專題09.有理數(shù)的除法1.掌握有理數(shù)除法法則，并能熟練進行有理數(shù)除法的運算；2.在歸納、探索有理數(shù)法則的過程中體“轉(zhuǎn)化”的思想；3.能利用有理數(shù)的除法解決生活中的實際問題。4.熟練掌握有理數(shù)混合（加減乘除）運算及相關(guān)運算律，培養(yǎng)運算能力及良好的習(xí)慣；題型探究題型1、有理數(shù)除法法則的辨析 3題型2、有理數(shù)的除法運算 5題型3、有理數(shù)乘除法的混合運算 6題型4、有理數(shù)除法的簡算 10題型5、有理數(shù)除法的應(yīng)用 15題型6、有理數(shù)除法的新定義問題 19培優(yōu)精練A組（能力提升） 22B組（培優(yōu)拓展） 27【思考1】江蘇南京2023年春節(jié)一周的最低氣溫的平均值是多少？【思考2】能否根據(jù)除法的乘法逆運算，以及小學(xué)學(xué)習(xí)過的除法運算的經(jīng)驗，計算江蘇南京2023年春節(jié)一周的最低氣溫的平均值嗎？【除法的高光時刻】在古代，人們還沒有像我們現(xiàn)在這樣便捷的計算器和電腦，在進行除法運算時則顯得略有困難。于是，古代的智者們便開始鉆研除法，發(fā)明了許多算法來簡化除法運算。其中的代表算法之一，就是輾轉(zhuǎn)相除法，也稱歐幾里得算法，是數(shù)學(xué)中一個求解最大公約數(shù)的重要方法，也可以用來執(zhí)行簡單的除法運算。首次被詳細(xì)描述在歐幾里得的《幾何原本》第七卷，早在中國東漢時期的《九章算術(shù)》中也有所體現(xiàn)。輾轉(zhuǎn)相除法的歷史悠久，起源于公元前300年左右的歐幾里得時代，它不僅限于自然數(shù)，19世紀(jì)后被推廣至高斯整數(shù)和一元多項式等領(lǐng)域，推動了現(xiàn)代抽象代數(shù)的發(fā)展，如歐幾里得整環(huán)。它在音樂節(jié)奏生成、密碼學(xué)（如RSA算法）中起著關(guān)鍵作用，還能解丟番圖方程，尋找滿足中國剩余定理的數(shù)，以及在有限域的倒數(shù)計算和連分?jǐn)?shù)構(gòu)造等領(lǐng)域得到應(yīng)用。1）有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：，()。有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商。除以任何一個不等于的數(shù)，都得。2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。注意：乘除混合運算要“從左到右”運算，有括號的先算括號里面的，分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母。題型1、有理數(shù)除法法則的辨析【解題技巧】有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．例1．（2023·山東·七年級期末）下列說法正確的是（

）（多選題）A．互為相反數(shù)的兩數(shù)相除商必等于1 B．非零的兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)；C．大于1的兩數(shù)之積一定大于任何一個因數(shù) D．小于1的兩數(shù)之商一定小于被除數(shù)【答案】BC【分析】按照有理數(shù)的計算法則和特例進行辨別選擇．【詳解】解：∵互為相反數(shù)（0除外）的兩數(shù)相除商必等于1，∴選項A不符合題意；∵非零的兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，∴故選項B符合題意；∵大于1的兩數(shù)之積一定大于任何一個因數(shù)，∴選項C符合題意；∵當(dāng)除數(shù)是真分?jǐn)?shù)，被除數(shù)是正數(shù)時，商大于被除數(shù)，∴選項D不符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)運算結(jié)果大小變化的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解法則，并能對各種運算情況考慮全面．例2．（2023·江蘇·七年級階段練習(xí)）已知a，b為有理數(shù)，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①若，，則，．②若，，則，且．③若，，則，．④若，，則，且．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則以及有理數(shù)的除法法則分別分析得出即可．【詳解】解：①若，，則，，故①結(jié)論正確；②若，，則a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②結(jié)論錯誤；③若，，則a＜0，b＜0，故③結(jié)論正確；④若，，則a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故結(jié)論錯誤．故正確的有2個．故選：B．【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的除法法則以及有理數(shù)加法法則的應(yīng)用，熟練掌握法則是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·浙江·七年級?？茧A段練習(xí)）如果兩個數(shù)的和是正數(shù)，商是負(fù)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積是（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．以上三種結(jié)論都有可能【答案】B【分析】根據(jù)兩個數(shù)的積是負(fù)數(shù)得到兩個數(shù)異號，而兩個數(shù)的和是正數(shù)，由此即可判定這兩個數(shù)的符號.