答案:7【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)[例1](1)隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a為常數(shù),則P（54<X<13A.23 B.34 C.45 【解析】選D.因?yàn)镻(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),所以a2+a6+a所以P（54<X<134）=P(X=2)+P(X=3)=54×16+54(2)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,其分布列為X-101P12-3qq2則q的值為 ()A.1 B.32±C.32-336 D.3【解析】選C.由分布列的性質(zhì)知0≤2-3q≤23,【解題技法】離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.若隨機(jī)變量X的分布列為X-2-10123P則當(dāng)P(X<a)=0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)【解析】選C.由隨機(jī)變量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故當(dāng)P(X<a)=0.8時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2].2.設(shè)隨機(jī)變量X滿足P(X=i)=k2i(i=1,2,3),則k=________;P(X≥2)=【解析】由已知得隨機(jī)變量X的分布列為X123Pkkk所以k2+k4+k8=1,所以k所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P421所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=27+17=答案:873.隨機(jī)變量X的分布列如下:X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)=________,公差d的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=13所以P(|X|=1)=a+c=23又a=13-d,c=13+根據(jù)分布列的性質(zhì),得0≤13-d≤23,0≤13+d所以-13≤d≤1答案:23[-13,【加練備選】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.3m(1)求2X+1的分布列;(2)求隨機(jī)變量η=|X-1|的分布列.【解析】(1)由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.列表為X012342X+113579從而2X+1的分布列為2X+113579P0.30.3(2)由(1)知m=0.3,列表為X01234η10123所以P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3,故η=|X-1|的分布列為η0123P0.3考點(diǎn)二均值與方差的簡(jiǎn)單計(jì)算[例2](1)(多選題)已知隨機(jī)變量X的分布列為X-101P1m3m下列結(jié)論正確的有 ()A.m=16 B.E(X)=C.E(2X-1)=13 D.D(X)=【解析】選ABD.由分布列的性質(zhì)得,13+4m=1,解得m=1E(X)=-1×13+0×16+1×12E(2X-1)=2E(X)-1=-23D(X)=13×(-1-16)2+16×(0-16)2+12×(1-16(2)(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:X01234Pq0.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有 ()A.q=0.1B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=2,D(X)=1.8D.E(Y)=5,D(Y)=7.2【解析】選ACD.因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故A正確;又E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)閅=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故D正確.(3)已知隨機(jī)變量X的分布列如表:Xa234P1b11若E(X)=2,則a=________,D(X)=________.

