專(zhuān)題04易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】 1【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 4【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 8【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 12【典型例題】【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和4，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是_____．【變式訓(xùn)練】1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對(duì)2．（北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．3．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9cm，5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm．4．(2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若的三邊長(zhǎng)分別為，7，6，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的值為_(kāi)_________．5．(2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的1.5倍，則它的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·浙江·八年級(jí)期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為_(kāi)_．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·上海閔行·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．2．(2023春·黑龍江黑河·八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．3．(2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，如果射線上的點(diǎn)滿足是等腰三角形，的度數(shù)為_(kāi)_____．4．(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┰谥?，，，點(diǎn)D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為_(kāi)__________．5．(2023春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是________．6．(2023春·上海虹口·八年級(jí)?？计谥校┤绻切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一個(gè)“倍角三角形”．如果一個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是____________．【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·河南平頂山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，B、C、D在同一直線上，，，于O，，P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不包括D、B），當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，依次連接、、．已知，，且當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則的值為_(kāi)________________．2．(2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，若是腰為5的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________．【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)是______．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，，是邊上的高，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．2．(2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，上的中線把三角形的周長(zhǎng)分成和兩部分，則底邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．3．(2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為36，其中一條邊的長(zhǎng)度為10，則底邊上高的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．4．(2023秋·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)_____．5．(2023·陜西·交大附中分校七年級(jí)期末）已知中，，在AB邊上有一點(diǎn)D，若CD將分為兩個(gè)等腰三角形，則________．專(zhuān)題04易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】 1【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 4【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 8【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】 12【典型例題】【易錯(cuò)點(diǎn)一求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和4，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是_____．答案:16或14##14或16分析：分6是腰長(zhǎng)和底邊兩種情況，利用三角形的三邊關(guān)系判斷，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：①6是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為6、6、4，能組成三角形，周長(zhǎng)是6+6+4＝16，②6是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為6、4、4，能組成三角形，周長(zhǎng)是6+4+4＝14，綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為16或14．故答案為：16或14．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對(duì)答案:B解析：分析：先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分5是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：，，x?5=0，y?10=0，解得x=5，y=10，當(dāng)5是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為5、5、10，∵5+5=10，∴不能組成三角形；當(dāng)5是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為5、10、10，能組成三角形，周長(zhǎng)=5+10+10=25，所以，三角形的周長(zhǎng)為25，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)算式都等于0，求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．2．（北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．答案:17分析：由等腰三角形兩腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，分7為腰長(zhǎng)或3為腰長(zhǎng)兩種情況，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，7、7、3能組成三角形，周長(zhǎng)為：；當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，，7、3、3不能構(gòu)成三角形，故答案為：17．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”．3．(2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9cm，5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____cm．答案:23或19分析：分9cm是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系討論求解．【詳解】解：①若9cm是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為9cm、9cm、5cm，，能組成三角形，周長(zhǎng)（cm），②若9cm是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊分別為9cm、9cm、5cm，，能組成三角形，周長(zhǎng)（cm）．綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為23或19cm．故答案為：23或19．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．4．(2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若的三邊長(zhǎng)分別為，7，6，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的值為_(kāi)_________．答案:3或4##4或3分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵為等腰三角形，∴當(dāng)時(shí)，解得，∴三邊長(zhǎng)為6，6，7∵，∴符合三角形三邊的條件，當(dāng)時(shí)，解得，∴三邊長(zhǎng)為7，7，6∵，∴符合三角形三邊的條件，∴的值為4和3．故答案為：4和3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義（兩邊相等的三角形），靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．5．(2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用一條長(zhǎng)為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形，已知這個(gè)等腰三角形一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的1.5倍，則它的底邊長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案:12或7分析：可設(shè)一邊為，則另一邊為，然后分x為腰和底兩種情況，表示出周長(zhǎng)，解出x，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：設(shè)一邊為，則另一邊為，①當(dāng)長(zhǎng)為的邊為腰時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，由題意可列方程：，解得，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：、和，滿足三角形三邊之間的關(guān)系，符合題意；②當(dāng)長(zhǎng)為的邊為底時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：、、，由題意可列方程：，解得：，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：、、，滿足三角形的三邊之間的關(guān)系，符合題意；∴這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為或．故答案為：12或7．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，分情況討論且進(jìn)行三邊驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵．【易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·浙江·八年級(jí)期中）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為_(kāi)_．