【詳解】解：∵兩個數(shù)的商是負(fù)數(shù)，∴兩個數(shù)異號，而兩個數(shù)的和是正數(shù)，∴正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值.∴這兩個數(shù)的積是負(fù)數(shù).故選B.【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的運算法則，解題關(guān)鍵是利用有理數(shù)的運算法則判定兩個數(shù)的符號.變式2．（2023·廣東·七年級校考期中）若兩個數(shù)的商是正數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A．這兩數(shù)的和為正數(shù) B．這兩數(shù)的差為正數(shù)C．這兩數(shù)的積為正數(shù) D．這兩數(shù)的和、差、積的正負(fù)都不能確定【答案】C【分析】應(yīng)用有理數(shù)的乘除法及有理數(shù)的加減法法則進行判定即可得出答案．【詳解】解：A．當(dāng)兩個數(shù)都為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)的商是正數(shù)，這兩個數(shù)的和為負(fù)數(shù)，故A選項不符合題意；B．當(dāng)兩個數(shù)都為負(fù)數(shù)時，這兩個數(shù)的商是正數(shù)，這兩個數(shù)的差可能為負(fù)數(shù)，故B選項不符合題意；C．若兩個數(shù)的商是正數(shù)，則這個兩數(shù)為同號，這兩個數(shù)的積為正數(shù)，故C選項符合題意；D．若兩個數(shù)的商是正數(shù)，這兩數(shù)的和、積的正負(fù)不能確定，積的正負(fù)能確定，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法及有理數(shù)的加減法，熟練掌握有理數(shù)的乘除法及有理數(shù)的加減法法則進行判定即可得出答案．變式3．（2023·山西呂梁·模擬預(yù)測）若，且，異號，則的符號為（）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】根據(jù)同號得正，異號得負(fù)判斷即可．【詳解】解：∵，異號，∴，又∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，除法，熟記同號得正，異號得負(fù)是解題的關(guān)鍵．題型2、有理數(shù)的除法運算【解題技巧】有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果．例1．（23-24七年級上·山東青島·階段練習(xí)）將轉(zhuǎn)化為乘法運算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除運算，利用除法法則即可得到結(jié)果．【詳解】解：故選：C．例2．（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則進行判斷便可．【詳解】解：A、，故此選項錯誤，不符合題意；B、，故此選項正確，符合題意；C、，故此選項錯誤，不符合題意；D、，故此選項錯誤，不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)除法，熟記有理數(shù)除法法則是解題的關(guān)鍵．變式1．（23-24七年級·重慶·月考）填空：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)除法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)除法法則計算即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：；（3），故答案為：0；（4）．故答案為：．變式2．（23-24七年級上·浙江衢州·期末）下列運算，結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運算，熟悉兩個除法法則是關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的兩個除法法則進行計算即可作出判斷．【詳解】解：A、，故計算錯誤；B、，故計算錯誤；C、，故計算正確；D、，故計算錯誤；故選：C．變式3．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）從中任取2個數(shù)，所得積的最大值記為a，所得商的最小值記為b，則的值為．【答案】//【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除法，有理數(shù)的大小比較，根據(jù)有理數(shù)的乘法與有理數(shù)的大小比較求出a、b的值，然后相除即可得解．【詳解】解：∵最大值，最小值，．故答案為：．題型3、有理數(shù)乘除法的混合運算【解題技巧】有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果．注意：乘除混合運算要“從左到右”運算．分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母．例1．（2023·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）計算的結(jié)果是_____________．【答案】9【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除運算順序和運算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：9．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘除法混合運算順序和運算法則．例2．（2023·吉林·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面解題過程并解答問題：計算：解：原式（第一步）

