§7.2一元二次不等式及其解法考試要求1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系.3.會(huì)解簡(jiǎn)單的一元二次不等式.4.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．知識(shí)梳理1．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集2.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?________________；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?____________________.3．簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為_(kāi)_______________，|x|<a(a>0)的解集為_(kāi)_______________．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.()(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.()(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等價(jià)于(x－a)(x－b)≥0.()教材改編題1．不等式eq\f(x－3,x－2)<0的解集為()A．?B．(2，3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)2．已知2x2＋kx－m<0的解集為(t，－1)(t<－1)，則k＋m的值為()A．1B．2C．－1D．－23．已知對(duì)任意x∈R，x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．題型一一元二次不等式的解法命題點(diǎn)1不含參數(shù)的不等式例1(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))(2)已知p：|x－1|≤2，q：eq\f(x＋1,x－3)≤0，則p是q的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2含參數(shù)的一元二次不等式例2已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<4))))，求a的值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)當(dāng)a<0時(shí)，求關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，常見(jiàn)的分類(lèi)有(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi)．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．跟蹤訓(xùn)練1解關(guān)于x的不等式．(1)eq\f(2x－1,3x＋1)>1；(2)m>0時(shí)，mx2－mx－1<2x－3.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二一元二次不等式恒成立問(wèn)題命題點(diǎn)1在R上恒成立問(wèn)題例3若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問(wèn)題例5(2023·宿遷模擬)若不等式x2＋px>4x＋p－3，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是()A．[－1，3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類(lèi)討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2}(2)設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，則()A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≤eq\f(5,2) D．a(chǎn)≥eq\f(5,2)§7.2一元二次不等式及其解法考試要求1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系.3.會(huì)解簡(jiǎn)單的一元二次不等式.4.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．知識(shí)梳理1．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(√)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(×)(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等價(jià)于(x－a)(x－b)≥0.(×)教材改編題1．不等式eq\f(x－3,x－2)<0的解集為()A．?B．(2,3)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，＋∞)答案B解析eq\f(x－3,x－2)<0等價(jià)于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.2．已知2x2＋kx－m<0的解集為(t，－1)(t<－1)，則k＋m的值為()A．1B．2C．－1D．－2答案B解析因?yàn)?x2＋kx－m<0的解集為(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1為方程2x2＋kx－m＝0的一個(gè)根，所以k＋m＝2.3．已知對(duì)任意x∈R，x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案[1,3]解析?x∈R，x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≥0，則Δ≤0?(a－2)2－1≤0?1≤a≤3.題型一一元二次不等式的解法命題點(diǎn)1不含參數(shù)的不等式例1(1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案D解析原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠0，,1－2x>0，))即x<eq\f(1,2)且x≠0，故選D.(2)已知p：|x－1|≤2，q：eq\f(x＋1,x－3)≤0，則p是q的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案C解析|x－1|≤2，－2≤x－1≤2，－1≤x≤3?p：－1≤x≤3.eq\f(x＋1,x－3)≤0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－3≤0，,x－3≠0，))－1≤x<3?q：－1≤x<3.所以p是q的必要不充分條件．命題點(diǎn)2含參數(shù)的一元二次不等式例2已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.(1)若不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<4))))，求a的值；(2)當(dāng)a<0時(shí)，求關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集．解(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化為(ax＋2)(x－4)<0.因?yàn)閒(x)<0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<4))))，所以a>0且－eq\f(2,a)＝－eq\f(2,3)，解得a＝3.(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，因?yàn)閍<0，所以不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,a)))(x－4)<0，當(dāng)4<－eq\f(2,a)，即－eq\f(1,2)<a<0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(2,a)))；當(dāng)4＝－eq\f(2,a)，即a＝－eq\f(1,2)時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)4>－eq\f(2,a)，即a<－eq\f(1,2)時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)，4)).