單元質(zhì)檢卷五平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(時(shí)間:60分鐘滿分:80分)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1.(2023廣西南寧一模)復(fù)數(shù)z=(1+i)(1-2i),則z的虛部是()A.-3 B.-1 C.1 D.3答案:B解析:z=(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i2=3-i,因此復(fù)數(shù)z的虛部為-1.2.已知向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,2-t),若(2a+b)∥c,則t=()A.-32 B.32 C.-23 答案:D解析:由2a+b=(1,2),又(2a+b)∥c,∴2t=2-t,可得t=233.(2023山東聊城二模)已知復(fù)數(shù)z1=-2+i,z2=z1i,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1和z2所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離是(A.5 B.10 C.5 D.10答案:B解析:z1=-2+i所對應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),z2=z1i=-i(-2+i)-i2=1+2i4.(2023云南昆明三模)已知向量a=(0,3),b=(4,0),則cos<a,a-b>=()A.35 B.45 C.-35 D答案:A解析:因?yàn)橄蛄縜=(0,3),b=(4,0),所以a-b=(-4,3),所以cos<a,a-b>=3×5.(2023山西名校聯(lián)考三模)已知△ABC的重心為O,則向量BO=()A.23AB+1C.-23AB+13答案:C解析:如圖,設(shè)E,F,D分別是AC,AB,BC的中點(diǎn),由于O是三角形ABC的重心,所以BO=23BE=23×(AE?AB)6.若向量a=(1,-3),b=(-2,6),則()A.a⊥b B.a與b同向C.a與b反向 D.|a|=2|b|答案:C解析:a·b=1×(-2)+(-3)×6=-20≠0,故A錯(cuò)誤;∵b=(-2,6)=-2(1,-3)=-2a,∴a與b反向,故B錯(cuò)誤,C正確;|a|=1+9=10,|b|=4+36=210,|b|=2|a|,故D7.(2023四川瀘州診斷測試)已知平面向量a,b滿足|a|=3,|b|=1,|a+b|=|a-b|,則|a-2b|=()A.5 B.5 C.7 D.7答案:C解析:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3-4×0+4×1=7,∴|a-2b|=7.8.(2023湖北黃石模擬)原點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),頂點(diǎn)A在x軸上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,|OA|=2,|OB|=1,|OC|=3,若OC=λOA+μOB,則μλ=(A.-33 B.33 C.-3 D答案:D解析:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意,A(2,0),B-32,12,C-32,-3因?yàn)镺C=λOA+μOB,由向量相等的坐標(biāo)表示可得2解得λ=9.(2023山東泰安考前模擬)已知向量a=(λ,1),a-b=(0,4),a⊥b,則a-b在a方向上的投影為()A.2 B.2 C.3 D.5答案:B解析:由a=(λ,1),a-b=(0,4),得b=(λ,-3),由a⊥b,得a·b=λ2-3=0,解得λ=±3,所以|a|=2,故a-b在a方向上的射影為(a-b10.(2023四川資陽中學(xué)高三月考)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(其中a,b∈R,i為虛數(shù)單位)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)(其中r≥0,θ∈R)的形式,通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.已知有公式[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈Z),由公式可知,“n為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)cosπ2+isinπ2n(n∈Z)為實(shí)數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C解析:由cosπ2+isinπ2n=cosnπ2+isinnπ2為實(shí)數(shù),得sinnπ2=0,故nπ2=kπ,k∈Z,即n=2k,k∈Z;反之,若n為偶數(shù),則設(shè)n=2k,k∈Z,則sinnπ2=sinkπ=0,則cosπ2+isinπ2n=cosnπ2+isinnπ2=cosnπ2,為實(shí)數(shù).故“n為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)cos11.(2023湖南岳陽一模)已知等邊三角形ABC的邊長為4,O為三角形內(nèi)一點(diǎn),且OA+OB+2OC=0,則△AOB的面積是(A.43 B.833 C.433 答案:D解析:根據(jù)題意,設(shè)AB的中點(diǎn)為D,△ABC是等邊三角形,則CD⊥AB,AB的中點(diǎn)為D,則OA+OB=2又由OA+OB+2OC=0,則OC=-OD,則O是CD又由△ABC的邊長為4,則AD=2,CD=23,則OD=3,則S△AOB=12×4×3=2312.(2023天津南開中學(xué)三模)如圖,已知B,D是直角C兩邊上的動點(diǎn),AD⊥BD,|AD|=3,∠BAD=π6,CM=12(A.4+132 BC.4+134 D答案:C解析:由題意,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DB方向?yàn)閤軸正方向,以DA方向?yàn)閥軸正方向,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,因?yàn)閨AD|=3,∠BAD=π6,所以BD=1,則D(0,0),B(1,0),A(0,3)又CM=12所以M,N分別為BA,DA的中點(diǎn),因此M12,32,N0,32又CD⊥BC,所以點(diǎn)C可看作以BD為直徑的圓上的點(diǎn),設(shè)C(x,y),則(x-12)2+y2=14,又CM=12-x,32-y,CN=-x,32-y,所以CM·CN=-12x+x2+34?3y+y2=令m=12x-3y,即x-23y-2m=所以點(diǎn)C(x,y)為直線x-23y-2m=0與圓(x-12)2因此圓心12,0到直線x-23y-2m=0的距離小于等于半徑12,即d=|1解得1-134≤m所以CM·CN的最大值為二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2023全國甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,則k=.

答案:-10解析:∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),∴10+3k=0,解得k=-10314.(2023福建莆田三模)寫出一個(gè)虛數(shù)z,使得z2+3為純虛數(shù),則z=.

答案:1+2i(答案不唯一)解析:設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),則z2+3=a2-b2+3+2abi,因?yàn)閦2+3為純虛數(shù),所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不為零的實(shí)數(shù)a,求出b或任取不為零的實(shí)數(shù)b,求出a即可得,答案不唯一,如z=1+2i.15.(2023山東淄博二模)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,|a-b|=3,則向量a-b和b的夾角為.

答案:5解析:由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=3,得a·b=1,由cos<a-b,b>=(a-b所以向量a-b和b的夾角為5π16.(2023浙江嘉興模擬)給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R.則x+y的最大值為;x-y的取值范圍是答案:2[-1,1]解析:如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B-12,32,設(shè)C(cosθ,sinθ)0≤θ