（第二步）

（第三步）(1)上面解題過程有兩處錯誤：第一處是第步，錯誤原因是；第二處是第步，錯誤原因是；(2)請寫出正確的結(jié)果．【答案】(1)二；分乘除是同級運算，除法在前應(yīng)先算除法；三；同號相除結(jié)果符號應(yīng)為正(2)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算法則求解即可．【詳解】（1）解：第一處是第二步，錯誤原因是乘除是同級運算，除法在前應(yīng)先算除法；第二處是第三步，錯誤原因是同號相除結(jié)果符號應(yīng)為正；（2）．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘除混合運算法則．例3．（2023·湖北·七年級專題練習(xí)）計算：(1)÷（）÷（）；(2)（）÷（）÷（）；(3)（）×（）÷；(4)（）÷（）×（）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用有理數(shù)的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案；（2）直接利用有理數(shù)的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案；（3）直接利用有理數(shù)的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案；（4）直接利用有理數(shù)的除法運算法則除法變乘法，再利用有理數(shù)的乘法運算法則計算得出答案．【詳解】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；（4）原式＝．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘除運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·河北廊坊·七年級統(tǒng)考期末）老師設(shè)計了計算接力游戲，規(guī)則是每名同學(xué)只能利用前面一個同學(xué)的式子進一步計算，將計算的結(jié)果傳給下一個同學(xué)，最后解決問題．過程如下，自己負(fù)責(zé)的那一步錯誤的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】根據(jù)乘除的混合運算，按照從左到右的順序進行計算，先將除法轉(zhuǎn)化為乘法計算，即可求解．【詳解】解：，∴甲負(fù)責(zé)的那一步錯誤了，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，掌握運算順序是解題的關(guān)鍵．變式2．（23-24七年級·廣東·期中）下列計算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)乘除混合法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)乘除混合法則逐項計算并判定即可．【詳解】解：A、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；B、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；C、，計算正確，故此選項符合題意；D、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：C．變式3．（2023·山東·七年級專題練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先確定結(jié)果的符號，再把除法變?yōu)槌朔ǎ燃s分，后相乘進行計算即可；（2）首先確定結(jié)果的符號，再把除法變?yōu)槌朔?，約分后相乘進行計算即可；（3）首先計算括號里面的，再計算括號外面的乘法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘除運算法則．題型4、有理數(shù)除法的簡算【解題技巧】同有理數(shù)的乘法運算技巧類似。例1．（2023·成都市七年級課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14【詳解】試題分析：（1）（2）（3）利用帶分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，把復(fù)雜的數(shù)寫成兩個數(shù)的和，再用乘法分配律計算；（4）（5）（6）把乘數(shù)運算，帶分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一成假分?jǐn)?shù)的乘積形式，約分求解.試題解析：(1).(2).(3).(4).(5).(6).例2．（23-24七年級上·湖南湘西·期末）數(shù)學(xué)老師為了優(yōu)化同學(xué)們的運算思維，提高數(shù)學(xué)運算能力，復(fù)習(xí)有理數(shù)綜合運算時，布置了一道有意思的計算題：請用不同解法計算劉聰和他的小伙伴選擇常規(guī)解法：張明開動腦筋，經(jīng)過觀察算式特點，和同學(xué)們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數(shù)：所以，原式(1)請比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？