專題3.11拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.

(2)集合語(yǔ)言表示

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上隨意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：3．拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)：4．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對(duì)稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對(duì)稱圖形；

②頂點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線有2個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個(gè)焦點(diǎn)，拋物線只有1個(gè)焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.5．與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題求解此類問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠精確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：由條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，如利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性等，亦可用均值不等式求解.【題型1動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)拋物線的定義，拋物線是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F，和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，因此只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足拋物線的定義，就可以選擇利用定義法求出其軌跡方程.【例1】在平面上，到點(diǎn)A1,0的距離等于到直線x+2y=3的距離的動(dòng)點(diǎn)A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線【變式1-1】已知點(diǎn)M(2,2)，直線l:x-y-1=0，若動(dòng)點(diǎn)P到lA．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線【變式1-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)Px,y到直線x=1的距離比它到定點(diǎn)-2,0A．y2=2C．y2=【變式1-3】若點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離比它到直線y=-1的距離大1，則點(diǎn)PA．y2=4x B．x2【題型2利用拋物線的定義解題】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)具體問(wèn)題，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【例2】若拋物線C:y2=pxp>0A．6 B．8 C．12 D．16【變式2-1】已知拋物線D:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在D上，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若PAA．2 B．22 C．2【變式2-2】已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是拋物線C上不同兩點(diǎn)，且A，BA．4 B．5 C．6 D．8【變式2-3】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線x=14y2的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，且MF=3，則A．2 B．4716 C．23【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】【方法點(diǎn)撥】求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程的步驟：第一步：把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；其次步：明確拋物線開(kāi)口方向；第三步：求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的值；第四步：寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.【例3】拋物線y=43A．(0,13) B．(1【變式3-1】拋物線y=-1A．x=132 B．y=2【變式3-2】拋物線y=x2A．0,1 B．1,0 C．0,14【變式3-3】拋物線y2=2xA．1 B．2 C．3 D．4【題型4求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【方法點(diǎn)撥】①干脆法：干脆利用題中已知條件確定參數(shù)p.②待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再依據(jù)題中條件，確定參數(shù)p.③定義法：先判定所求點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，進(jìn)而求出方程.【例4】頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M-1,2的拋物線方程為（A．y2=4C．x2=【變式4-1】焦點(diǎn)在直線3x-4A．y2=16x或x2C．y2=16x或x2【變式4-2】焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．x2=4y B．x2【變式4-3】若拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)P（2，A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【題型5與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】求與拋物線有關(guān)的最值的常見(jiàn)題型是求拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值、求拋物線上一點(diǎn)到定直線的最值，解與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題主要有兩種思路：一是利用拋物線的定義，進(jìn)行到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，利用幾何意義解決；二是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)行消元代換，得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式，借助目標(biāo)函數(shù)最值的求法解決.【例5】已知A,B是拋物線y2=-6x上的兩點(diǎn)，且ABA．72 B．4 C．92【變式5-1】已知拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C:xA．4 B．6 C．8 D．10【變式5-2】已知點(diǎn)P為拋物線y2=-4x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到l2:x=1的距離為dA．52 B．522 C．【變式5-3】已知拋物線x2=my焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(0,1)，P為拋物線上的隨意一點(diǎn)，B(2,2)A．3 B．4 C．5 D．11【題型6與拋物線有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】①要解決這些實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)的計(jì)算，我們可以利用坐標(biāo)法建立拋物線方程，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和其幾何性質(zhì)進(jìn)行推理、運(yùn)算.②解決此類問(wèn)題要留意實(shí)際問(wèn)題中的量與拋物線相關(guān)量之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.【例6】蘇州市“東方之門(mén)”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門(mén)”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門(mén)”的示意圖，已知CD=30m，AB=60m，點(diǎn)D到直線AB的距離為150m，則此拋物線頂端OA．180m B．200m C．220【變式6-1】如圖，某橋是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m，水面寬4m，那么水下降1m后，水面寬為（

）A．22mC．25m【變式6-2】一種衛(wèi)星接收天線如圖（1）所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)F處，如圖（2）所示.已知接收天線的口徑AB為4.8m，深度為1m.若P為接收天線上一點(diǎn)，則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的最短距離為（A．0.72m B．C．2.44m D．【變式6-