綜上所述，當(dāng)－eq\f(1,2)<a<0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(2,a)))；當(dāng)a＝－eq\f(1,2)時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a<－eq\f(1,2)時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)，4)).思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，常見(jiàn)的分類(lèi)有(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi)．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．跟蹤訓(xùn)練1解關(guān)于x的不等式．(1)eq\f(2x－1,3x＋1)>1；(2)m>0時(shí)，mx2－mx－1<2x－3.解(1)移項(xiàng)得eq\f(2x－1,3x＋1)－1>0，合并得eq\f(－x－2,3x＋1)>0，等價(jià)于(3x＋1)(－x－2)>0，即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－eq\f(1,3).所以不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<－\f(1,3))))).(2)移項(xiàng)得mx2－(m＋2)x＋2<0，對(duì)應(yīng)的方程(mx－2)(x－1)＝0的兩根為eq\f(2,m)和1，當(dāng)0<m<2時(shí)，eq\f(2,m)>1，解得1<x<eq\f(2,m)；當(dāng)m＝2時(shí)，eq\f(2,m)＝1，原不等式無(wú)解；當(dāng)m>2時(shí)，eq\f(2,m)<1，解得eq\f(2,m)<x<1.綜上所述，當(dāng)0<m<2時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,m)))；當(dāng)m＝2時(shí)，原不等式的解集為空集；當(dāng)m>2時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)，1)).題型二一元二次不等式恒成立問(wèn)題命題點(diǎn)1在R上恒成立問(wèn)題例3若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(－24,0]解析當(dāng)k＝0時(shí)，不等式即為－3<0，不等式恒成立；當(dāng)k≠0時(shí)，若不等式恒成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2＋24k<0，))解得－24<k<0.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－24,0]．命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上恒成立問(wèn)題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7)))解析要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．方法一令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.綜上所述，m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).方法二因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，所以m<eq\f(6,x2－x＋1)在x∈[1,3]上恒成立．令y＝eq\f(6,x2－x＋1)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).命題點(diǎn)3在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問(wèn)題例5(2023·宿遷模擬)若不等式x2＋px>4x＋p－3，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析不等式x2＋px>4x＋p－3可化為(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))解得x<－1或x>3.思維升華恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類(lèi)討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2<a<2}C．{a|－2<a≤2} D．{a|a<2}答案C解析因?yàn)椴坏仁?a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集為?，所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R.當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，－4<0，符合題意；當(dāng)a－2≠0，即a≠2時(shí)，需滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝[2a－2]2＋4×4×a－2<0，,a－2<0，))解得－2<a<2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|－2<a≤2}．(2)設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，則()A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≤eq\f(5,2) D．a(chǎn)≥eq\f(5,2)答案C解析由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，得eq\f(x2＋1,x)≥a在1≤x≤2上有解，則a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋1,x)))max，由于eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)，而y＝x＋eq\f(1,x)在[1,2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝2時(shí)，x＋eq\f(1,x)取得最大值eq\f(5,2)，故a≤eq\f(5,2).課時(shí)精練1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，則A∪B等于()A．RB．{x|x>－1}C．{x|x<3或x>9}D．{x|x<－1或x>3}答案C解析由題意，得A＝{x|x<0或x>9}，B＝{x|－1<x<3}，所以A∪B＝{x|x<3或x>9}．2．函數(shù)f(x)＝eq\r(|x－1|－x)＋lg(4－x2)的定義域?yàn)?)A．(－2,2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．(－∞，－2)答案B解析依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|－x≥0，,4－x2>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,2)，,－2<x<2，))∴－2<x≤eq\f(1,2)，∴原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).3．已知命題p：“?x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．－1<a<2 B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)<－1 D．－1≤a<2答案D解析當(dāng)a＝－1時(shí)，3>0成立；當(dāng)a≠－1時(shí)，需滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,Δ＝4a＋12－12a＋1<0，))解得－1<a<2.