(2)請選擇你喜歡的解法計算：【答案】(1)更喜歡張明的解法，理由見解析(2)【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法分配律：（1）根據(jù)解答過程可知張明的解題過程簡單，且省去了通分計算，比較簡便，則更喜歡張明的解法；（2）仿照題意先把除法變成乘法，再利用乘法分配律求出的值，進而求出的值的倒數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）解：更喜歡張明的解法，理由如下：觀察兩人的解題過程可知，張明的解題過程簡單，且省去了通分計算，比較簡便，∴更喜歡張明的解法；（2）解：原式的倒數(shù)為：，．變式1．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）下列算式中運用分配律帶來簡便的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查的是理解乘法分配律的意義，以及除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把乘得的兩個積加起來，掌握概念并靈活運用即可解題．【詳解】解：A、除法不具有分配律，不符合題意．B、，可以使用分配律，但運算沒有更簡便，不符合題意．C、，可以使用分配律，且運算更簡便，符合題意．D、，可以使用分配律，但運算沒有更簡便，不符合題意．故選：C．變式2．（2023·江蘇南通·七年級校考階段練習(xí)）計算（能用簡便方法的要用簡便方法）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)5.3(2)(3)(4)3750(5)(6)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘除法可以解答本題；（4）根據(jù)乘法分配律簡便計算；（5）先計算括號內(nèi)的，再根據(jù)有理數(shù)的除法即可解答本題；（6）根據(jù)有理數(shù)的除法即可解答本題．【詳解】（1）解：=5.3；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘除，后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．變式3．（2023·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）計算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（用簡便方法計算）(6)；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）先把減法統(tǒng)一為加法運算，再把同號的兩數(shù)先加，從而可得答案；（2）先確定運算結(jié)果的符號，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，約分后可得結(jié)果；（3）先把運算統(tǒng)一為加法運算，同步把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用加法的運算律進行簡便運算即可；（4）利用乘法的分配律進行簡便運算即可；（5）把原式化為再利用分配律進行簡便運算即可；（6）先計算，把除法化為乘法，利用分配律，再根據(jù)倒數(shù)的含義可得答案．【詳解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）∴【點睛】本題考查的是有理數(shù)的四則混合運算，掌握“四則混合運算的運算順序”是解本題的關(guān)鍵．題型5、有理數(shù)除法的應(yīng)用【解題技巧】有理數(shù)運算相關(guān)的實際應(yīng)用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)解題的方法和技巧。例1．（23-24七年級上·湖北恩施·期末）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每個組合代表××年，60年為一個循環(huán)．如表，我們把天干、地支按順序排列，給它們編上序號．天干的計算方法是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)以2022年為例：天干為：；地支為：．對照天干地支表得出，2022年為農(nóng)歷壬寅年，那么2053年為農(nóng)歷年．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥【答案】癸酉【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題干中信息列出關(guān)于天干和地支的計算式，然后求解即可．【詳解】解：2053年的天干為：，地支為：，∴2053年為農(nóng)歷癸酉年．故答案為：癸酉．例2．（23-24七年級上·四川成都·期中）小張第一次用480元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售．如果以每套兒童服裝80元的價格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作正數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下（單位：元）：，，，，，，0，．請通過計算說明：(1)小張賣完這八套兒童服裝共賣了多少錢？(2)這八套兒童服裝平均每套盈利了多少元？【答案】(1)共賣了元(2)這八套服裝平均每套盈利了18元【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出算式，熟練掌握運算法則，準(zhǔn)確計算．（1）根據(jù)題意列出算式進行計算即可；（2）根據(jù)利潤等于售價減進價進行計算即可．【詳解】（1）解：（元）．（2）解：法一：（元）；法二：（元）法三：（元）答：這八套服裝平均每套盈利了18元．變式1．