【解析】由題意知,13+b+16+14=1,所以b又E(X)=a×13+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0,所以D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+(3-2)2×16答案:05【解題技法】均值與方差的簡(jiǎn)單計(jì)算方法(1)對(duì)于一般的離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算,要分清各數(shù)據(jù),選擇公式,代入計(jì)算.(2)由已知期望或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用期望、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.設(shè)0<m<1,隨機(jī)變量ξ的分布列為:ξ0m1Pa12a則當(dāng)m在(0,1)上增大時(shí) ()A.D(ξ)單調(diào)遞增,最大值為1B.D(ξ)先增后減,最大值為1C.D(ξ)單調(diào)遞減,最小值為2D.D(ξ)先減后增,最小值為1【解析】選D.由題知a3+13+2a-13=1,解得a=1,所以E(ξ)=0+m3+13=m+13,所以D(ξ)=(m+13)2×13+(m-m+13)2×13+(1-m+13)2×1由二次函數(shù)性質(zhì)可知,D(ξ)在(0,12)上單調(diào)遞減,在(12,1)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)m=12時(shí),D(ξ2.已知m,n為正常數(shù),離散型隨機(jī)變量X的分布列如表:X-101Pm1n若隨機(jī)變量X的均值E(X)=712,則mn=________,P(X≤0)=________【解析】由題意知m解得m=112,nP(X≤0)=m+14=1答案:118考點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列[例3]袋中有5個(gè)同樣的球,其中有3個(gè)紅球,2個(gè)黃球,現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地取球,每次取1個(gè),當(dāng)兩種顏色的球都被取到時(shí),即停止取球,記隨機(jī)變量X為此時(shí)已取球的次數(shù),求:(1)P(X=2)的值;(2)隨機(jī)變量X的分布列.【解析】(1)由已知可得從袋中不放回地取球兩次的所有取法有C51C41種,事件X=2表示第一次取到紅球第二次取到黃球或第一次取到黃球第二次取到紅球,故事件X=2包含C31C21+(2)隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4.P(X=2)=35,P(X=3)=A22P(X=4)=A33C所以隨機(jī)變量X的分布列為X234P331【解題技法】離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】甲同學(xué)參加化學(xué)競(jìng)賽初賽,考試分為筆試、口試、實(shí)驗(yàn)三個(gè)項(xiàng)目,各單項(xiàng)通過(guò)考試的概率依次為34,23,12.記甲同學(xué)三個(gè)項(xiàng)目中通過(guò)考試的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量【解析】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=(1-34)×(1-23)×(1-12P(X=1)=14×13×12+14×23×12+34P(X=2)=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124,P(所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111【加練備選】有編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)學(xué)生,入座編號(hào)為1,2,3,…,n的n個(gè)座位,每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位,設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,已知X=2時(shí),共有6種坐法.(1)求n的值;(2)求隨機(jī)變量X的分布列.【解析】(1)因?yàn)楫?dāng)X=2時(shí),有Cn因?yàn)镃n2=6,即也即n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.(2)因?yàn)閷W(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,由題意可知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=1A44=124,P(X=2)=P(X=3)=C43×2A44=13,P(X=4)=1-1所以X的分布列為X0234P1113考點(diǎn)四離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(規(guī)范答題)[例4](1)從1,2,3,4,5這組數(shù)據(jù)中,隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù),用X表示取出的數(shù)字的最小數(shù),則隨機(jī)變量X的均值E(X)等于 ()A.32 B.53 C.74 (2)(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.①求第2次投籃的人是乙的概率.②求第i次投籃的人是甲的概率.③已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且PXi=1=1-PXi=0=qi,i=1,2,…,n,則,記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明①思路:第2次投籃的人是乙包含兩個(gè)子事件:“第1次投籃的人是甲且甲未命中”和事件“第1次投籃的人是乙且乙命中”,兩子事件互斥求出概率②思路:記第i次投籃的人是甲的概率為pi,可以用與①類似的思路去尋找pi+1與pi之間的關(guān)系,建立數(shù)列{pi}的遞推式來(lái)計(jì)算pi③思路:題設(shè)中給出了n個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式,啟發(fā)我們構(gòu)造兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量Xi,以利用公式結(jié)合②進(jìn)行作答規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】①記“第2次投籃的人是乙”為事件A,“第1次投籃的人是甲”為事件B.則A=BA+BA,……1分所以P(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.……4分指點(diǎn)迷津根據(jù)全概率公式求解.根據(jù)題設(shè)中的投籃規(guī)則,若命中則繼續(xù)投,若未命中則換為對(duì)方投;只要輪到甲投,甲的命中率總是0.6,只要輪到乙投,乙的命中率總是0.8;第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.②設(shè)第i次投籃的人是甲的概率為pi,由題意可知,p1=12pi+1=pi×0.6+1-pi即pi+1=0.4pi+0.2=25pi+15, 情境探源本題源自選擇性必修第三冊(cè)P91拓廣探索T10,根據(jù)全概率公式確定pi+1與pi的遞推關(guān)系,構(gòu)造等比數(shù)列{pi+λ}.設(shè)pi+1+λ=25pi+λ所以pi+1-13=25pi關(guān)鍵點(diǎn)由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列.又p1=12,p1-13=12-1所以數(shù)列pi-13是以16為首項(xiàng),25為公比的等比數(shù)列,所以pi-所以pi=13+16×25i③設(shè)隨機(jī)變量Xi=1(i=1,2,…,n),則Xi服從兩點(diǎn)分布.指點(diǎn)迷津PXi=1=pi,PXi=0=1-pi,所以EXi=pi.表示出第i次投籃時(shí)甲的數(shù)學(xué)期望.又Y=X1+X2+X3+則E(Y)=EX=p1+p2+p3+…+pn.由②知,P(Xi=1)=13+16×25i所以E(Y)==p1+p2+p3+…+pn=n3+16×[1+25+252+…=n3+16×1-25n1-25=n3關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)分組求和法,求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,得出結(jié)果.【解題技法】求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義,寫(xiě)出ξ可能的全部取值;(2)求ξ取每個(gè)值的概率;(3)寫(xiě)出ξ的分布列;(4)由均值的定義求E(ξ);(5)由方差的定義求D(ξ).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)袋內(nèi)有大小完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地每次任取1個(gè)小球,直至取到白球后停止取球,設(shè)取球次數(shù)為ξ,則 ()A.抽取2次后停止取球的概率為3B.停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為9C.取球次數(shù)ξ的期望為2D.取球次數(shù)ξ的方差為9【解析】選BD.由題可知隨機(jī)變量ξ的可能取值有1,2,3,則P(ξ=1)=35P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3)=25×對(duì)于A,抽取2次后停止取球的概率為P(ξ=2)=310對(duì)于B,停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球的概率為P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=對(duì)于C,取球次數(shù)ξ的期望為E(ξ)=1×35+2×310+3×110對(duì)于D,取球次數(shù)ξ的方差為D(ξ)=(1-32)2×35+(2-32)2×310+(3-32)2×2.國(guó)慶節(jié)班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上,某班設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球表演節(jié)目的游戲:在一個(gè)紙盒中裝有紅球、黃球、白球、黑球各1個(gè),這些球除顏色外完全相同,同學(xué)不放回地每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球,則停止摸球,否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個(gè)節(jié)目,摸到白球或黃球表演一個(gè)節(jié)目,摸到黑球不用表演節(jié)目.(1)求a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率;(2)記X為a同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差.【解析】(1)設(shè)“a同學(xué)摸球三次后停止摸球”為事件E,則P(E)=A32A故a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率為14(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.P(X=0)=14,P(X=1)=2A4P(X=2)=1A42+AP(X=3)=C21A22A43=16所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P11111期望E(X)=0×14+1×16+2×16+3×16+4×14=2,方差D(X)=(0-2)2×14+(1-2)2×16+(2-2)2×16+(3-2)2×第一節(jié)排列與組合【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念;能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以現(xiàn)實(shí)生活為載體,考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合;排列與組合的應(yīng)用是高考熱點(diǎn),常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.計(jì)數(shù)原理(1)完成一件事,如果有n類方案,且第1類方案中有m1種不同的方法,第2類方案中有m2種不同的方法……第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=__m1+m2+…+mn__種不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=__m1×m2×…×mn__種不同的方法.