答案:或##或分析：首先要進(jìn)行分析題意，“等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角”沒(méi)明確是頂角還是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】本題分兩種情況，①當(dāng)角為頂角時(shí)，頂角的度數(shù)為，②當(dāng)角為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為；∴這個(gè)等腰三角形的頂角為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；題目中沒(méi)有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023秋·上海閔行·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．答案:，或，分析：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，分類(lèi)討論即可得到答案．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：；②當(dāng)時(shí)底角時(shí)，則有：頂角；故答案為：，或，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，還考查了分類(lèi)討論的思想．2．(2023春·黑龍江黑河·八年級(jí)?？计谀┑妊切蔚囊粋€(gè)角比另一個(gè)角的2倍少，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是_____．答案:或或分析：設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，然后分①是頂角，是底角，②是底角，是頂角，③與都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)另一個(gè)角是，表示出一個(gè)角是，①是頂角，是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；②是底角，是頂角時(shí)，，解得，所以，頂角是；③與都是底角時(shí)，，解得，所以，頂角是；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于分情況討論，特別是這兩個(gè)角都是底角的情況容易漏掉而導(dǎo)致出錯(cuò)．3．(2023春·河北石家莊·八年級(jí)石家莊市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，如果射線上的點(diǎn)滿足是等腰三角形，的度數(shù)為_(kāi)_____．答案:或或##或或##或或##或或##或或##或或分析：求出，根據(jù)等腰得出三種情況，，，，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】∵平分，∴，分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖，∵，∴，∴，綜上，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，用了分類(lèi)討論思想．4．(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┰谥?，，，點(diǎn)D在邊上（不與B、C重合），連接，若是等腰三角形，則的度數(shù)為_(kāi)__________．答案:或分析：在中，根據(jù)，，得到，再根據(jù)是等腰三角形及三角形外角公式分類(lèi)討論即可得到答案．【詳解】解：如圖所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述或．【點(diǎn)睛】本題考查利用等腰三角形性質(zhì)求角度及三角形內(nèi)外角關(guān)系，解題關(guān)鍵是分析出的腰．5．(2023春·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是________．答案:或或分析：作出圖形，然后分點(diǎn)P在上與上兩種情況討論求解．【詳解】解：①如圖1，點(diǎn)P在上時(shí)，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點(diǎn)P在上時(shí)，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，注意要分情況討論求解．6．(2023春·上海虹口·八年級(jí)?？计谥校┤绻切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一個(gè)“倍角三角形”．如果一個(gè)倍角三角形是一個(gè)等腰三角形，那么它的頂角的度數(shù)是____________．答案:或##36°或90°分析：分兩種情況：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)和當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列出方程，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)，設(shè)頂角為，則底角為，∴，解得：，當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為，則底角為，∴，解得：，綜上所述，它的頂角的度數(shù)是或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的定義、解一元一次方程，解本題的關(guān)鍵在分情況討論思想的應(yīng)用．【易錯(cuò)點(diǎn)三求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·河南平頂山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，B、C、D在同一直線上，，，于O，，P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不包括D、B），當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案:3或或13分析：根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出和的長(zhǎng)，分三種情況，根據(jù)勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵，∴，在中，，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在中，，即，解得，，則，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，是等腰三角形時(shí)，線段DP的長(zhǎng)度為3或或13．故答案為：3或或13．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，作點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，依次連接、、．已知，，且當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則的值為_(kāi)________________．答案:或分析：①當(dāng)時(shí)，是以為腰的等腰三角形，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理，可列出方程求出x的值，進(jìn)而可得的值；②當(dāng)時(shí)，是以為腰的等腰三角形，過(guò)點(diǎn)B作，證明，，再列方程求解即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，是以為腰的等腰三角形，在長(zhǎng)方形中，∵D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，∴，∵是以為腰的等腰三角形，∴，∴，設(shè)，則，，在中，即：，解得：，，∴的值為；②當(dāng)時(shí)，是以為腰的等腰三角形，如下圖1，過(guò)點(diǎn)B做，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，在和中∴，∴，，設(shè)，則，∵，，，∴，∵，∴，解得：，∴；綜上所述，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形、等腰三角形、軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理巧妙設(shè)方程求解是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．2．(2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，若是腰為5的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________．答案:或分析：先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，分兩種情況：或，求出a的值，即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，∵點(diǎn)，，∴軸，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，當(dāng)時(shí)，，解得：或，∵，∴舍去，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去），∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；綜上分析可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出方程，注意進(jìn)行分類(lèi)討論．【易錯(cuò)點(diǎn)四三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類(lèi)討論產(chǎn)生易錯(cuò)】例題：(2023春·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則頂角的度數(shù)是______．答案:或分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，一種情況是等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為；另一種情況是等腰三角形為鈍角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為；【詳解】如圖1，等腰三角形為銳角三角形，∵，，∴；如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，∵，，∴，∴．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023春·北京西城·八年級(jí)?？计谥校┰谥校?，是邊上的高，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．答案:或分析：分兩種情況：當(dāng)在線段上時(shí)，根據(jù)題意，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，計(jì)算即可得出的度數(shù)；當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)題意，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角，得出，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，計(jì)算即可得出的度數(shù)，綜合即可得出答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，∵是邊上的高，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵是邊上的高，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等邊對(duì)等角、三角形的外角的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，分類(lèi)討論．2．(2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在中，，上的中線把三角形的周長(zhǎng)分成和兩部分，則底邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案:或分析：分兩種情況：；，可得的長(zhǎng)，再由另一部周長(zhǎng)即可求得底邊的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意得：；當(dāng)時(shí)，即，，，；當(dāng)時(shí)，即，，，；綜上，底邊的長(zhǎng)為或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，中線的含義，涉及分類(lèi)討論．3．(2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為36，其中一條邊的長(zhǎng)度為10，則底邊上高的長(zhǎng)度為_(kāi)__________．答案:6或12##12或6分析：分兩種情況：①當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是腰時(shí)，②當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是底時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解∶①當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是腰時(shí)，則底為，底邊上高的長(zhǎng)度為；②當(dāng)長(zhǎng)度為10的邊是底時(shí)，則腰為，底邊上高的長(zhǎng)度為，綜上所述，底邊上高的長(zhǎng)度為6或12，故答案為∶6或12．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．(2023秋·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形