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備利用一根彈簧制作一個簡易彈簧秤（用于稱物體的質(zhì)量），需在刻度盤上標(biāo)注刻度．經(jīng)過四次試驗與測量，得到彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量之間的對應(yīng)關(guān)系如下表：物體的質(zhì)量1234彈簧的長度10121416已知該彈簧在掛物體后，在彈性限度內(nèi)能達到的最大長度為，則學(xué)習(xí)小組在刻度盤上需標(biāo)注的最大量程是．【答案】10【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得出質(zhì)量每增加，彈簧伸長的長度增加，求出彈簧的原長．【詳解】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，質(zhì)量每增加，彈簧伸長的長度增加，彈簧所掛物體質(zhì)量為時，彈簧的長度為，∴彈簧的原長為：，∴在彈性限度內(nèi)能達到的最大長度為時，所掛物體質(zhì)量為：，即刻度盤上需標(biāo)注的最大量程是．故答案為：10．變式2．（23-24七年級上·福建寧德·期末）【問題情境】在數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們玩“計算竟大”游戲：每場游戲開始析的、乙兩人手上各執(zhí)四張數(shù)字牌和四張運算符號牌，四張數(shù)字牌上分別標(biāo)有一個數(shù)字，四張運算符號牌分別標(biāo)有“+”“-”“×”“÷”四個運算符號，雙方都能看到對方牌面的信息．游戲開始，兩人依次輪流出牌，每次只有一人出牌．游戲規(guī)則：①第一次，由先出牌者出一張數(shù)字牌，直接做為第一次結(jié)果．②從第二次開始，每次由出牌者出一張符號牌和一張數(shù)字牌，與上一次結(jié)果進行相應(yīng)運算，運算結(jié)果記為本次結(jié)果．若本次結(jié)果的絕對值比上一次結(jié)果的絕對值大，則游戲繼續(xù)；否則游戲結(jié)束，本次出牌者失利，對方獲得本場游戲勝利；③若游戲繼續(xù)，則按上述規(guī)則玩到兩人手上都沒有數(shù)字牌為止．若最后一次結(jié)果們絕對值大于上一次結(jié)果的絕對值，則最后一次出牌者獲得本場游戲勝利，否則對方獲勝．（相應(yīng)的運算示例：若上一次的結(jié)果為，本次出牌的符號為“÷”，數(shù)字為“2”，則相應(yīng)的運算為）【問題解決】在某一場游戲前，甲、乙兩人拿到的數(shù)字牌和符號牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接寫出第二次的結(jié)果，并判斷游戲是否繼續(xù)；(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，請列出綜合算式求第五次的結(jié)果；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，第六次乙應(yīng)如何出牌才能保證最后結(jié)果總是自己勝出？請寫出保證乙能最終獲勝的第六次出牌方案，并說明該方案乙必勝的理由．【答案】(1)，否(2)72(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由見解析【分析】本題考查有理數(shù)四則運算，絕對值定義．（1）根據(jù)題意列式，再利用絕對值定義即可；（2）根據(jù)題意列式即可；（3）根據(jù)題意考慮所有可能性并列出即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意列式為：，∵，∴游戲不再繼續(xù)，即：第二次結(jié)果為：；（2）解：根據(jù)題意列式為：，，；（3）解：乙必勝的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，理由一：此時，第六次結(jié)果為76，第七次若甲出“-”和“5”，則結(jié)果為71，游戲結(jié)束，乙獲勝；第七次若甲出“+”和“5”，則結(jié)果為81，游戲繼續(xù)；第八次乙出“÷”和“”，結(jié)果為，游戲結(jié)束，乙獲勝；理由二：所有的出牌可能有：①，甲負(fù)乙勝；②，乙負(fù)；③，乙負(fù)；④，乙負(fù)；⑤，乙勝；⑥，甲負(fù)乙勝，∴乙必勝的是第六次乙出“＋”和“4”．變式3．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中取出4張卡片，用學(xué)過的運算方法，使結(jié)果為24．寫出運算式子．（寫出一種運算式）．【答案】(1)一個數(shù)抽，另一個數(shù)是時，最大值是(2)一個數(shù)抽，另一個數(shù)是時，它們相除的最小值是(3)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算；（1）從中抽張卡片，要使這張卡片上數(shù)字的乘積最大，則兩個數(shù)必須同號，據(jù)此求解即可；（2）從中抽取張卡片，要使這兩張卡片數(shù)相除的商最小，則一個是正數(shù)，另一個是負(fù)數(shù)，據(jù)此求出最小值是多少即可．（3）用學(xué)過的運算方法，構(gòu)造出算式，使結(jié)果為即可．【詳解】（1），，因為，所以其中的一個數(shù)抽，另一個數(shù)是時，最大值是；（2），所以其中的一個數(shù)抽，另一個數(shù)是時，它們相除的最小值是；（3）從中取出張卡片，用學(xué)過的運算方法，使結(jié)果為，運算式子為：．題型6、有理數(shù)除法的新定義問題【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認(rèn)識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學(xué)知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.