2.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照__一定的順序__排成一列

組合作為一組3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__不同排列__的個(gè)數(shù),用符號(hào)表示.

(2)組合數(shù):從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__不同組合__的個(gè)數(shù),用符號(hào)表示.

4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式Anm=__n(n-1)(n-2)…(n-m+1)__=Cnm=Anm性質(zhì)0!=__1__,Ann=__n!,

Cn+1m=【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12341.(多維辨析)(多選題)下列說(shuō)法正確的是 ()A.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,每類方案中的方法都能直接完成這件事B.在分步乘法計(jì)數(shù)原理中,只有各步驟都完成后,這件事情才算完成C.Cnm=n(n-1)(n-2)…(n-D.Anm=n(n-1)(n-2)…(n-【解析】選AB.由兩個(gè)計(jì)數(shù)原理可知,選項(xiàng)A,B正確;由組合數(shù)、排列數(shù)公式可知,選項(xiàng)C和D都錯(cuò)誤.2.(選修第三冊(cè)P27T13改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng),則男、女同學(xué)都有的選法種數(shù)是 ()A.18 B.24 C.30 D.36【解析】選C.選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的選法有C42C31=18(種),選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的選法有C43.(忽視隱含條件)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,私家車(chē)成為居民的標(biāo)配.某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化,在小區(qū)建設(shè)過(guò)程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車(chē)位.現(xiàn)有3位私家車(chē)車(chē)主要使用這些備用車(chē)位.現(xiàn)規(guī)定3位私家車(chē)車(chē)主隨機(jī)停車(chē),任意兩輛車(chē)都不相鄰,則共有不同停車(chē)種數(shù)為 ()A.144 B.24 C.72 D.60【解析】選D.由題可知7個(gè)車(chē)位停3輛車(chē),則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位,故可先擺好4個(gè)空車(chē)位,4個(gè)空車(chē)位會(huì)產(chǎn)生5個(gè)空隙可供3輛車(chē)選擇停車(chē).因此,任意兩輛車(chē)都不相鄰的停車(chē)種數(shù)共有A534.(2023·新高考Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有 ()A.C40045·C20015種 B.C.C40030·C20030種 D.【解析】選D.根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60×400600=40人,高中部共抽取60×200600=20人,根據(jù)組合數(shù)公式和分步乘法計(jì)數(shù)原理,則不同的抽樣結(jié)果共有C40040【巧記結(jié)論·速算】若Cnx=Cny,則x=y或x【即時(shí)練】若C20x=C202x-7A.7 B.12 C.9 D.7或9【解析】選D.因?yàn)镃20x=C202x-7,所以x=2x-7或x+2【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用[例1](1)(2023·濟(jì)寧模擬)某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ),所有學(xué)生必考;“1”為首選科目,考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目;“2”為再選科目,考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目.已知小明同學(xué)必選化學(xué),那么他可選擇的方案共有 ()A.4種 B.6種 C.8種 D.12種【解析】選B.根據(jù)題意得,分兩步進(jìn)行分析:①小明必選化學(xué),則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目,選法有3種;②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè),選法有2種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,小明可選擇的方案共有3×2=6(種).(2)如圖所示,在由正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).

