第5章平行四邊形5.3三角形的中位線三角形中位線的性質(zhì)三角形中位線在四邊形中的應(yīng)用平行四邊形的判定邊角對(duì)角線兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形回顧與思考探究思考請(qǐng)同學(xué)們按要求畫圖：畫任意△ABC中，畫AB、AC邊中點(diǎn)D、E，連接DE．定義：像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．知識(shí)點(diǎn)三角形中位線的性質(zhì)1DE特別提醒1.一個(gè)三角形有三條中位線.2.三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形，三個(gè)面積相等的平行四邊形.3.三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別：三角形的中線是連接一頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中位線則是連接兩邊中點(diǎn)的線段.4.三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.在△ABC中，中位線DE和邊BC什么關(guān)系DE和邊BC關(guān)系數(shù)量關(guān)系：位置關(guān)系：ABCDEDE//BCDE＝BC觀察猜想例1已知：如圖(1)，DE是△ABC的中位線.求證：DE∥BC，DE＝BC.如圖(2)，延長(zhǎng)DE到F，使FE＝DE，連接CF.在△ADE和△CFE中，∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE,∴△ADE≌△CFE.∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.證明：∴CF∥AB.∵BD＝AD，

∴CF＝BD.∴四邊形DBCF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).∴

DF∥BC(平行四邊形的定義)，DF＝BC(平行四邊形的對(duì)邊相等).∴DE∥BC，DE＝BC.歸納利用三角形中位線定理可以證明小明分割的四個(gè)小三角形全等.例2如圖，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC，BD于點(diǎn)F，G，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OF.求證：AB＝2OF.導(dǎo)引：點(diǎn)O是平行四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O是線段AC的中點(diǎn)，要證明AB＝2OF，我們只需證明點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，即證明OF是△ABC的中位線．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E為平行四邊形ABCD中DC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝DC，∴AB∥CE，AB＝CE.∴四邊形ABEC是平行四邊形．∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．又∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴OF是△ABC的中位線．∴AB＝2OF.歸納證明線段倍分關(guān)系的方法：

由于三角形的中位線等于三角形第三邊的一半，因此當(dāng)需要證明某一線段是另一線段的一半或兩倍，且題中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，?？紤]三角形中位線定理．1.已知三角形的各邊長(zhǎng)分別為8cm，10cm和12cm，求以各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng).解：以各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為(8＋10＋12)＝15(cm)．2.如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下面的方法估測(cè)出了A，B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后步測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并步測(cè)出MN的長(zhǎng)，由此他就知道了A，B間的距離.你能說說其中的道理嗎？解：由題意可知，MN是△ABC的中位線，所以AB＝2MN.所以測(cè)出MN的長(zhǎng)，就可知道A，B間的距離．A3.如圖，要測(cè)定被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)的距離，可以在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC，并分別找出它們的中點(diǎn)D，E，連接ED.現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，則AB＝(

)A．50m

B．48mC．45m

D．35mB4.如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是(

)A．5B．7C．9D．11B5.如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是(

)A．4.5B．5C．5.5D．6A6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，則下列結(jié)論不正確的是(

)A．∠ECD＝112.5°B．DE平分∠FDCC．∠DEC＝30°D．AB＝

CDC議一議如圖，任意畫一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)新四邊形，這個(gè)新四邊形的形狀有什么特征？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流.知識(shí)點(diǎn)三角形中位線在四邊形中的應(yīng)用2中點(diǎn)四邊形的定義：依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形．拓展：不管四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形始終是平行四邊形．例3如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是平行四邊形．如圖，連接BD.∵點(diǎn)E，H分別是邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH為△ABD的中位線．∴EH∥BD，EH＝BD.同理可得：FG∥BD，F(xiàn)G＝

BD.∴EH∥FG，EH＝FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形．證明：解法提醒1.依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，所有的中點(diǎn)四邊形都是平行四邊形.2.利用中位線定理判定平行四邊形，一般用“一組對(duì)邊平行且相等”的方法.歸納此題主要考查了平行四邊形的判定及三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，若AC＝10cm，BD＝12cm，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為(

)A．10cmB．11cmC．12cmD．22cmD1.2.如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，R，P分別是DC，BC上的點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AP，RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是(

)A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B．線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C．線段EF的長(zhǎng)不改變D．線段EF的長(zhǎng)先增大后減小C3.如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝5cm，則AD的長(zhǎng)為______cm.104.如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)度的最大值為________．3練點(diǎn)1三角形的中位線及定理

1.

如圖，在△

ABC

中，若

AD

＝

BD

，

BE

＝

CE

，則下列線

段是△

ABC

的中位線的是(

A

)A.

DE

B.

BD

C.

CE

D.

AE

(第1題)A2.

[母題·教材P139隨堂練習(xí)T2]如圖，

A

，

B

兩點(diǎn)被池塘隔

開，

A

，

B

，

C

三點(diǎn)不共線.設(shè)

AC

，

BC

的中點(diǎn)分別為

M

，

N

.

若

MN

＝3

m，則

AB

＝(

B

)A.4

mB.6

mC.8

mD.10

m(第2題)B3.

如圖，在四邊形

ABCD

中，點(diǎn)

E

，

F

，

G

分別是邊

AB

，

AD

，

DC

的中點(diǎn)，則是圖中某個(gè)三角形的中位線的線段

是(

D

)A.

BG

B.

BD

C.

EG

D.

EF

(第8題)D三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．幾何語言(如圖)：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC．DE=BC．ABCDE如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)，若AC＋BD＝24cm，△OAB的周長(zhǎng)是18cm，則EF＝________cm.易錯(cuò)點(diǎn)：忽視整體思想的應(yīng)用而求不出中位線的長(zhǎng)3點(diǎn)撥：∵AC