例1．（23-24七年級上·山東濱州·期末）對于任意非零實數(shù)a，b，定義運算“※”如下：，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了新定義運算，根據(jù)題意得出是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴故選：D例2．（22-23七年級上·廣東廣州·期中）（其中表示不超過的最大整數(shù)，如，等等）．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，能夠理解取整的函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．利用取整函數(shù)把算式變?yōu)?，再進行計算即可．【詳解】解：故答案為：．變式1．（23-24七年級上·河北廊坊·期中）對于一個各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N，若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m整除，則稱N是m的“和倍數(shù)”．對下列三個人的說法判斷正確的是（）小嘉說：247是13的“和倍數(shù)”

小淇說：441是9的“和倍數(shù)”小華說：214、357均不是“和倍數(shù)”A．三人說法都對 B．只有一人說法不對 C．小華說的不對 D．只有一人說法對【答案】A【分析】本題考查了新定義問題，根據(jù)新定義問題進行計算是解題關(guān)鍵．根據(jù)“和倍數(shù)”的定義依次判斷即可【詳解】解∶∵，∴247是13的“和倍數(shù)”，故小嘉的說法正確；∵，∴441是9的“和倍數(shù)”，故小淇的說法正確；∵，∴214不是“和倍數(shù)”，∵，∴357不是“和倍數(shù)”，故小華的說法正確；故選：A．變式2．（23-24七年級上·河南許昌·期中）我們規(guī)定，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘除法、有理數(shù)的大小比較，正確理解規(guī)定的運算法則是解題關(guān)鍵．先根據(jù)規(guī)定的運算法則進行轉(zhuǎn)化，再計算有理數(shù)的乘除法求解即可得．【詳解】解：由題意得：，故選：C．變式3．（2024·北京·七年級校考階段練習(xí)）對于任意的非零有理數(shù)a，b，定義：，解決以下問題：(1)計算；(2)計算；(3)請你舉例驗證一下交換律即在這一運算中是否成立．（舉一個例子即可）．【答案】(1)(2)；(3)不成立，見解析【分析】（1）根據(jù)新定義直接列式計算即可；（2）根據(jù)新定義先計算，再計算即可；（3）令，，分別計算和進行驗證即可．【詳解】（1）解：；（2）解：，；（3）解：令，，則，，∵，∴在這一運算中不成立．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理解新定義的運算是解題的關(guān)鍵．A組（能力提升）1．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除運算法則和混合運算順序，依次計算即可【詳解】解：．故選：A．【點睛】本題考查有理數(shù)乘除混合運算，熟練掌握有理數(shù)乘除運算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）在算式□的“□”中填上運算符號“＋”“－”“×”或“÷”，要使運算的結(jié)果最小，則添加的運算符號是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷【答案】A【分析】由、、、，判斷出添加的符號．【詳解】∵、、、，∴要使運算的結(jié)果最小，添加的運算符號是：“＋”故選：A【點睛】本題考查有理數(shù)的加減乘除運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)法則，正確計算．3．（2024·山東·七年級?？茧A段練習(xí)）與運算結(jié)果相同的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除法則分別計算，再作比較．【詳解】解：A、，該選項不符合題意；B、，該選項符合題意；C、，該選項不符合題意；D、，該選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考考查了有理數(shù)的除法．解題關(guān)鍵點：熟記有理數(shù)的除法法則．4．（23-24七年級上·山東聊城·期末）算式______中的橫線內(nèi)應(yīng)填（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的除法運算，解題的關(guān)鍵是熟知運算法則．根據(jù)有理數(shù)的除法法則即可求解．【詳解】解：括號內(nèi)應(yīng)填．故選：．5．（23-24七年級上·福建廈門·期末）甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設(shè)工作總量為1，工作進度如下表：則完成這項工作共需（

）天數(shù)第3天第5天工作進度A．6天 B．8天 C．9天 D．10天【答案】C【分析】此題是典型的工程問題，需要特別注意的是把問題分段分析，分清每段的情況即可．此題是工程問題，把此工作分段進行分析，甲自己做了3天做了，則可知道甲自己做需要天，從而求出乙的工作效率，進而求出結(jié)果即可．【詳解】解：甲自己做需天，∴乙的工作效率為：∴（天），故選：C．6．（23-24七年級上·河北邯鄲·階段練習(xí)）對于式子“”的變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的除法，掌握除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選D．7．（2023·廣東·七年級?？茧A段練習(xí)）兩個數(shù)的商為正數(shù)，那么這兩個數(shù)是（

