Page1專題4.3三角形中位線定理【典例1】如圖，四邊形ABCD中，點E、F分別為AD、BC的中點，延長FE交CD延長線于點G，交BA延長線于點H，若∠BHF與∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，則EF的長為．【思路點撥】連接BD，取BD的中點M，連接EM，F(xiàn)M，依據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理解答即可．【解題過程】解：連接BD，取BD的中點M，連接EM，F(xiàn)M，∵E、F分別為AD、BC的中點，M為BD的中點，∴EM，MF分別為△ADB、△BCD的中位線，∴EM∥AB，MF∥DC，EM=12AB＝2，MF=∵MF∥DC，∴∠FGC＝∠EFM，∵EM∥AB，∴∠FEM＝∠FHB，∵∠BHF與∠CGF互余，∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，∴△EMF是直角三角形，∴EF=E故答案為：13．1．（武進區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，則四邊形DBFE的周長是（）A．13 B．192 C．17 【思路點撥】依據(jù)三角形的中位線和四邊形的周長公式即可得到結(jié)論．【解題過程】解：∵點D、E、F分別是AB、AC、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，EF是△ABC的中位線，∴DE＝BF=12BC=12×9=92，∴四邊形DBFE的周長為DE+BF+EF+BD＝9+10＝19，故選：D．2．（寧波模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=25，BC=4，則A．12 B．1 C．32【思路點撥】依據(jù)勾股定理求出AB，依據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AB，DE=12AB＝3，BE=12BC＝2，依據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理求出【解題過程】解：在Rt△ABC中，AC＝25，BC＝4，由勾股定理得：AB=A∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分別為CA，CB的中點，∴DE∥AB，DE=12AB＝3，BE=∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故選：B．3．（雁塔區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝13，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若點E，F(xiàn)分別是邊AD，CD的中點，則EF的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路點撥】連接AC，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA=12×（180°﹣100°）＝40°，依據(jù)勾股定理得到AC=【解題過程】解：連接AC，∵∠D＝100°，AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA=1∵∠BAD＝130°，∴∠BAC＝90°，∵AB＝5，BC＝13，∴AC=B∵點E，F(xiàn)分別是邊AD，CD的中點，∴EF是△ADC的中位線，∴EF=12故選：D．4．（海陽市期末）如圖，△ABC中，點D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直AE，垂足為點N，∠ACB的平分線垂直AD，垂足為點M，連接MN．若BC＝7，MN=32，則△A．17 B．18 C．19 D．20【思路點撥】利用ASA定理證明△BNA≌△BNE，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，依據(jù)三角形中位線定理求出DE，依據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解題過程】解：在△BNA和△BNE中，∠NBA=∠NBEBN=BN∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN=3∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故選：A．5．（澄江市期中）如圖，△ABC中，∠B＝90°，過點C作AB的平行線，與∠BAC的平分線交于點D，若AB＝6，BC＝8．E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則EF的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．4【思路點撥】如圖，延長FE交AC于G，首先利用勾股定理求得AC的長度；然后利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)推知∠D＝∠CAD，則判定AC＝CD；最終利用三角形中位線定理分別求得FG和EG的長度，求差即可．【解題過程】解：如圖，延長FE交AC于G，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=A∵AB∥CD，AD是∠BAC的平分線，∴∠D＝∠DAB，∠DAB＝∠DAC．∴∠D＝∠CAD．∴AC＝CD＝10．∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，∴FG是△ABC的中位線，EG是△ABC的中位線．∴FG=12DC＝5，EG=∴EF＝FG﹣EG＝2．故選：C．6．（廣西模擬）已知：四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分別是AD，BC的中點，則線段MN的取值范圍是（）A．12＜MN＜52 B．12＜MN≤52【思路點撥】當(dāng)AB∥CD時，MN最短，利用中位線定理可得MN的最長值，作出幫助線，利用三角形中位線及三邊關(guān)系可得MN的其他取值范圍．【解題過程】解：連接BD，過M作MG∥AB，連接NG．∵M是邊AD的中點，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位線，BG＝GD，MG=12AB∵N是BC的中點，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位線，NG=12CD=1在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即32-1＜MN∴12＜MN當(dāng)MN＝MG+NG，即MN=52時，四邊形故線段MN長的取值范圍是12＜MN故選：B．7．（淅川縣期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，點M、N分別為線段BC、AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E、F分別為DM、MN的中點，則EF長度的可能為（）A．2 B．5 C．7 D．9【思路點撥】依據(jù)三角形的中位線定理得出EF=12DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，N與A重合時，DN最小，從而求得【解題過程】解：連接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12∴DN最大時，EF最大，DN最小時，EF最小，∵N與B重合時DN最大，此時DN＝DB=A∴EF的最大值為6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF長度的可能為5；故選：B．8．（同安區(qū)期中）如圖，為估計池塘岸邊AB兩點間的距離，在池塘的一側(cè)選取點O，分別取OA，OB的中點M，N，測得MN＝8m，則A、B兩點間的距離是16m．【思路點撥】依據(jù)三角形中位線定理計算即可．【解題過程】解：∵點M，N分別為OA，OB的中點，∴MN為△ABC的中位線，∴AB＝2MN＝2×8＝16（m），故答案為：16．9．（北碚區(qū)校級期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，點D、E分別是AC、BC的中點，連接DE，在DE上有一點F，EF＝1cm，連接AF，CF，若AF⊥CF，則AB＝8cm．【思路點撥】依據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，進而求出DE，依據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案．【解題過程】解：在Rt△AFC中，點D是AC的中點，AC＝6cm，∴DF=12AC=1∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案為：8cm．10．