綜上所述，－1≤a<2.4．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a<0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2或x>1}答案A解析因?yàn)椴坏仁絘x2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，所以ax2＋bx＋2＝0的兩根為－1,2，且a<0，即－1＋2＝－eq\f(b,a)，(－1)×2＝eq\f(2,a)，解得a＝－1，b＝1，則不等式可化為2x2＋x－1<0，解得－1<x<eq\f(1,2)，則不等式2x2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))).5．已知a∈R，關(guān)于x的不等式eq\f(ax－1,x－a)>0的解集不可能是()A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．?答案A解析當(dāng)a<0時(shí)，不等式等價(jià)于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集是?；當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式等價(jià)于(x－1)(x－a)>0，解得x<a或x>1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式等價(jià)于(x－1)2>0，解得x≠1；當(dāng)a>1時(shí)，不等式等價(jià)于(x－1)(x－a)>0，解得x<1或x>a.6．已知關(guān)于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(4,6) B．(0,6)C．[4,6) D．[0,6]答案C解析畫(huà)出函數(shù)f(x)＝x2＋5x＋m的圖象，關(guān)于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集為函數(shù)圖象在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋5x＋m的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－eq\f(5,2)，所以為使得不等式的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，必須且只需使得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝4－10＋m<0，,f－1＝1－5＋m≥0，))解得4≤m<6.7．不等式eq\f(3,x－1)>1的解集為_(kāi)_______．答案(1,4)解析∵eq\f(3,x－1)>1，∴eq\f(3,x－1)－1>0，即eq\f(4－x,x－1)>0，即1<x<4.∴原不等式的解集為(1,4)．8．(2023·合肥模擬)若不等式x2＋ax＋4≥0對(duì)一切x∈[1,3]恒成立，則a的最小值為_(kāi)_______．答案－4解析∵當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))恒成立，又當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)．∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤－4，∴a≥－4，故a的最小值為－4.9．已知集合：①A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)>1))))；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m為常數(shù))，從①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為集合A，求解下列問(wèn)題：(1)定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，當(dāng)m＝0時(shí)，求A－B；(2)設(shè)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)選①：eq\f(4,x＋1)>1，若x＋1>0，即x>－1時(shí)，eq\f(4,x＋1)>1，即4>x＋1，解得－1<x<3，若x＋1<0，則eq\f(4,x＋1)<0，則eq\f(4,x＋1)>1無(wú)解，所以eq\f(4,x＋1)>1的解集為(－1,3)，故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，則A－B＝(－1,0]∪[1,3)．選②：x2－2x－3<0，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，則A－B＝(－1,0]∪[1,3)．選③：|x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3，故A＝(－1,3)，m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，則A－B＝(－1,0]∪[1,3)．(2)由(1)可知，條件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，解得B＝(m，m＋1)，因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件，所以BA，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>－1，,m＋1≤3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－1，,m＋1<3，))解得－1≤m≤2，故m的取值范圍為[－1,2]．10．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a<0，解關(guān)于x的不等式f(x)<a－1.解(1)?x∈R，f(x)≥－2恒成立等價(jià)于?x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，當(dāng)a＝0時(shí)，x≥0，對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立，則a≠0，此時(shí)必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－a2－4a2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝3a2＋2a－1≥0，))解得a≥eq\f(1,3)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).(2)依題意，因?yàn)閍<0，則f(x)<a－1?ax2＋(1－a)x－1<0?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)>0，當(dāng)a＝－1時(shí)，－eq\f(1,a)＝1，解得x≠1；當(dāng)－1<a<0時(shí)，－eq\f(1,a)>1，解得x<1或x>－eq\f(1,a)；當(dāng)a<－1時(shí)，0<－eq\f(1,a)<1，解得x<－eq\f(1,a)或x>1，所以，當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠1}；當(dāng)－1<a<0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>－\f(1,a)))))；當(dāng)a<－1時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,a)或x>1)))).11．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－1，當(dāng)x∈(0,3]時(shí)，|f(x)|≤5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，4] B．[1，＋∞)C．[1,4] D．[1,2]答案C解析由題意知，|f(x)|≤5?－5≤x2－ax－1≤5?x－eq\f(6,x)≤a≤x＋eq\f(4,x)，當(dāng)x∈(0,3]時(shí)，eq\b\lc\