）A．都是正數(shù) B．都是負(fù)數(shù) C．同號 D．至少有一個為正數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法運算法則：兩數(shù)相除，同號得正，并把絕對值相除來判斷即可．【詳解】兩個有理數(shù)的商是正數(shù)，那么這兩個數(shù)一定同號．故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法運算法則：兩數(shù)相除，同號得正，并把絕對值相除．8．（2022·成都市七年級校聯(lián)考課時練習(xí)）計算：_______．【答案】【詳解】=，得_______根據(jù)除數(shù)=被除數(shù)商=（-16）（-15）=.9．（2023秋·浙江金華·七年級浙江省蘭溪市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某種藥品的說明書上貼有如圖的標(biāo)簽，則一次服用這種藥品的劑量范圍是____mg到___mg．【答案】1540【分析】分每天服用和，分次和次兩種服用方法，求出每次服用的劑量，確定最小值和最大值，即可得解．【詳解】解：每天服用時，分次服用，每次服用：；分次服用，每次服用：；每天服用時，分次服用，每次服用：；分次服用，每次服用：；∴每天最小服用，最多服用；故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)的除法的實際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出算式進行計算，是解題的關(guān)鍵．10．（2023·海南·七年級?？计谥校┯嬎悖篲_________【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算進行計算即可求解．【詳解】解：原式=，故答案為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運算，掌握有理數(shù)的乘除的運算法則是解題的關(guān)鍵．11．（2023·吉林長春·七年級?？茧A段練習(xí)）計算.(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運算進行計算即可求解；（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法分配律進行計算即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，掌握有理數(shù)的運算法則以及運算律是解題的關(guān)鍵．12．（2023·貴州銅仁·七年級?？茧A段練習(xí)）乘除計算：(1)(2)(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）解：；（2）；（3）．（4）．【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運算，乘法分配律的應(yīng)用，掌握“同級運算，按照從左至右的運算順序進行計算與乘法分配律的應(yīng)用”是解本題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí)）有一個水庫某天的水位為米（以警戒線為基準(zhǔn)，記高于警戒線的水位為正），在以后的6個時刻測得的水位升降情況如下（記上升為正，單位：米）：，，0，，，．(1)經(jīng)這6次水位升降后，水庫的水位超過警戒線了嗎？(2)現(xiàn)在由于下暴雨，水庫水位以米/小時速度上升，指揮部要求水位降至警戒線1米以下（含1米），現(xiàn)在水庫勻速泄水，可使靜態(tài)水位按米/小時速度下降，為達到指揮部最低要求，求水庫需放水的時間．【答案】(1)未超過(2)5小時【分析】（1）求得上述各數(shù)的和，然后根據(jù)結(jié)果與0的大小關(guān)系即可作出判斷；（2）根據(jù)題意列式求解．【詳解】（1）解：，答：水庫的水位未超過警戒線．（2）（小時），答：水庫需放水小時．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算及正負(fù)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．B組（培優(yōu)拓展）1．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）網(wǎng)上一些推廣“成功學(xué)”的主播，常引用下面這個被稱為竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能長，而且這還是深埋于土下．到了第五年，竹子終于能破土而出，會以每天的速度瘋狂生長．此后，僅需要6周的時間，就能長到15米，驚艷所有人！”．這段話的確很勵志，須不知，要符合算理的話，需將上文“6周”中的整數(shù)“6”改為整數(shù)（）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意列出算式進行計算即可．【詳解】解：，竹子生長需要的時間為（天），，即竹子長成需要8周的時間，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)除法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，準(zhǔn)確計算．2．（2023·江蘇·七年級）已知“！”是一種數(shù)學(xué)運算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式Cnm=（n＞m），則C125=（