【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類:第一類,有一條公共邊的三角形,共有8×4=32(個(gè));第二類,有兩條公共邊的三角形,共有8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,共有32+8=40(個(gè)).答案:40【解題技法】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無(wú)從下手時(shí),可考慮要完成的這件事是什么,即怎樣做才算完成這件事.(2)分類時(shí),標(biāo)準(zhǔn)要明確,做到不重不漏,有時(shí)要恰當(dāng)畫(huà)出示意圖或樹(shù)狀圖.(3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題,一般是先分類再分步.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.由于用具簡(jiǎn)單、趣味性強(qiáng),象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示,若不考慮這部分以外棋子的影響,且“馬”和“炮”不動(dòng),“兵”只能往前走或左右走,每次只能走一格,從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線,其中也能把“炮”吃掉的可能路線有 ()A.10條 B.8條 C.6條 D.4條【解析】選C.由題意可知,“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步,豎走兩步;其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步:第一步,橫走兩步,豎走一步,有3種走法;第二步,橫走一步,豎走一步,有2種走法.所以所求路線共有3×2=6(條).2.(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車(chē),車(chē)牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5,為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為奇數(shù)的車(chē)通行,偶數(shù)日車(chē)牌尾數(shù)為偶數(shù)的車(chē)通行),五人商議拼車(chē)出行,每天任選一輛符合規(guī)定的車(chē),但甲的車(chē)最多只能用一天,則不同的用車(chē)方案種數(shù)為_(kāi)_______.

【解析】5日至9日,日期分別為5,6,7,8,9,有3天是奇數(shù)日,2天是偶數(shù)日.第一步,安排偶數(shù)日出行,每天都有2種選擇,共有2×2=4(種)用車(chē)方案;第二步,安排奇數(shù)日出行,分兩類,第一類,選1天安排甲的車(chē),另外2天安排其他車(chē),有3×2×2=12(種)用車(chē)方案,第二類,不安排甲的車(chē),每天都有2種選擇,共有23=8(種)用車(chē)方案,共計(jì)12+8=20(種)用車(chē)方案.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的用車(chē)方案種數(shù)為4×20=80.答案:80【加練備選】1.有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺(tái)、2個(gè)不同的球,若從中取出2個(gè)幾何體,使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè),則不同的取法種數(shù)是 ()A.14 B.23 C.48 D.120【解析】選C.分兩步:第1步,取多面體,有5+3=8(種)不同的取法;第2步,取旋轉(zhuǎn)體,有4+2=6(種)不同的取法.所以不同的取法種數(shù)是8×6=48.2.(2023·宿州模擬)如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)為()A.12 B.24 C.36 D.48【解析】選C.第1類,對(duì)于每一條棱,都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”,這樣的“正交線面對(duì)”有2×12=24(個(gè));第2類,對(duì)于每一條面對(duì)角線,都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”,這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè).所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36(個(gè)).考點(diǎn)二排列與組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用角度1排列問(wèn)題[例2](2023·泉州模擬)將0,1,2,3,10任意排成一行,可以組成________個(gè)不同的6位數(shù).(用數(shù)字作答)

【解析】將0,1,2,3,10任意排成一行,且數(shù)字0不在首位,則有4A44=96種,數(shù)字1和0相鄰且1在0之前的排法有A44答案:84【解題技法】對(duì)于有限制條件排列問(wèn)題的解題策略(1)分析問(wèn)題時(shí),有位置分析法、元素分析法;(2)在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí),先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】8人站成前后兩排,每排4人,其中甲、乙兩人必須在前排,丙在后排,則共有________種排法.

