第四章一次函數(shù)專題6一次函數(shù)中的規(guī)律探索問題數(shù)學(xué)八年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

◎問題綜述一次函數(shù)背景下的規(guī)律探究性問題，是一次函數(shù)的難點，

也是必考點.常常出現(xiàn)在填空題或選擇題的壓軸題中，有時也會

在最后解答題的壓軸題中考查.這種問題主要涉及坐標的計算、

線段長度的計算、面積的計算.◎要點歸納1.

探索規(guī)律的方法.（1）從“數(shù)”的角度；（2）從“形”的角度.

3.

常見規(guī)律類型.（1）循環(huán)；（2）均勻變化（倍數(shù)關(guān)系）；（3）乘方關(guān)系.數(shù)學(xué)八年級上冊BS版02典例講練

類型一

與一次函數(shù)有關(guān)的點的坐標的規(guī)律

如圖，已知直線

OD

與

x

軸所夾的銳角為30°，

OA1的長為

1，△

A1

A2

B1，△

A2

A3

B2，△

A3

A4

B3，…，△

AnAn＋1

Bn

均為等

邊三角形，點

A1，

A2，

A3，…，

An＋1在

x

軸的正半軸上依次排

列，點

B1，

B2，

B3，…，

Bn

在直線

OD

上依次排列，則點

Bn

的

坐標為

?.

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，得∠

B1

OA2＝∠

A1

B1

O

，

OA2＝2

OA1，同理可求得

OAn

，再結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)可

求得△

AnAn＋1

Bn

的邊長，進一步可求得點

Bn

的坐標.【解析】因為△

A1

A2

B1為等邊三角形，所以∠

B1

A1

A2＝60°.

因為∠

B1

OA2＝30°，所以∠

B1

OA2＝∠

A1

B1

O

＝30°.可得

OA2＝2

OA1＝2.因為△

A2

A3

B2為等邊三角形，所以∠

B2

A2

A3＝

60°.因為∠

B2

OA3＝30°.所以∠

B2

OA3＝∠

A2

B2

O

＝30°.可

得

OA3＝2

OA2＝22；…；同理，得

OAn

＝2

n－1.因為∠

BnOAn＋1

＝30°，∠

BnAnAn＋1＝60°，所以∠

BnOAn＋1＝∠

OBnAn

＝

30°.

【點撥】本題利用了數(shù)與數(shù)之間存在的倍數(shù)規(guī)律.

（63，32）

類型二

與一次函數(shù)有關(guān)的線段的規(guī)律

【思路導(dǎo)航】先根據(jù)一次函數(shù)的表達式求出點

B1的坐標，再根

據(jù)點

B1的坐標求出點

A2的坐標，以此類推，總結(jié)規(guī)律便可求出

點

Bn

的坐標，即可求得

AnBn

.

【點撥】此題的關(guān)鍵是找出前后對應(yīng)線段長度的數(shù)量關(guān)系.

如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)

y

＝3

x

和

y

＝－

x

的圖象分別

為直線

l1，

l2，過點（1，0）作

x

軸的垂線交

l1于點

A1，過點

A1

作

y

軸的垂線交

l2于點

A2，過點

A2作

x

軸的垂線交

l1于點

A3，過

點

A3作

y

軸的垂線交

l2于點

A4……依次進行下去，則點

A2

023

A2

024的長為

?.4×31

011

類型三

與一次函數(shù)有關(guān)的面積的規(guī)律

如圖，直線

y

＝－2

x

＋2分別交

x

軸、

y

軸于

A

，

B

兩點，將

線段

OA

分成

n

等份，等分點分別為

P1，

P2，

P3，…，

Pn－1，過

每個等分點作

x

軸的垂線分別交直線

AB

于點

T1，

T2，

T3，…，

Tn－1，用

S1，

S2，

S3，…，

Sn－1分別表示Rt△

T1

OP1，Rt△

T2

P1P2，…，Rt△

Tn－1

Pn－2

Pn－1的面積，則當

n

＝2023時，

S1＋

S2＋

S3＋…＋

Sn－1＝

?.

【思路導(dǎo)航】根據(jù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出點

T1，

T2，

T3，…，

Tn－1的縱坐標，利用三角形的面積公式得出

S1，

S2，

S3，…，

Sn－1，再計算.

如圖，在平面直角坐標系中，直線

l

為正比例函數(shù)

y

＝

x

的圖

象，點

A1的坐標為（1，0），過點

A1作

x

軸的垂線交直線

l

于點

D1，以

A1

D1為邊作正方形

A1

B1

C1

D1；過點

C1作直線

l

的垂線，垂足為

A2，交

x

軸于點

B2，以

A2

B2為邊作正方形

A2

B2

C2

D2；過點

C2作

x

軸的垂線，垂足為

A3，交直線

l

于點

A3，以

A3

D3為邊作正方形

A