）A．60 B．792 C．812 D．5040【答案】B【分析】根據(jù)公式和新定義的運算將數(shù)值代入公式求解即可．【詳解】解：C125=故選：B．【點睛】關(guān)鍵是根據(jù)給出的式子，找出新的運算方法，再利用新的運算方法進行解答．3．（2023·浙江溫州·七年級?？茧A段練習(xí)）若計算式子的結(jié)果為最大，則應(yīng)分別在，△中填入下列選項中的（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】將四個選項中的運算符號分別代入式子中進行運算，通過比較結(jié)果即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)選取A選項的符號時，；當(dāng)選取B選項的符號時，；當(dāng)選取C選項的符號時，；當(dāng)選取D選項的符號時，，∵當(dāng)選取D選項的符號時，計算式子的結(jié)果最大，故選：D．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023·重慶·模擬預(yù)測）式子12345中的，，，是數(shù)字1，2，3，4，5中間的四個位置，在這些位置上添加“”“”“”“”符號后得到一個算式，若不添加符號，則相鄰數(shù)字自然組合為一個多位數(shù)．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符號，得到的算式為：，結(jié)果為239．下列說法：①添加“”“”兩個運算符號，得到的算式有10種不同的結(jié)果；②存在一種添加“”“”“”“”四個符號的算式，其結(jié)果為；③只添加“”“”“”三個符號，得到的算式中，結(jié)果最大為170．其中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理解題意，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：①中“”的位置有種可能，“”確定位置后，“”的位置有種可能，則添加“”“”兩個運算符號，得到的算式有種不同的結(jié)果，故①錯誤；②結(jié)果為，必須添加“”，若添加“”，添加“”，添加“”，則有，故②正確；③添加的運算符號中有“”，且同時添加三個運算符號，要是結(jié)果最大，不能添加，必須添加“”，此時添加“”，添加“”，即可得到最大結(jié)果，為，故③錯誤；綜上所述，正確的有②，個數(shù)為，故選：B．5．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）有理數(shù)，在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式的化簡、數(shù)軸和去絕對值；先根據(jù)數(shù)軸求出，，，再去掉絕對值，即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：，，，原式．故答案為：．6．（2023春·重慶沙坪壩·九年級聯(lián)考階段練習(xí)）40名學(xué)生參加義務(wù)植樹活動，任務(wù)是：挖樹坑，運樹苗．這40名學(xué)生可分為甲、乙、丙三類，其中甲類學(xué)生15人，乙類15人，丙類10人，每類學(xué)生的勞動效率為甲類學(xué)生可以挖樹坑2個或者運樹苗20棵，乙類學(xué)生可以挖樹坑1.2個或者運樹苗10棵，丙類學(xué)生可以挖樹坑0.8個或者運樹苗7棵．如果他們的任務(wù)是：挖樹坑30個，運樹苗不限，那么在完成挖坑任務(wù)的同時樹苗運得最多為_____棵．【答案】260【分析】先求出這三類學(xué)生挖樹坑相對于運樹苗的相對效率，然后由挖樹坑相對效率較高那一類先挖樹坑，剩下的再由第二高的先挖，再剩下的就由相對效率最低的再來挖．【詳解】解：這三類學(xué)生挖樹坑的相對效率是甲類：，乙類：，丙類：．由上可知，乙類學(xué)生挖樹坑的相對效率最高，其次是丙類學(xué)生，故應(yīng)先安排乙類學(xué)生挖樹坑，可挖：（個）．再安排丙類學(xué)生挖樹坑，可挖：（個），還差（個）樹坑，由兩名甲類學(xué)生去挖，這樣就能完成挖樹坑的任務(wù)，其余13名甲類學(xué)生運樹苗，可以運：（棵）．故答案為：260．【點睛】本題關(guān)鍵是根據(jù)三類學(xué)生的相對效率來求解，挖樹坑的效率與運樹苗的效率比越高就讓他們先來挖樹坑，這樣效率最高．7．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）點游戲是一種撲克牌類的益智類游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉大小王）中任意抽取張牌，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算（每張牌必須用且只能用一次，可以加括號），使得運算結(jié)果為或．例如：抽到的數(shù)字為“，，，”，則可列式并計算為：．如果?、◆表示正，?、?表示負(fù)（如“◆”為“”，“?”為“”），請對下面兩組撲克牌按要求進行記數(shù)，并按“點”游戲規(guī)則對兩組數(shù)分別進行列式計算，使其運算結(jié)果均為或．①依次記為：_________________

列式計算：__________________．②依次記為：_________________

列式計算：_______．【答案】①，，，；．（答案不唯一，正確即可）②，，，；．（答案不唯一，正確即可）【分析】根據(jù)?、◆表示正，?、?表示負(fù)結(jié)合牌的點數(shù)即可表示，出各張牌表示的數(shù)，根據(jù)“點”游戲規(guī)則結(jié)合有理數(shù)的混合運算法則列式即可．【詳解】解：①四張牌依次記為，，，；列式計算得：（答案不唯一，正確即可）；②四張牌依次記為，，，；列式計算得：（答案不唯一，正確即可）．【點睛】本題考查了新定義問題和有理數(shù)的混合運算，理解“點”游戲規(guī)則并熟