【解析】先排甲、乙,有A42種排法,再排丙,有A41種排法,其余5人有A答案:5760【加練備選】現(xiàn)有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字,可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)?【解析】當(dāng)組成的數(shù)是一位數(shù)時(shí),一位偶數(shù)有C3當(dāng)組成的數(shù)是兩位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A51=5個(gè),末位是2或4時(shí),有當(dāng)組成的數(shù)是三位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A52=20個(gè),末位是2或4時(shí),有當(dāng)組成的數(shù)是四位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A53=60個(gè),末位是2或4時(shí),有當(dāng)組成的數(shù)是五位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A54=120個(gè),末位是2或4時(shí),有當(dāng)組成的數(shù)是六位數(shù)時(shí),可分兩類:末位是0時(shí),有A55=120個(gè),末位是2或4時(shí),有綜上,組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的個(gè)數(shù)為3+13+52+156+312+312=848.角度2組合問(wèn)題[例3](2023·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課,并且每類選修課至少選修1門(mén),則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答).

【解析】若選修2門(mén)課,則需要從體育類和藝術(shù)類中各選擇1門(mén),共有C41C41=16種;若選修3門(mén)課,則分為兩種情況,2門(mén)體育類1門(mén)藝術(shù)類或2門(mén)藝術(shù)類1門(mén)體育類,共有2答案:64【解題技法】組合問(wèn)題兩類題型的解題策略(1)“含有”或“不含有”問(wèn)題:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.(2)“至少”或“最多”問(wèn)題:用直接法和間接法都可以求解;通常用直接法,分類復(fù)雜時(shí),考慮逆向思維,用間接法處理.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·茂名模擬)將4個(gè)6和2個(gè)8隨機(jī)排成一行,則2個(gè)8不相鄰的情況有 ()A.480種 B.240種 C.15種 D.10種【解析】選D.將2個(gè)8插空放入不相鄰的5個(gè)空位(4個(gè)6之間及首尾有5個(gè)空位)中有C522.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生,那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A.10 B.20 C.30 D.40【解析】選B.將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍,每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生,那么必然是一個(gè)宿舍2名,而另一個(gè)宿舍3名,共有C53【加練備選】如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案,從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為一組.其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為 ()A.208 B.204 C.200 D.196【解析】選C.任取的3個(gè)頂點(diǎn)不能構(gòu)成三角形的情形有3種:一是3條橫線上的4個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為3C43;二是4條豎線上的3個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為4C33;三是4條對(duì)角線上的3個(gè)點(diǎn),其組數(shù)為4C33,所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為C考點(diǎn)三排列與組合的綜合問(wèn)題角度1相鄰與不相鄰問(wèn)題[例4](多選題)有3名男生,4名女生,在下列不同條件下,正確的是 ()A.全體站成一排,女生必須站在一起有144種排法B.全體站成一排,男生互不相鄰有1440種排法C.任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案有70種D.全體站成一排,甲不站排頭,乙不站排尾有3720種排法【解析】選BCD.對(duì)于A,將女生看成一個(gè)整體,考慮女生之間的順序,有A44種排法,再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列,有A44種排法,故共有對(duì)于B,先排女生,將4名女生全排列,有A44種排法,再排男生,由于男生互不相鄰,可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生,有A53種排法,故共有對(duì)于C,任選其中3人相互調(diào)整座位,其余4人座位不變,則不同的調(diào)整方案有C7對(duì)于D,若甲站在排尾,則有A66種排法,若甲不站在排尾,則有A51A5【解題技法】1.相鄰問(wèn)題的求解策略把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列,同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列(捆綁法).2.不相鄰問(wèn)題的求解策略對(duì)于不相鄰問(wèn)題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面已經(jīng)排列元素的空檔中(插空法).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·蘇州模擬)三個(gè)家庭的3位母親帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一條小溪時(shí),為了安全起見(jiàn),他們排隊(duì)前進(jìn),三位母親互不相鄰照顧孩子;3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面;為了防止2名男孩打鬧,2人不相鄰,且不排最前面也不排最后面.則不同的排法共有 ()A.144種 B.216種 C.288種 D.432種【解析】選C.第一步:先將3位母親全排列,共有A3第二步:將3名女孩“捆綁”在一起,共有A3第三步:將“捆綁”在一起的3名女孩作為一個(gè)元素,在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入,有A2第四步:首先將2名男孩之中的一人,插入第三步后相鄰的兩位母親中間,然后將另一個(gè)男孩插入由女孩與母親形成的2個(gè)空中的其中1個(gè),共有C21所以