（邗江區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分別是CD、AB、AC的中點，若∠DAC＝20°，∠ACB＝80°，則∠FEG＝30°．【思路點撥】依據(jù)三角形中位線定理和等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)求解即可．【解題過程】解：∵AD＝BC，E，F(xiàn)，G分別是CD，AB，AC的中點，∴GE是△ACD的中位線，GF是△ACB的中位線，∴GE=12AD，GF=12BC，GF∥BC，∴∠AGF＝∠ACB＝80°，∠EGC＝∠DAC＝20°，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∴∠EFG＝∠FEG，∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣80°）＝120°，∴∠FEG=12（180°﹣∠故答案為：30°．11．（鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞10，點D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝8，CE＝6，連接DE，點M是DE的中點，點N是BC的中點，則線段MN的長為5．【思路點撥】作CH∥AB，連接DN，延長DN交CH于H，連接EH，首先證明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位線定理即可【解題過程】解：作CH∥AB，連接DN并延長交CH于H，連接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝8，DN＝NH，∵CH＝8，CE＝6，∴EH=C∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=12故答案為：5．12．（虹口區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，則MN＝4.5．【思路點撥】延長AM交BC于點G，依據(jù)BM為∠ABC的平分線，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG為等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，依據(jù)三角形中位線定理即可求得MN．【解題過程】解：延長AM交BC于點G，延長AN交BC延長線于點D，∵BM為∠ABC的平分線，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG為等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN為△ADG的中位線，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣故答案為：4.5．13．（香坊區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，E是AB的中點，D是AC上一點，連接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，則BC的長為6．【思路點撥】如圖，延長AC至N，使CN＝BC，連接BN，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADE＝∠N，可證DE∥BN，由三角形中位線定理可得AD＝DN，即可求解．【解題過程】解：如圖，延長AC至N，使CN＝BC，連接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中點，∴DE是△ABN的中位線，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴設(shè)AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案為6．14．（橋西區(qū)校級期中）如圖，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝6，依次連接△A1B1C1三邊中點，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點，得△A3B3C3，…，則△A3B3C3的周長＝174，△AnBnCn的周長＝172【思路點撥】依據(jù)三角形中位線定理求出A2B2，B2C2，A2C2，進而出去△A2B2C2的周長，總結(jié)規(guī)律，依據(jù)規(guī)律解答即可．【解題過程】解：∵連接△A1B1C1三邊中點，得△A2B2C2，A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝6，∴A2B2=12A1B1=72，B2C2=12B1C1＝2，A2C2∴△A2B2C2的周長=72+同理可得：△A3B3C3的周長=17……△AnBn?n的周長=17故答案為：174；1715．（麗水期末）如圖①是公園蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，點C為橫板AB的中點．小明和小聰去玩蹺蹺板，小明最高能將小聰翹到1米高（如圖②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聰最高翹到1.25米高，請你幫他找出一種方法，并解答．【思路點撥】（1）依據(jù)三角形中位線定理求出OC；（2）依據(jù)AD的長度求出OC的長度，得到答案．【解題過程】解：（1）由題意得：OC∥AD，∵點C為AB的中點，∴OC為△ABD的中位線，∴OC=12∵AD＝1米，∴OC=1（2）要把小聰最高翹到1.25米高，立柱OC的高度要上升為0.625米．當(dāng)AD＝1.25米時，OC＝0.625米，所以要把小聰最高翹到1.25米高，立柱OC的高度要上升為0.625米．16．（沈北新區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點，求證：AF=12【思路點撥】過D作DG∥AC，可證明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，由三角形中位線定理可得DG=12【解題過程】證明：如圖，過D作DG∥AC，則∠EAF＝∠EDG，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC中點，∴G為BF中點，∴DG=12∵E為AD中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，∠EAF=∠EDGAE=DE∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF=1217．（萊州市期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AC＝BD，E、F分別是AB、CD的中點，EF分別交BD、AC于點G、H．求證：OG＝OH．【思路點撥】取BC邊的中點M，連接EM，F(xiàn)M，則依據(jù)三角形的中位線定理，即可證得△EMF是等腰三角形，依據(jù)等邊對等角，即可證得∠MEF＝∠MFE，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠OGH＝∠OHG，依據(jù)等角對等邊即可證得．【解題過程】解：取BC邊的中點M，連接EM，F(xiàn)M，∵M、F分別是BC、CD的中點，∴MF∥BD，MF=12同理：ME∥AC，ME=12∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．18．（富平縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F分別是邊DC、AB的中點，F(xiàn)E的延長線分別AD、BC的延長線交于點H、G，求證：∠AHF＝∠BGF．【思路點撥】連接BD，取BD的中點P，連接EP，F(xiàn)P，依據(jù)三角形中位線定理得到PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，EP∥【解題過程】證明：連接BD，取BD的中點P，連接EP，F(xiàn)P，∵E、F、P分別是DC、AB、BD邊的中點，∴EP是△BCD的中位線，PF是△ABD的中位線，∴PF=12AD，PF∥AD，EP=12BC，∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠AHF＝∠BGF．19．（建湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，DE∥BC交AC于點E，連接BE，點F、G、H分別為BE、DE、BC的中點．（1）求證：FG＝FH；（2）當(dāng)∠A為多少度時，F(xiàn)G⊥FH？并說明理由．【思路點撥】（1）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，依據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，依據(jù)三角形中位線